重庆市西南大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市西南大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，都有”的否定是（ ）
A. ,都有
B. ，使得
C. ，都有
D. ,使得
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定原则对命题进行否定.
【详解】的否定为，所以全称命题的否定为：
,使得.
故选：D
2. 若半径为2的扇形的弧长为，则该扇形的圆心角所对的弦长为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件求出圆心角，借助三角函数求出弦长.
【详解】由题意弧长，半径为2，所以扇形的圆心角，如图，过点作，
所以，又，所以，
所以扇形的圆心角所对的弦长.
故选：C
3. 下列对数值比较大小正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数的运算法则和单调性逐项判断即可.
【详解】对于A，由函数在单调递增，所以，A错误；
对于B，函数在单调递减，所以，B错误；
对于C，由，C正确；
对于D，函数，所以，D错误；
故选：C
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】恒成立，排除CD，根据定义域排除A，得到答案.
【详解】恒成立，排除CD，
的定义域为，排除A.
故选：B.
5. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边重合于轴的非负半轴，终边经过点,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的定义得出，，即可代入求解得出答案.
【详解】由三角函数定义得：，，
则，
故选：A.
6. 南非在2021年11月9日检测出首例新冠病毒变异毒株“奥密克戎”，短短一周时间，从11月10日新增感染300人到11月16日新增感染1万人，若新增感染人数y与时间（第x天）可以表示为函数（为正实数），则第四天新增感染人数约为（ ）（参考数据：）
A. 5485B. 4018C. 2143D. 1765
【答案】D
【解析】
【分析】代入数据计算，得到，计算得到答案.
【详解】，则，，解得，
第四天新增感染人数约为.
故选：D
7. 已知的三个内角分别为、、，若满足，，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的正切公式和二倍角公式即可求解.
【详解】因为，所以在中，角为锐角，
由可得：，则，
所以，
则，
故选：.
8. 已知函数，若函数在有6个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出函数图像，设，根据函数图像考虑方程有两个解和一个解两种情况，再根据函数图像讨论的解的情况，计算得到答案.
【详解】当时，，
当时，，，
画出函数图像，如图所示：
函数在有6个不同零点有以下四种可能：
①方程有两个不同的实根和且方程有两个根，
且方程有四个不同的实根，
由函数的图像知，且，令，
则需，解得；
②方程有两个不同的实根和且方程有零个根，
且方程有六个不同的实根，
函数的图像知，且，
由于，则需，解得；
③方程有两个不同的实根和且方程有1个根，
且方程有5个实根成立，则需，此时无解；
④方程有且只有1个根且方程有6个根，
计算得或，或，不合题意；
综上所述：或.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图像，根据图像分类讨论是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列判断正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，那么
C. 若，则
D. 角为第三或第四象限角的充要条件是
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例得到A错误，根据正切的和差公式计算得到B正确，根据诱导公式得到C正确，考虑充分性和必要性得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，错误；
对选项B：，解得，正确；
对选项C：，正确；
对选项D：当为第三象限角，，，，
当为第四象限角，，，；
若，当，时，为第三象限角，
当，时，为第四象限角，正确；
故选：BCD.
10. 已知函数，则下列关于此函数的描述准确无误的有（ ）
A. 函数的最小正周期为B. 函数的一个单调增区间为
C. 函数的一个对称中心是D. 函数的一条对称轴是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据的图象与性质，对选项一一验证即可.
【详解】对于选项A：函数的最小正周期为，故A正确；
对于选项B：函数的单调递增区间满足：，
解得：，
取，得，取，得，
则函数在，上单调递增
即在上单调递减，故B错误；
对于选项C：函数的对称中心纵坐标为，故C错误；
对于选项D：函数的对称轴满足：，
解得：，取，得，故D正确.
故选：AD.
11. 若正实数p，q满足，则（ ）
A. 的最大值是B. 的最大值是
C. 的最小值是D. 的最小值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】举反例得到B错误，直接利用均值不等式得到A正确，变换，展开计算得到C正确，确定，利用均值不等式计算得到D正确，得到答案.
