重庆市第八中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市第八中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析），共22页。
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对某班的第一学月数学成绩排名进行抽样调查得到样本数据：10，21，23，24，27，37，41，47，52，57，此样本数据中的下四分位数为（ ）
A. 21B. 23C. 41D. 47
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的数据，利用下四分位数的定义求解即得.
【详解】由，得所给样本数据的下四分位数是23.
故选：B
2. 已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：

令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率分布图分别计算，，比较大小可得.
【详解】由图可知，
，
，
所以，.
故选：D.
3. 某家族有，两种不同的遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，，两种性状都不出现的概率为，则该成员，两种性状都出现的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设该家族某成员出现X性状为事件A，出现Y性状为事件B，即可求得结果.
【详解】设该家族某成员出现X性状为事件A，出现Y性状为事件B，则X，Y性状都不出现为，则X，Y性状都出现为，所以，
，所以，所以，所以.
故答案为：A
4. 已知，，，四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关则1，4号灯就会亮，只要打开开关则2，3号灯就会亮，只要打开开关则3，4号灯就会亮，只要打开开关则2，4号灯就会亮.开始时，，，，四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开，，，这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据古典概型以及对立事件的概率关系列式计算可得解.
【详解】由题意，随意打开A，B，C，D这四个开关中的两个不同的开关，共有种，
其中只有打开开关时2号灯不会亮，其余情况2号灯均会亮，
所以2号灯灯亮的概率为.
故选：D.
5. 已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式.
【详解】由数列为递增等差数列，则，且，
又因为，所以，，
所以数列的公差，，
所以数列的通项公式为，故B项正确.
故选：B
6. 已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程.
【详解】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得
，两式作差可得，即直线的斜率，
所以直线方程为，即
故选：B
7. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由点为圆与椭圆的焦点，可得，，结合条件，应用勾股定理即可得.
【详解】
连接、， 由在以为直径的圆上，故，
、在椭圆上，故有，，
设，则，
则有，，
即可得，解得，
故，则，
故.
故选：C.
8. 已知点在圆上运动，若对任意点，在直线上均存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线上均存在两点，，使得恒成立，由以线段AB为直径的圆包含圆O求解.
【详解】解：圆的圆心为半径为，
因为在直线上均存在两点，，使得恒成立，
所以以线段AB为直径的圆包含圆O，
如图所示：
当两圆内切时，线段AB的长度最小，
设线段AB的中点为E，则，
所以，
故选：D
二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业2021年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如图所示.则以下说法正确的是（ ）
A. 2021年甲系列产品收入和2020年的一样多
B. 2021年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多
C. 2021年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的
D. 2021年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍还多
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合关键点该企业2021年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，逐一分析即可.
【详解】设2020年的5种系列产品年总收入为，则2021年5种系列产品年总收入为，
对A选项：，故正确；
对B选项：，故正确；
对C选项：，，故错误；
对D选项：，故正确.
故选：ABD.
10. 已知高二某班共51名同学，某次地理测试班级最高分为150分，最低分为50分，现将所有同学本次测试的原始成绩经过公式进行折算，其中为原始成绩，为折算成绩，折算后班级最高分仍为150分，最低分为80分，则下列说法正确的是（ ）
A. 若某同学本次测试的原始成绩为100分，则其折算成绩为115分
B. 将原始成绩和折算成绩分别从小到大依次排序后，它们的中位数的序号相同
C. 班级折算成绩方差可能等于原始成绩的方差
D. 班级折算成绩的平均值高于原始成绩的平均值
【答案】ABD
【解析】
【分析】由求得得解析式，对选项A直接计算即可；由可得，折算成绩均不低于原始成绩，可判断选项D正确，根据中位数的定义判断选项B正确；对选项C：由判断.
【详解】由题知，解得，所以，
当时，，故A正确；
，由知，即，
故当原始成绩低于150分时，折算成绩均高于原始成绩，即除150分不变外，其余成绩折算后均提高，
所以将原始成绩和折算成绩分别从小到大依次排序后，它们的中位数的序号相同，故B，D均正确；
，故折算成绩的方差必小于原始成绩的方差，故C错误.
故选：ABD
11. A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则（ ）
A. 甲与乙互斥B. 丙与丁互斥
C. 甲与乙相互独立D. 乙与丁相互独立
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据互斥事件与相互独立事件的定义判断即可.
