2023湘郡培粹九上期末数学考试模拟试卷及参考答案

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1．下列命题中，是假命题的是（ ）．
A．同位角相等，两直线平行B．两直线平行，同旁内角互补
C．对顶角相等D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】D
【详解】解：A.根据两直线平行的判定，A选项是真命题，不符合题意；
B.根据两直线平行的性质，B选项是真命题，不符合题意；
C.根据对顶角的性质，C选项是真命题，不符合题意；
D.根据三角形外角的性质“外角大于不相邻的任何一个内角”可知，D选项是假命题，符合题意．
故选：D．
2．函数中自变量的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】B
【详解】解：，
，
解得：且．
故选：B．
3．下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ）
A．图象与x轴的交点坐标为B．y的值随着x的值的增大而减小
C．图象经过第一、二、四象限D．当时，
【答案】D
【详解】A．图象与x轴的交点坐标为，
∵中，时，，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为，此选项正确，故选项A不符合题意；
B． y的值随着x的值的增大而减小，
∵中，，
∴y的值随着x的值的增大而减小，此选项正确，故选项B不符合题意；
C．图象经过第一、二、四象限，
∵中，，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，此选项正确，故选项C不符合题意；
D．当时，，
∵中，当时，，
∴，即，
∴一次函数，当时，，此选项错误，故选项D符合题意；
故选：D．
4．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．买一张彩票，一定会中奖B．经过十字路口，遇到绿灯
C．打开电视机，正在播放《新闻联播》D．任意画一个三角形，内角和是
【答案】D
【详解】解：A、买一张彩票，一定会中奖，是随机事件，不符合题意；
B、经过十字路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
C、打开电视机，正在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意；
D、任意画一个三角形，内角和是，是必然事件，符合题意；
故选：D．
5．如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查旋转性质，根据旋转性质可得，即可选出答案．
【详解】解：由旋转性质可得：，，，，
故选：A．
6．反比例函数的图象在每一个象限内随值的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵反比例函数的函数分布于二四象限，
∴，
∴，
故选：B．
7．已知，的半径为一元二次方程的两根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解来解一元二次方程以及直线与圆的位置关系：当，直线与圆相交，当，直线与圆相切，当，直线与圆相离，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴
故的半径为，
∵
∴
即直线与圆相交
故选：A
8．如图，在中，是的平分线，，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是解答此题的关键．作于，于，由角平分线的性质可知，，再由三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：作于，于，
是的平分线，
，
．
故选：D．
9．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故选：C．
10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】本题考查圆的基本性质，抛物线与x轴的交点坐标，勾股定理，三角形中位线的性质等．当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，而是的中位线，据此求解即可．
【详解】解：令，解得，
故点，，
设圆的半径为r，则，
连接，而点Q、O分别为、的中点，
故是的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，此时最大，
，，
，，
则，
故选：C．
二、填空题
11．在中，，，，那么 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，
在中，，，，
∴
∴,
故答案为：．
12．边形的每个外角都等于，则 ．
【答案】8
【分析】本题考查了多边形的边数计算．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：，则．
故答案为：8．
13．如图，在中，已知，，则的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解本题的关键；本题先证明，得到相似比为，再利用周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：1
14．有一个圆心角为，半径长为的扇形，若将其围成一圆锥侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了求圆锥底面圆的半径．设这个圆锥的底面圆的半径是，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可求得答案．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径是，
由题意得：，
解得：．
∴这个圆锥的底面圆的半径是．
故答案为：3．
15．如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，则关于的方程的解为 ．

【答案】或
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数与一元二次方程，由图象可知，、图象的交点的横坐标为和，则当或时，，由此即可得到答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可知，、图象的交点的横坐标为和，
当或时，，
关于的方程的解为或，
故答案为：或．
16．如图，已知，点E在线段上，若，则的大小为 ．
【答案】67度/
【分析】本题考查了全等三角形的性质及等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形对应边相等、对应角相等得出，再根据角的和差得出，最后根据三角形内角和为180度和等边对等角进行求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：67．
17．计算：．
【答案】1
【详解】解：
．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：
，
当时，原式．
19．国庆假期小明随父母去某景区度假，景区中一高塔吸引了他的注意.小明想知道它的高度于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是，向前走了15米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮他求出这座高塔的高度（参考数据：，，）
【答案】这座高塔的高度为米．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题．证明四边形均为矩形．在和中，根据三角函数的定义列式计算即可解答．
【详解】解：由题意得，，
则四边形均为矩形．
所以米，米，
在中，，则．设米，
在中，，
则，即，
解得：，
所以米，
则（米）．
答：这座高塔的高度为米．
20．为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了_____名学生，两幅统计图中的m=_____，n=____．
(2)已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
(3)学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
【答案】(1)200，84，15
(2)1224人
(3)
【分析】本题考查了列表法与树状图法，也考查了统计图,
（1）用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到m的值，然后用30除以调查的总人数可以得到n的值；
（2）用3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：，
所以本次调查共抽取了200名学生，
，
；
故答案为：200，84，15；
（2）解：，
所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人；
（3）解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，
所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
21．如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆切线的判定与性质
（1）连接，利用求证即可求证即得证；
（2）通过勾股定理,再通过勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：证明：如图，连接OD
∵
∴，
∵
∴
∴
在与中
∴(SAS)
∴
∵AC是切线．
∴
∴
∵点D在上，OD为半径，且
∴CE是的切线
（2）解：∵CE是的切线
∴
设半径为，在Rt中，，由勾股定理得：
∵，
∴
解得：
∵
∴
设，在Rt中，，由勾股定理得：
∴
解得：
∴CD的长为6
22．某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的2倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台．
(1)求每台B款电器的售价为多少元？
(2)经统计，该商场每月卖出A款电器100台，每台A款电器的利润为100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台，商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元?
