重庆市忠县中学2023-2024学年高一上学期12月云班检测数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市忠县中学2023-2024学年高一上学期12月云班检测数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 若f（x）=，则f（–2）的值为
A 0B. 1C. 2D. –2
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的解析式知道当x＜1时是以2周期的周期函数，故f（﹣2）=f（2），再代入函数解析式即得
【详解】∵f（x）=，x=–21，∴f（2）=lg22=1，故选B．
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据对数函数的真数取值范围和指数函数的单调性解出集合，再求结果即可.
【详解】因为集合的代表元素是，由对数函数的意义可知，
所以，
而集合，
所以，
故选：D
3. 若函数的定义域为，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式的特点列出限定条件，求解可得答案.
【详解】因为的定义域为，所以恒成立，
当时，显然成立；
当时，有，解得；
综上可得实数m的取值范围为.
故选：C.
4. 若，，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可.
【详解】因，，且，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，解得（舍去），或，
所以，当且仅当，即时取等号，
即的取值范围是，
故选：A
5. 已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数图象可确定大小关系，结合指数函数单调性可得结果.
【详解】由图象可知：，.
故选：C.
6. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A. 72B. 74C. 76D. 78
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．
【详解】由于，所以，
依题意，则，
则，
由，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．
故选：B
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过中值来判断不能直接比较大小的数.
【详解】，，
，，
所以.
故选：A
8. 方程 的所有实根的乘积为， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将方程的根转化为两个函数的图象交点的问题，利用数形结合的思想进行求解.
【详解】由可得，
设与的图象的交点的横坐标为,
如图所示：
则,,
因为函数在上单调递减，所以
，即，
所以，则，
故.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A. 若，则与的大小关系随m的变化而变化
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则一定有
【答案】CD
【解析】
【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A；
举反例，如，即可判断B；
若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C；
利用不等式的性质即可判断D.
【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A错误；
对于B，当时，，与题设矛盾，故B错误；
对于C，若，则，
根据“糖水不等式”， ，即，故C正确；
对于D，若，则，
所以，
所以，故D正确.
10. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A. 函数的图象过定点
B. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则的解析式为
C. 若，则的取值范围是
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A由,可得函数的图象过定点,即可判断出正误；
选项B令,则,可得,.即可得出的解析式为,即可判断出正误；
选项C若,可得或,解出即可得出；
选项D令,则函数在单调递减即可判断出.
【详解】解：选项A．由得,
此时,
即函数过定点,故A错误；
选项B．若,则,
则,
是偶函数,
,即,
即的解析式为,故B正确；
选项C．若,则,
若,则,此时不成立,
若,则,此时,
即的取值范围是,故C正确；
选项D．若,则,
令,
则函数在单调递减,
则不等式等价为,
则,即,故D正确．
故选BCD
【点睛】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法,考查了分类讨论、推理能力与计算能力,属于中档题.
11. （多选题）已知函数与（且）的图象上存在关于轴对称的点，则的取值可以是下列数据中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意得出，可得出，于是将问题转化为实数的取值范围即为函数在上的值域，并利用单调性求出函数在上的值域，可得出实数的取值范围，由此可得出正确选项.
【详解】由题意可得，则，得，，构造函数，
则实数的取值范围即为函数在上的值域，
由于函数在上单调递增，所以，，.
又，，因此，符合条件的选项有A、B、C.
故选ABC.
【点睛】本题考查函数方程的应用，解题的关键就是将问题转化为函数的零点问题，另外就是利用参变量分离法将参数的取值范围转化为函数的值域问题，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
12. 已知 ， 则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A项，利用函数与和图象交点的横坐标，及对称性求得，；
B项，根据题干，可求得：，进而判断B选项；
C项， D项，利用不等式基本性质判断，注意取等条件.
【详解】A项，a、b分别是函数与和图象交点的横坐标，由图可知，，，
又因为函数图象关于对称，所以C、D两点关于对称，
所以，，所以A项正确；
B项，因为，且，所以，
取倒数有，，即：，
由A项可知，，，
所以，所以B项正确；
C项，由得：，由图象可知，，
所以，所以C项错误；
D项，因为，
所以，当且仅当时取等，
又因为，所以等号不能取，所以，所以D项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到与的包含关系，从而得到答案.
【详解】根据题意可知，但，故是的真子集，
故,
故答案为：
14. 已知函数，， 则__________.
【答案】9
【解析】
【分析】构造，通过函数奇偶性的判定判断为奇函数，从而得出，即可求出答案.
【详解】令
，即，解得，
即的定义域为，
，
，
，
，
为奇函数，
，
则，即，
故答案为：9.
15. 若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
令，对分成两种情况，结合二次函数的性质、对数函数的定义域、单调性进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【详解】令，
当时，在上为减函数，则解得；
②当时，在上为减函数，此时不成立.
综上，.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.
16. 市劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.有下列结论：
①定义在上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点
②函数仅有一个不动点
③当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点
上述结论正确的是___________.