【详解】对于A选项，因为， ，，所以，所以甲与乙相互独立，故A选项错误；
对于B选项，因为 ，，，
所以，所以丙与丁互斥，故B选项正确；
对于C选项，由A选项知故C选项正确；
对于D选项，因为，，所以，故乙与丁相互独立，故D选项正确.
故选：BCD.
12. 已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作的角平分线交轴于，交轴于点，则（ ）
A. B. 点的坐标为
C. 点的坐标为D. 四边形面积的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A，根据条件，利用，，再由即可求出结果，从而判断出选项A的正误；
选项B，先求出，，再利用A选项中的结果即可判断出选项B的正误；
选项C，利用B中结论，求出直线的方程，令，得到，再利用，即可得到，从而判断出选项C的正误；
选项D，利用，再结合基本不等式即可判断出选项D的正误.
【详解】对于选项A，因为，，
所以，又，
得到，即，所以选项A正确；
对于选项B，因为，，
所以，又，得到，
所以，
同理可得，不妨设，由选项A知，，
所以，整理化简得，所以，故选项B正确；
对于选项C，由选项B知，直线的方程为，
令得，又，得到，故选项C错误；
对于选项D，因为四边形面积，
当且仅当，即时取等号，当或时，，
所以选项D正确，
故选：ABD.
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9，0表示未击中目标，以三个随机数为一组，代表三次发射的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，得到这20组随机数中一次为没有击中目标的次数，结合对立事件的概率计算公式，即可求解.
【详解】根据题意，这20组随机数中一次也没有击中目标的有，共有3组，
所以，这20组随机数中至少有一次击中目标的概率为.
故答案为：.
14. 已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，可得对恒成立，转化为最值问题，化简解出即可.
【详解】因为为递减数列，，
所以对恒成立，
即对恒成立，所以，
故答案为：.
15. 已知，，从点射出的光线经轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出关于轴对称点坐标，再求得关于直线的对称点坐标，线段的长即为所求路程．
【详解】
因为，，
所以直线的方程为：
点关于轴的对称点，
设点关于直线的对称点，
则，，解得，．
，
所以根据反射原理的对称性，
光线所经过的路程为
，
故答案为：．
16. 已知椭圆的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】设直线的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，求得及中点坐标，求弦的垂直平分线方程，即可求得点坐标，代入即可求得，即可求得.
【详解】由题，设直线的方程为，，，，中点，
与椭圆方程联立，消去整理得，
则，，，
所以
，
，，则点的坐标为，
所以直线的垂直平分线方程为，令，解得，所以点的坐标为，则，
所以.
故答案为：.
四.解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 某校为丰富教职工业余文化活动，在教师节活动中举办了“三神杯”比赛，现甲乙两组进入到决赛阶段，决赛采用三局两胜制决出冠军，假设每局比赛没有平局且每一局比赛中甲组获胜的概率为.
（1）求甲组最终获得冠军的概率；
（2）已知冠军奖品为28个篮球，在甲组第一局获胜后，比赛被迫取消，奖品分配方案是：如果比赛继续进行下去，按照甲乙两组各自获胜的概率分配篮球，请问按此方案，甲组、乙组分别可获得多少个篮球？
【答案】17.
18. 甲组获得21个，乙组获得7个.
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式列式计算即可；
（2）先求出在甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛的事件概率，即可求解.
【小问1详解】
令事件：甲组在第局获胜，、、，
甲组胜的概率为：
；
【小问2详解】
由题意知，在甲组第一局获胜的情况下，甲组输掉比赛事件为：
甲组接下来的比赛中连输两场，
所以在甲第一局获胜的前提下，最终输掉比赛的概率：
，即甲获胜的概率为，
故甲组、乙组应按照3：1的比例来分配比赛奖品，
即甲组应获得21个篮球，乙组获得7个篮球比较合理.
18. 在平面直角坐标系中，已知圆，圆过原点及点且直线的一个方向向量为.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线被两圆截得的弦长相等，求直线的方程.
【答案】18.
19. 或
【解析】
【分析】（1）先由题意，得到圆的圆心在直线上，设，半径为，根据圆过原点和，列出方程求解，求出，即可得出圆的方程；
（2）先判断当的斜率不存在时，不符合题意；当的斜率存在时，设的方程为，根据直线被两圆截得的弦长相等，列出方程求解，即可求出结果.
