2024年中考数学探究性试题总复习-- 分式的混合运算（6）

这是一份2024年中考数学探究性试题总复习-- 分式的混合运算（6），共11页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
一、综合题
1．【阅读材料】若分式A与分式B的差等于它们的积，即A−B=AB，则称分式B是分式A的“关联分式”．
例如1x+1与1x+2，
解：∵1x+1−1x+2=1(x+1)(x+2)，
1x+1×1x+2=1(x+1)(x+2)，
∴1x+2是1x+1的“关联分式”．
（1）【解决问题】已知分式2a2−1，则2a2+1 2a2−1，的“关联分式”（填“是”或“不是”）．
（2）和谐小组成员在求分式1x2+y2的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设1x2+y2的“关联分式”为B，
则1x2+y2−B=1x2+y2×B，
∴(1x2+y2+1)B=1x2+y2，
∴B=1x2+y2+1．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式a−b2a+3b的“关联分式”．
（3）【拓展延伸】观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式yx的“关联分式”： ．
2．“|abcd|”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：|abcd|=ad−bc，例如：|1234|=1×4−2×3=−2.
（1）计算|a+ba−b12a2b12a2b|；
（2）求等式|211−x|=1中x的值.
3．阅读下列材料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如：4x+3，x+1x2这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如x+2x−1，x2−12x+1这样的分式就是假分式.假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.
例如：x+2x−1=(x−1)+3x−1=1+3x−1；
又如：2x2−3x+3x−1=2(x−1)2+x+1x−1=2(x−1)2+(x−1)+2x−1
=2(x−1)+1+2x−1=2x−1+2x−1.
（1）分式2x2x是 （填“真分式”或“假分式”）﹔
（2）将假分式3x+1x−1化为带分式；
（3）如果分式8x2+16x+32x+1的值为整数，求所有符合条件的整数x的值.
4．材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如：107=1+37=137.
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如：a+1a=1+1a.
a+2a−1=(a−1)+3a−1=1+3a−1.
材料二：为了研究字母a和1a分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式：a+2a= ；a+1a−2= ；
（2）当a>0时.随着a的增大，分式a+2a的值 （填“增大”或“减小”）；
（3）当a>−2时，随着a的增大，分式2a+5a+2的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.
5．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)；
立方差公式：x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2).
根据材料和已学知识解决下列问题
（1）因式分解：a3−8；
（2）先化简，再求值：(3xx2−2x−x2+2x+4x3−8)÷2x2−4，其中x=3.
6．定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．
（1）已知分式2a2−1，试说明2a2+1是2a2−1的“关联分式”；
（2）小聪在求分式1x2+y2的“关联分式”时，用了以下方法：
设1x2+y2的“关联分式”为N，则1x2+y2−N=1x2+y2×N，
∴(1x2+y2+1)N=1x2+y2，∴N=1x2+y2+1．
请你仿照小聪的方法求分式x+y2x−3y的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式ab−a的“关联分式”： ．
②若n−2mx+m2+n是m+2mx+n2的“关联分式”，则m+n的值为 ．
7．【阅读学习】阅读下面的解题过程：
已知：xx2+1=13，求x2x4+1的值．
解：由xx2+1=13知x≠0，所以x2+1x=3，即x+1x=3，
所以x4+1x2=x2+1x2=(x+1x)2−2=32−2=7，
故x2x4+1的值为17．
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知xx2−3x+1=−2，求x2x4+5x2+1的值．
（2）【拓展延伸】
已知1a+1b=12，1b+1c=13，1a+1c=15，求abcab+bc+ac的值．
8．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2−ab−bc−ac=12[（a−b）2+（b−c）2+（a−c）2]
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你说明这个等式的正确性；
（2）若a=2014，b=2015，c=2016，你能很快求出a2+b2+c2−ab−bc−ac的值；
（3）已知实数x，y，z，a满足x+a2=2014，y+a2=2015，z+a2=2016，且xyz=36．求代数式xyz+yxz+zxy−1x−1y−1z的值．
9．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，则x+1x−1是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①x+33②x−5x③x−1x+2④x+1x2
（2）请将“和谐分式”x2+6x+3x+3化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
（3）应用：先化简(x−xx+1)÷x2−3xx2−9⋅x+1x2+6x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
10．在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：x+1x−1，x2x+1这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如3x−1，−3xx2+1这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：
x+1x−1＝(x−1)+2x−1＝1+2x−1，x2x+1＝x2−1+1x+1＝(x−1)(x+1)+1x+1＝x﹣1+1x+1.
