广东省汕头市2023-2024学年高三上学期12月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省汕头市2023-2024学年高三上学期12月期中考试数学试卷（Word版附解析），共26页。试卷主要包含了 已知复数与复数都是纯虚数，则， 设，则有， 已知，点在线段上， 设为两个互斥的事件，且，则等内容，欢迎下载使用。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，能表示集合与关系的Venn图是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数与复数都是纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设，则有（ ）
A B.
C. D.
4. 为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学､法律､健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.现抽取10个班级的平均成绩：，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为（ ）
A 77B. 78C. 76D. 80
5. 已知，点在线段上（不包括端点），向量，的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
6. 图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（ ）
A. 3B. 4C. D. 6
7. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（ ）

A. B.
C. D.
8. 设，若函数在递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设为两个互斥的事件，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知圆，点是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（ ）
A. 圆上恰有一个点到的距离为B. 直线恒过定点
C. 的最小值是D. 四边形面积的最小值为2
11. 如图，在长方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）

A. 平面
B. ⊥平面
C. 异面直线CN和AB所成角的余弦值为
D. 若P为线段上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值
12. 对于函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是的一个周期B. 在上有3个零点
C. 的最大值为D. 在上是增函数
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分，第二空3分.
13. 以下4幅散点图所对应样本相关系数的大小关系为__________.
14. 高中数学教材含必修类课本2册，选择性必修类课本3册，现从中选择3册，要求两类课本中各至少选一册，则不同的选法共有__________种.（用数字作答）
15. 如图，在三棱锥中，，若，则直线与所成角的大小是__________.

16. 三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则．
①双曲线H离心率为________；
②若，，CE交AB于点P，则________．
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：
18. 如图，长方体中，，，若在上存在点，使得平面.
（1）求的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19. 某种疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为.为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10个病人服用，试验方案为：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.
（1）如果新药有效，把治愈率提高到了，求经试验认定该药无效的概率；（精确到0.001，参考数据：）
（2）根据（1）中值的大小解释试验方案是否合理.
20. 在凸四边形中，对角线交于点，且.
（1）若，求余弦值；
（2）若，求边的长.
21. 设椭圆的离心率为，上､下顶点分别为.过点，且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于两点.
（1）若，求的值；
（2）是否存在实数，使得直线平行于直线？证明你的结论.
22. 已知函数，．
（1）若的图像在点（1，f（1））处的切线过（3，3），求函数y=xf（x）的单调区间；
（2）当a>0时，曲线f（x）与曲线g（x）存在唯一的公切线，求实数a的值．
汕头市2023-2024学年度普通高中毕业班期中调研测试
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，能表示集合与关系的Venn图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式，结合集合的交运算即可判断.
【详解】因为，
又，
所以，
所以，，，
根据选项的Venn图可知选项D符合.
故选：D.
2. 已知复数与复数都是纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，由题意列出方程组，求解即可.
【详解】解：设，
则，，
由题意可得,解得，
所以.
故选：D.
3. 设，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二倍角公式化简，然后根据正弦函数的单调性比较大小.
【详解】，，，
因为在时单调递增，所以，即.
故选：C.
4. 为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学､法律､健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛.现抽取10个班级的平均成绩：，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为（ ）
A. 77B. 78C. 76D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】由第p百分位数计算公式可得答案.
【详解】因共10个数据，则，故该组数据的第40百分位数为从小到大排列第4个数据与第5个数据的平均数，即.
故选：A
5. 已知，点在线段上（不包括端点），向量，的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量共线定理的推论得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】，点在线段上（不包括端点），
故存在，使得，即，即，
因为向量，所以，
可得，
，，由基本不等式得
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C．
6. 图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（ ）
A 3B. 4C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用两个几何体中的装水的体积相等，列出方程，即可求解.
【详解】在图1中的几何体中，水的体积为，
在图2的几何体中，水的体积为，
因为，可得，解得.
故选：B.
7. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的变换即可得答案.
【详解】解：由题意可知，图2中的图象是将图1中的图象纵坐标不变，横坐标先缩短，再向右平移个单位得到的.
所以对应的解析式为.
故选：D.
8. 设，若函数在递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把函数在递增利用导数转化为在上恒成立，利用指数函数单调性得，解对数不等式即可得解.
【详解】因为函数在递增，
所以在上恒成立，
则，即在上恒成立，
由函数单调递增得，
又，所以，所以，
所以即，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设为两个互斥的事件，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据互斥事件的含义及概率计算公式逐项判定即可.
【详解】因为为两个互斥的事件，且，
所以,即，故A正确，B错误；
因为为两个互斥的事件，
所以
，
故C正确；
因为为两个互斥的事件，所以，故D正确，
故选：ACD.
10. 已知圆，点是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（ ）
A. 圆上恰有一个点到的距离为B. 直线恒过定点
C. 的最小值是D. 四边形面积的最小值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离求解选项A；利用圆的标准方程和直线恒过定点的求解方法求解选项B；利用弦长公式求解选项C；利用切线长公式求解选项D.
【详解】
圆心，半径，
对A，圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线距离得最小值为，
圆上的点到直线距离得最大值为，
所以圆上恰有两个点到的距离为，A错误；
对B，设，由题意可知，都在以为直径的圆上，
又，所以为直径的圆的方程为，
整理得，，
联立可得，
，即为直线的方程，
即
令，解得，所以直线恒过定点，B正确；
对C，因为直线恒过定点，
当定点与圆心的连线垂直于时，
圆心到直线的距离最大，则最小，
定点与圆心之间的距离为，
所以，C正确；
对D，四边形的面积为,
根据切线长公式可得，，
当最小时，最小，，
所以最小值为1，即四边形面积的最小值为1，D错误；
故选:BC.
11. 如图，在长方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）