【答案】②③
【解析】
【分析】对于①举反例，对于②研究函数的单调性由零点存在性定理可判断，对于③分别研究 与分离参数研究新函数的单调性，再由交点个数确定参数的范围，两者取交集后即可判断.
【详解】对于①，取函数既是的不动点，又是的次不动点，故①错误，
对于②，，
令，易知为上的增函数，
又
由零点存在性定理得在区间存在唯一的零点，故②正确；
对于③，当时，即.
令在区间[1，2]上单调递增，故在上单调递增，满足有唯一解，则.
当时，
，即.
令在区间上单调递增，故在上单调递增，
满足有唯一解，则.
综上.故③正确；
故答案为：②③.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设全集，集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求，再求交集即可；
（2）先求，再根据数轴上的关系分析时实数的取值范围即可
【小问1详解】
或，故．
【小问2详解】
，因为，故．
18. 已知函数，且
（1）求解析式；
（2）判断并证明函数在区间单调性.
【答案】（1）；
（2）单调递增，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题得且，解方程组即得解；
（2）利用单调性的定义判断证明即可.
【小问1详解】
解：且，解得.
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
解：
∵.
∵，
，所以，
所以，所以函数在单调递增.
19. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的总支出成本为万元，每年的销售收入95万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元.
（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以70万元价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
【答案】（1），第2年
（2）方案二更合适，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，直接求得，令，结合的取值范围，即可求得结果；
（2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.
【小问1详解】
设为前年的总盈利额，单位:万元，
由题意可得，
由得，
又，所以该设备从第2年开始实现总盈利.
【小问2详解】
方案二更合理，理由如下：
方案一：由(1)知，总盈利额，
当时，取得最大值160；此时处理掉设备，则总利润为万元，
方案二：由(1)可得，平均盈利额为
，
当且仅当，即时，等号成立，
即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备，总利润为万元，
综上，方案二的总利润高于方案一，故方案二更合适．
20. 已知函数．
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若对于恒成立，求的取值范围;
【答案】（1）（2）m≤0
【解析】
【分析】（1）换元，令，将函数转化为关于的二次函数，由二次函数的性质，
即可求得函数的值域；
（2）换元，令，将不等式转化为含参的一元二次不等式恒成立问题，通过分离参数法，将其再转化为求函数的最值，即可求出．
【详解】（1）因为，令，因为，所以，
此时，．，∵∴
所以函数的值域为；
（2）对于对于x∈[4，16]恒成立，令，
即2t2﹣3t+1≥mt对t∈[1，2]恒成立，∴对恒成立．
由对勾函数的单调性可知，在上单调递增，
∴g（t）min＝g（1）＝0，∴m≤0．
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质、二次函数值域的求解，一元二次不等式恒成立问题的解法等，解题关键是通过换元将含对数式的函数转化为二次函数，含对数式的不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，意在考查学生的转化与化归以及数学运算能力．
21. 已知为偶函数、为奇函数，且满足.
（1）求，；
（2）若方程有解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组来求得.
（2）利用分离常数法、构造函数法，结合基本不等式求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，为偶函数、为奇函数，且满足，
所以，则，
解得.
【小问2详解】
若方程有解，
即有解，
即，
对于方程①，
当时，方程左边为，右边为，所以不是①的解.
当时，令，由于，所以，，
则方程①可化为
，
当且仅当时等号成立，所以.
【点睛】方法点睛：对于奇函数，有，对于偶函数，有.当题目所给条件中包括奇函数或偶函数时，首先应想到运用上述两个式子来对问题进行求解.求方程有解的问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解.
22. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给定函数.
（1）求的对称中心；
（2）已知函数同时满足：①是奇函数；②当时，.若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设的对称中心为，根据对称性得到关于的方程，解得即可得解；
（2）易求得的值域为，设函数的值域为集合，则问题可转化为，分，和三种情况讨论，从而可得出答案.
【小问1详解】
解：，
设的对称中心为，
由题意，得函数为奇函数，
则，
即，
即，
整理得，
所以，解得，
所以函数的对称中心为；
【小问2详解】
解：因为对任意的，总存在，使得，
所以函数的值域是函数的值域的子集，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以的值域为，
设函数的值域为集合，
则原问题转化为，
因为函数奇函数，所以函数关于对称，
又因为，所以函数恒过点，
当，即时，在上递增，则函数在上也是增函数，
所以函数在上递增，
又，
所以的值域为，即，
又，
所以，解得，
当即时，在上递减，则函数在上也是减函数，
所以函数在上递减，
则，
又，
所以，解得，
当即时，
在上递减，在上递增，
又因函数过对称中心，
所以函数在上递增，在上递减，
故此时，，
要使，
只需要，解得，
综上所述实数m的取值范围为.
【点睛】本题考查了函数的对称性单调性及函数的值域问题，考查了转化思想及分类讨论思想，解决本题第二问的关键在于把问题转化为函数的值域是函数的值域的子集，有一定的难度.