详解】对选项A：，故，当且仅当时等号成立，正确；
对选项B：取，，错误；
对选项C：.
当且仅当，即，时等号成立，正确；
对选项D：，
当且仅当时等号成立，正确；
故选：ACD
12. 已知函数为定义在上的奇函数，又函数,且与的函数图象恰好有2022个不同的交点，则下列叙述中正确的是（ ）
A. 的图象关于对称B. 的图象关于对称
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由函数为定义在上的奇函数，可得的图象关于对称，判断A，B；由函数的图象的对称性，得到两函数交点的对称性，可计算C，D.
【详解】因为函数为定义在上的奇函数，
所以，即
所以的图象关于对称，故A错误；B正确；
又函数的图象也关于对称，
所以与的函数的交点关于对称，
不妨设，
所以，
，
所以，C正确；
，D错误.
故选：BC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. __________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据两角和的余弦公式求解即可
【详解】，
故答案为：.
14. 函数的值域是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式进行化简，进而求出函数的值域.
【详解】由题，
因，
所以.
故答案为：.
15. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.
【详解】函数有意义，
则需，
由，
，
则，
所以函数定义域为.
故答案：
16. 己知实数m满足，且函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知条件得；再根据复合函数单调性的判断方法及对数函数中真数大于零列出不等式组求解即可.
【详解】由，知，
则，
所以函数在上单调递减.
令
因为函数在上单调递减，
所以在单调递增且函数值恒大于零，
故，解得
所以实数a的取值范围是．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知关于x的方程的两个不等实根分别是和
（1）求m的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据韦达定理得到根与系数的关系，再利用三角恒等变换计算得到答案.
（2）化简得到，计算得到答案.
【小问1详解】
，即，，，
，从而，则；
【小问2详解】
.
18. 已知函数，设集合，集合．
（1）若，求实数k的取值范围；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定恒成立，，解得答案.
（2）确定，得到，解得答案.
小问1详解】
，则恒成立，
，解得，即.
【小问2详解】
，“”是“”的充分条件，则，
故，解得，即.
19. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的值域，并求出取最大值时相应x的值．
【答案】（1）
（2）值域为，时，最大值
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简，利用周期公式即可得周期；
（2）由的范围可得的范围，再利用正弦函数的性质即可求解.
【小问1详解】
【小问2详解】
，
，
，
，故值域为，
当时，，
，，即，，
又，
.
20. 已知函数（且）的图象过点．
（1）若，求定义域并判断其奇偶性；
（2）解关于x的不等式．
【答案】（1）定义域，为奇函数
（2）
【解析】
【分析】（1）将点代入函数解得，确定函数定义域，计算，得到答案.
（2）确定在上是减函数，得到，解得答案.
【小问1详解】
将代入函数得，，解得，，
，故，得，
，又，
故函数定义域，为奇函数；
【小问2详解】
，在上是减函数，
，，即，故，
设，则，解得且，故.
21. 已知，，
（1）求的值；
（2）若，，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）展开得到，平方，计算得到答案.
（2）确定，计算，，根据，展开计算即可.
（3）化简得到，计算，再利用和差公式计算得到答案.
【小问1详解】
，故，
，
所以；
【小问2详解】
，，，故，
故，
又，，，
；
【小问3详解】
，
，
故，
，
，故，，，
，
.
22. 已知为奇函数．
（1）求a的值；
（2）若对恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设，若，总，使得成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据得到，再验证得到答案.
（2）变换，构造新函数，根据函数的单调性计算最值得到答案.
（3）根据函数单调性计算，考虑和两种情况，根据值域的包含关系计算得到答案.
【小问1详解】
的定义域为，且为奇函数，则，从而，
，，故函数为奇函数，满足；
【小问2详解】
，得在上恒成立，
设，令，，
，函数单调递增，，故；
【小问3详解】
当时，,函数单调递增，故，
当时，，故，由题意，
①当，，有，
则，得；
②当时，，有，
则，解得；
综上所述：或.