A. 平面
B. ⊥平面
C. 异面直线CN和AB所成角的余弦值为
D. 若P为线段上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值
【答案】AD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定定理，利用空间平面向量的数量积运算性质、夹角公式逐一判断即可.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则

，
对于 A，因为
所以，又平面，平面，
所以平面，故 A 正确；
对于B： ，
设平面的法向量为，则即
令，则所以平面的一个法向量为因为与不平行，所以 ⊥平面不成立，故 B错误；
对于C：
设异面直线CN和AB 所成的角为，则，故C错误；
对于 D，设，
所以，
又平面的一个法向量为所以点 P到平面的距离不是定值.故 D正确.
故选 ：AD
12. 对于函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是的一个周期B. 在上有3个零点
C. 的最大值为D. 在上是增函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，根据周期的定义即可判断；对于B，令即可求得零点；对于CD，对求导，令，判断单调性即可.
【详解】对于A，因为，
所以是的一个周期，A正确；
对于B，当，时，，
即，即或，解得或或，
所以在上有个零点，故B正确；
对于C，由A可知，只需考虑求在上的最大值即可.
，
则，
令，求得或，
所以当或时，，此时，
则在上单调递增，
当时，，此时，但不恒为0，
则在上单调递减，
则当时，函数取得最大值，
为，C正确；
对于D，由C可知，在上不是增函数，D错误.
故选：ABC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分，第二空3分.
13. 以下4幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可；
【详解】根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，
又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，
故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，
所以.
故答案为：
14. 高中数学教材含必修类课本2册，选择性必修类课本3册，现从中选择3册，要求两类课本中各至少选一册，则不同的选法共有__________种.（用数字作答）
【答案】9
【解析】
【分析】根据选取的必修类课本数量分类即可.
【详解】第一类，只选取一册必修类课本的选法有种；
第二类，两册必修类课本都选的选法有种.
综上，满足条件的选法共有种.
故答案为：9
15. 如图，在三棱锥中，，若，则直线与所成角的大小是__________.