参考上面的方法解决下列问题：
（1）将分式x+6x+2化为带分式；
（2）求分式23−9n8−n的最大值；（其中n为正整数）
（3）已知分式2t+3t+2的值是整数，求t的整数值.
11．阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2= ，x1⋅x2= ．
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根分别为m、n，求nm+mn的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，求1s+1t的值．
12．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： 83=6+23=2+23=223 .我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如 x−1x+1 ， x2x−1 这样的分式就是假分式；再如： 3x+1 ， 2xx2+1 这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）.如： x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1 ；
解决下列问题：
（1）分式 5x 是 分式（填“真”或“假”）；
（2）x2x−1 将假分式化为带分式；
（3）如果 x 为整数，分式 3x−2x+1 的值为整数，求所有符合条件的 x 的值.
13．我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 4x+2 ， 3x2x3－4x 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 x+1x－1 ， x2x+1 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， x+1x－1 = (x−1)+2x－1 =1＋ 2x－1 ， 2x−3x+1 = 2x+2−5x+1 = 2x+2x+1 + −5x+1 = 2＋ −5x+1 ．
（1）将假分式 4x－5x+1 化为一个整式与一个真分式的和；
（2）将假分式 a2－4a+6a－1 化成一个整式与一个真分式的和的形式为： a2－4a+6a－1 = a＋m＋ na－1 ，求m、n的值； 并直接写出当整数a为何值时，分式 a2－4a+6a－1 为正整数；
（3）自然数A是 1018+2022109+2 的整数部分，则A的数字和为 ．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是1+2+6=9）
14．根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法.
例：k为何值时，多项式x3+3x2−23x+k有一个因式是x+1?
解：设它的另一个因式为x2+ax+b（a，b为常数），
则x3+3x2−23x+k
=(x+1)(x2+ax+b)
=x3+ax2+bx+x2+ax+b
=x3+(a+1)x2+(a+b)x+b
比较两边的系数，得a+1=3a+b=−23k=b，解得k=−25
（1）已知多项式2x2−7x+m有一个因式是x−5，求m的值；
（2）已知2x−3x2+x=Ax+1+Bx，其中A，B为常数，求A−B的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）是
（2）解：设a−b2a+3b的关联分式是N，则：
a−b2a+3b−N=a−b2a+3b⋅N
∴(a−b2a+3b+1)⋅N=a−b2a+3b
∴3a+2b2a+3b⋅N=a−b2a+3b
∴N=a−b3a+2b；
（3）yx+y
2．【答案】（1）解：由题意可得，
|a+ba−b12a2b12a2b|
＝（a+b）• 12a2b ﹣（a﹣b）• 12a2b
＝ a+b−a+b2a2b
＝ 2b2a2b
＝ 1a2 ；
（2）解：∵|2111−x1x−1|=1
∴2× 1x−1 ﹣1× 1x−1 ＝1，
去分母，得：2+1＝x﹣1，
移项及合并同类项，得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣1≠0，
∴x＝4是原分式方程的解，
即x的值为4.
3．【答案】（1）假分式
（2）解： 3x+1x−1=3(x−1)+4x−1=3+4x−1
（3）解： 8x2+16x+32x+1
=2(2x+1)2+8x+12x+1
=2(2x+1)2+4(2x+1)−32x+1
=2(2x+1)+4−32x+1
=4x+6−32x+1 ，
∵分式 8x2+16x+32x+1 的值为整数，
∴2x+1 可取 −3，−1，1，3 ，
∴所有符合条件的整数 x 的值.-2，-1，0，1
4．【答案】（1）1+2a；1+3a−2
（2）减小
（3）解：2，理由如下：
∵2a+5a+2=2+1a+2，
随着a的增大，1a+2的值越来越小，
∴随着a的增大，分式2a+5a+2的值无限趋近于2.
5．【答案】（1）解：原式=(a−2)(a2+2a+4)
（2）解：原式=[3xx(x−2)−x2+2x+4(x−2)(x2+2x+4)]⋅(x+2)(x−2)2
=(3x−2−1x−2)⋅(x+2)(x−2)2
==2x−2⋅(x+2)(x−2)2
=x+2.
当x=3时，原式=5.