【答案】(1)每台B款电器的售价为600元
(2)每台A款电器应降价40元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键．
（1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，根据顾客用元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台．列出分式方程，解方程即可；
（2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到10800元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【详解】（1）解：设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，
由题意得：
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：每台B款电器的售价为600元；
（2）解：设每台A款电器应降价m元，
由题意得：
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：每台A款电器应降价40元．
23．如图，，与相交于点，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．
（）利用已知条件推导出，再根据相似三角形的性质即可得到；
（）先证明，得到，把这种关系代入到可得到，再通过可算出，解题的关键从图形中找到相似三角形并利用它的性质求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解；∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．定义；若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若函数G1的图象与函数G2的图象相交于A、B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数G1与函数G2互为“倍根函数”，A、B两点间的水平距离为“倍宽”．
（1）若是“倍根方程”，求的值；
（2）函数与互为“倍根函数”且“倍宽”为2，求的值；
（3）直线l：y＝tx+d与抛物线L：y＝2x2+px+q（q≠d）互为“倍根函数”，若直线l与抛物线L相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且2+2t2≤AB2≤3+3t2，令6x0＝|p﹣t|，若二次函数y0＝﹣（x0﹣m）2+m2+1有最大值4，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）m＝
【分析】（1）根据因式分解法可知x1＝4，x2＝，分：当、，两种情况分别求解；
（2）由题意可知交点A、B必须在同一象限，结合二次函数和一次函数图象的性质可知，再分、，两种情况分别求解；
（3）则，求出x的范围再根据解析式和最值分类讨论即可．
【详解】解：（1）x1＝4，x2＝，
当x1＝2x2时，即，解得：，
当x2＝2x1时，即，解得：，
故；
（2）∵二次函数开口向上，对称轴为y轴，由题意可知交点A、B必须在同一象限，
∴，即，
设交点A（x1，y1），B（x2，y2），A在左B在右，
∵“倍宽”为2，
∴，
∵函数与互为“倍根函数”，
∴，
∴，，
①，
∴，，，
∴（舍去），
②，
∴，，
∴，
故；
（3）tx+d＝2x2+px+q，
整理得：2x2+（p﹣t）x+（q﹣d）＝0，
x1+x2＝（t﹣p），x1x2＝（q﹣d），设：x1＝2x2＝x，
整理得：x＝，x2＝，y1＝tx1+d，y2＝tx2+d，
则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝x2（1+t2），
2+2t2≤AB2≤3+3t2，即2≤x2≤3，
即2≤（）2≤3，
则6≤|p﹣t|≤6，
由6x0＝|p﹣t|，
则x0的范围：≤x0≤，
y0＝﹣（x0﹣m）2+m2+1有最大值4，开口向下，对称轴为x＝m，
由x0（xt）的范围可知应根据对称轴的位置分三种情况讨论：
①m＞时，x＝时，y有最大值4，即4＝﹣（﹣m）2+m2+1，解得m＝；
②≤m≤时，顶点纵坐标m2+1＝4，解得m＝±，∴m＝；
③m＜时，x＝时，y有最大值4，即4＝﹣（﹣m）2+m2+1，解得m＝（舍）；
综上所述：m＝．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、新定义的理解等，本题的关键是利用韦达定理求解复杂数据．
25．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D是该抛物线的顶点，点是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当时，求m的值；
(3)如图2，的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别交于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，为定值，请直接写出该定值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）求出A、C坐标，代入解析式计算即可；
（2）取BC中点G，作GH⊥BC于H，连接CH，过C作CM⊥BD于M，过P作PN⊥x轴于N，由抛物线顶点D坐标为（1，-4），B（3，0），C（0，-3），可得∠BCD=90°，GH∥CD，从而H为BD中点，CH=BH= BD= ，由面积法得，故tan∠CHM= tan∠PBA=，设P（m，m2-2m-3），表示出tan∠PBA列方程计算即可；
（3）过M作轴交AC于G，过F作轴交AM于T，过C作轴交AM于Q，由MG∥FT∥CQ∥OA，得△COA∽△CMG，△ACQ∽AGM，证明即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴
将，，代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）取中点，作于H，连接，过作于M，过作于轴，如图：
由得抛物线顶点D坐标为，而，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵G为BC中点，
∴H为BD中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
设，
则
解得（与B重合，舍去）或，
∴m的值为；
（3）过M作轴交AC于G，过F作轴交AM于T，过C作轴交AM于Q．如图：
∵轴，轴，轴，
∴，
∴，，
∴，，
∴
∴，
∵AM平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
由（1）可知：，，
∴，
∴
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标特征、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．