【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量可得，在根据模长可求得，即可求出直线与所成角的大小是.
【详解】根据题意可得，又，
所以可得
，
即可知，
设直线与所成的角为，
则，又，
所以.
故答案为：
16. 三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则．
①双曲线H的离心率为________；
②若，，CE交AB于点P，则________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】①根据图形关系确定即可求解；利用面积之比，进而可求出，再根据求解.
【详解】①由题可得所以，
所以双曲线H的离心率为；
②，因为，且，
所以,
又因为，所以
所以，
所以,
因为,解得，
所以,
故答案为:2; .
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，得到时，，两式相减可得，进而求得数列的通项公式.
（2）由（1）知，求得，结合裂项法求和，即可求解.
【小问1详解】
解：由是公差为的等差数列，
可得，即，
当时，，
两式相减可得，即，
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式.
【小问2详解】
解：由（1）知，
当时，，则，
所以，
因为，所以，
所以.
18. 如图，长方体中，，，若在上存在点，使得平面.
（1）求长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空间坐标系，设，令即可求出的值；
（2）求出平面的法向量，计算和的夹角即可得出二面角的大小.
【详解】（1）以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，，，0，，，0，，，2，，，0，，
，2，，，2，，，，，
平面，
，即，解得，
.
（2）由（1）可知，，为平面的法向量，
，，，，0，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，2，，
，
平面与平面夹角的余弦值为.
【点睛】方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）；
方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）
19. 某种疾病历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为.为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10个病人服用，试验方案为：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.
（1）如果新药有效，把治愈率提高到了，求经试验认定该药无效的概率；（精确到0.001，参考数据：）
（2）根据（1）中值的大小解释试验方案是否合理.
【答案】19. 20. 试验方案合理
【解析】
【分析】（1）先分析新药无效的情况：10中0人或1人或2人或3人或4 人痊愈，由此求解出无效的概率；
（2）结合（1）该药无效的概率分析试验方案的合理性得解.
【小问1详解】
设通过试验痊愈的人数为变量，则，
所以经试验认定该药无效的概率为：
.
【小问2详解】
由题意，新药是有效的，由（1）得经试验认定该药无效的概率为，概率很小是小概率事件，故试验方案合理.
20. 在凸四边形中，对角线交于点，且.
（1）若，求的余弦值；
（2）若，求边的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，在与中，分别利用余弦定理建立方程求解，然后在中由余弦定理求解；
（2）在中由正弦定理得，从而求得，进一步利用直角三角形的性质得，，在中由余弦定理求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，设，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，所以，
在中，由余弦定理得；
【小问2详解】
在中，由正弦定理得，
所以，又为三角形的内角，所以，
所以，，且，
所以，又，
在中，由余弦定理得
，所以.
21. 设椭圆的离心率为，上､下顶点分别为.过点，且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于两点.
（1）若，求的值；
（2）是否存在实数，使得直线平行于直线？证明你的结论.
【答案】（1）
（2）不存在实数，使得直线平行于直线，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意，列出基本量方程组，进而求出椭圆方程，设，，
直线方程为，直曲联立，结合韦达定理，求出的中点横坐标，据题意推出的中点即为的中点，列方程即可求出的值；
（2）据题意，若,则，进而得到，由（2）得，即，即可得出答案.
【小问1详解】
根据题意，，解得，
所以椭圆的方程为，
当时，直线方程为，与轴无交点，不符合题意；
当时，设直线方程为，则，
设，，
由得，
，
所以，，
所以的中点横坐标为，的中点横坐标为，
又因，且四点共线，
取中点，则，
所以，即，
所以是的中点，即与的中点重合，
即，解得.
【小问2详解】
不存在实数，使直线平行于直线，证明如下：
由题意，，
则，，
若,则，
所以，化简得，
即，化简得，
由（2）得，
所以，故，整理得，无解，
所以不存在实数，使直线平行于直线.
22. 已知函数，．
（1）若的图像在点（1，f（1））处的切线过（3，3），求函数y=xf（x）的单调区间；
（2）当a>0时，曲线f（x）与曲线g（x）存在唯一的公切线，求实数a的值．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）先由切线方程求出，利用导数求出函数的单调区间；（2）设公切线与两曲线的切点为，，利用分离参数法求出，，
构造函数，利用导数判断出F（x）的单调性和最大值，即可求得.
【小问1详解】
由得，又，
所以在x=1处切线方程为，代入（3，3）得
所以，
，
由得，由得，
所以单调递增区间为，单调递减区间为．
【小问2详解】
设公切线与两曲线的切点为，，易知，
由，
，
所以，
由，故，所以，故，
所以，，
构造函数，问题等价于直线y=a与曲线y=F（x）在x>1时有且只有一个交点，
，当时，F（x）单调递增；当时，F（x）单调递减；
的最大值为，，当x→+∞时，F（x）→0，．