【小问1详解】
由题意可知，的直线方程为，
圆的圆心在直线上，设，半径为，
因为圆过原点与，且圆的圆心为,半径为，
所以,
即①，
又,
即②，
由①②可得，，
所以，
所以圆N的标准方程为;
【小问2详解】
当斜率不存在时，直线的方程为：与圆相离，不符合题意.
当斜率存在时，设直线的方程为：,
则圆心到直线的距离为,
圆心到直线的距离为，
又因为被两圆截的弦长相等，
所以，
即,
解得：或.
故直线的方程为或.
19. 如图，直三棱柱体积为，为的中点，的面积为.
（1）求到平面的距离；
（2）若，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等体积法求解即可；
（2）先证明平面，再求出点面距离，利用线面角的正弦公式求解.
【小问1详解】
设点到平面距离为，
又为的中点，则，
则，解得.
【小问2详解】
过在平面内作交于，如图，
因为平面平面，为交线，
所以平面，
过在平面内作交于，
在直三棱柱中平面平面，为交线，
所以平面，
因为过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直，
所以重合，又分别在上，
所以与重合，即平面，
又平面，所以，
设，则，
所以，
所以，
解得，
所以，解得，
中，，
因为互相平分，所以，到平面的距离相等，
即，
设直线与平面所成角为，
则.
20. 某单位举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有100人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计年龄落在区间内的人的年龄的平均数（结果保留一位小数）；
（2）若这100人的原始数据中第三组的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1.
①据此计算这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差.
②将所得平均数与（1）中平均数的估计值作比较，解释其有差异的原因.
【答案】20. 35.8
21. ①平均数为36，方差为15；②答案见解析
【解析】
【分析】（1）取数据的中间值作为样本数据的代表值估算即可；
（2）①借助样本与方差的关系计算即可得；②分析数据差异的原因，言之有理即可.
【小问1详解】
平均数；
【小问2详解】
①设这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差分别为、
则，
②，其有差异的原因为（1）中平均数是取数据的中间值作为样本数据的代表值估算的，
而所得平均数是以具体的数据计算而得，因此不相等.
21. 点到定点的距离和它到定直线的距离之比为.
（1）点的轨迹方程；
（2）设直线与轴的交点为，延长交曲线于另一点，若，求的面积.
【答案】21.
22.
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合距离公式列出方程，整理即可得到曲线的方程；
（2）设，，联立方程，韦达定理，结合两点式斜率公式和两角和正切公式，代入三角形的面积公式即可求解.
【小问1详解】
由动点与点之间的距离和到直线的距离的比值为，
可得，整理得，即曲线的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，则，
设，，直线PQ：，
联立方程组，整理得，，
可得，，如图：
则，，
所以
，
所以，所以的面积.
22. 已知点及抛物线上一点满足的最小值为.
（1）求；
（2）过点作两条直线分别交抛物线于点，，并且都与动圆相切，若直线经过点，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把的最小值转化为，求解即可；
（2）设直线NQ 、 NP斜率分别为、，，由，求出，同理，由，得，因为NQ与NP都与圆C相切，所以直线NC是的角平分线， 求出直线NC的斜率为，所以的最小值即是点到直线NC的距离d，求出即可..
【小问1详解】
设抛物线的焦点为F，由题意得，即，
所以，
当且仅当M、P、F三点共线时取等号.
因为的最小值为，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）知，，故N在抛物线上，直线NQ 、 NP斜率都存在，
设直线NQ 、 NP斜率分别为、，，
则直线NQ的方程为，
由，可得，
所以，则，又Q在抛物线上，
所以，同理，
又直线PQ过点M，所以，
即，解得，即，
因为NQ与NP都与圆C相切，所以直线NC是的角平分线，
由题意知NC的斜率存在，设直线NC的斜率为k，
则，解得，
当时，NC过原点，此时直线不经过点，故舍去，所以，
所以直线NC的方程 ,
所以的最小值即是点到直线NC的距离d，即，
所以的最小值为.
【点睛】方法点睛：本题主要考查过抛物线上的点的直线与圆相切的综合应用，属于中档题. 解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.