6．【答案】（1）解：∵2a2−1−2a2+1=2(a2+1)−2(a2−1)(a2−1)(a2+1)=4(a2−1)(a2+1)，
2a2−1×2a2+1=4(a2−1)(a2+1)，
∴2a2+1是2a2−1的关联分式．
（2）解：设x+y2x−3y的关联分式是N，则：x+y2x−3y−N=x+y2x−3y⋅N，
∴(x+y2x−3y+1)⋅N=x+y2x−3y，
∴3x−2y2x−3y⋅N=x+y2x−3y，
∴N=x+y3x−2y．
（3）ab；12
7．【答案】（1）解：由xx2−3x+1=−2知x≠0，
所以x2−3x+1x=−12，
即x+1x−3=−12，
所以x+1x=52
所以x4+5x2+1x2
=x2+1x2+5
=(x+1x)2−2+5
=(52)2−2+5
=374
故：x2x4+5x2+1的值为437．
（2）解：因为1a+1b=12，1b+1c=13，1a+1c=15，
所以2×(1a+1b+1c)=3130，
所以1a+1b+1c=3160，
所以ab+bc+acabc，
=1c+1a+1b
=3160
故，abcab+bc+ac的值为6031．
8．【答案】（1）解：等式右边=12(a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2)=12(2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac)=a2+b2+c2−ab−bc−ac=左边，得证
（2）解：当a=2014，b=2015，c=2016时，a2+b2+c2−ab−bc−ac=12[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2]=3
（3）解：∵xyz=36，
∴xyz+yxz+zxy−1x−1y−1z=136(x2+y2+z2−xy−yz−xz)，
∵x+a2=2014，y+a2=2015，z+a2=2016，
∴x=−a2+2014，y=−a2+2015，z=−a2+2016，
∴原式=136×3=112．
9．【答案】（1）②③
（2）解：x2+6x+3x+3
=(x+3)2−6x+3
=x+3−6x+3
（3）解：(x−xx+1)÷x2−3xx2−9⋅x+1x2+6x
=x(x+1)−xx+1·(x+3)(x−3)x(x−3)·x+1x(x+6)
=x2(x+1)(x+3)(x−3)x2(x+1)(x−3)(x+6)
=x+3x+6
=x+6−3x+6
=1−3x+6，
∵1−3x+6为整数，
∴x+6=±1，±3，
∴当x=−3，−5，−7，−9时，1−3x+6是整数，
又∵x≠0，−1，3，−3，−6．
∴x=−5，−7，−9时，原式的值是整数．
10．【答案】（1）解：原式＝x+2+4x+2＝1+4x+2；
（2）解：原式＝9(8−n)−498−n＝9﹣498−n，
∵n为正整数，
∴当n＝9时，分式有最大值，最大值为9+49＝58；
（3）解：原式＝2(t+2)−1t+2＝2﹣1t+2，
∵分式的值为整数，
∴t+2＝±1，
∴t＝﹣1或﹣3.
11．【答案】（1）32；−12
（2）解：∵一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根分别为m、n，
∴m+n=32，mn=−12，
∴m2+n2=(m+n)2−2mn=134，
∴nm+mn=n2+m2mn=−132
（3）解：∵实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，
∴s+t=32，st=−12，
∴1s+1t=t+sst=−3
12．【答案】（1）真
（2）解： x2x−1 = x2−1+1x−1 = x+1+1x−1 ；
（3）解： 3x+3−5x+1=3−5x+1 ，
∵x 为整数，分式 3x−2x+1 的值为整数，
∴x+1=1，5，-1，-5，
∴x=0，4，-2，-6.
13．【答案】（1）解： 4x−5x+1 =4(x+1)−9x+1 =4+−9x−1
（2）解：∵a2－4a+6a－1=a+ma−1+na－1=a2+a（m−1）−m+na－1 ，
∴m-1=-4，-m+n=6
解之：m=-3，n=3；
a =4或2
（3）80
14．【答案】（1）解：设多项式2x2−7x+m的另一个因式为ax+b，
则2x2−7x+m
=(x−5)(ax+b)
=ax2+bx−5ax−5b
=ax2+(b−5a)x−5b
比较两边的系数，得a=2b−5a=−7−5b=m，解得m=−15
（2）解：∵2x−3x2+x=Ax+B(x+1)x(x+1)=(A+B)x+Bx2+x，
∴A+B=2B=−3，解得：A=5B=−3
∴A−B=5−(−3)=8.a
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
1a
…
−14
−13
−12
−1
无意义
1
12
13
14
…