安徽省安庆市桐城中学2023-2024学年高一上学期第二次教学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份安徽省安庆市桐城中学2023-2024学年高一上学期第二次教学质量检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A.或B.或
C.或D.
2、已知,若,则下列判断一定正确的是( )
A.B.C.D.
3、已知,则的值等于( )
A.-2B.4C.2D.-4
4、若函数的值域为R,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
5、若正实数x,y满足,不等式有解,则m的取值范围是( )
A.B.
C.D.
6、某同学在研究函数时,分别给出下面四个结论,其中正确的结论是( )
A.函数是奇函数B.函数的值域是
C.函数在R上是增函数D.方程有实根
7、已知函数的定义域为R,可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和,若不等式对任意非零实数x恒成立,则实数的取值范围为( )
A.B.
C.D.
8、已知实数,,且满足恒成立,则的最小值为( )
A.2B.1C.D.4
二、多项选择题
9、已知关于x的不等式的解集为M,则下列说法错误的是( )
A.,则
B.若,则关于x的不等式的解集为
C.若为常数,且,则的最小值为
D.若,的解集M一定不为
10、已知函数,.记,则下列关于函数的说法正确的是( )
A.当时,
B.函数的最小值为
C.函数在上单调递减
D.若关于x的方程恰有两个不相等的实数根,则或
11、已知函数的定义域为R,,,且,,则( )
A.B.
C.D.
12、的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数,下列结论正确的( )
A.函数没有对称中心
B.函数的对称中心为
C.函数的对称中心的横坐标为
D.定义在的函数的图象关于点成中心对称.当时,,则的值域为
三、填空题
13、已知函数,若,则___________.
14、函数的递减区间是_____________.
15、若函数在定义域D内的某区间M上是增函数,且在M上是减函数,则称在M上是“弱增函数”.已知函数在上是“弱增函数”,则实数a的值为_______________.
16、定义在R上的函数满足,且当时,,,对,,使得,则实数a的取值范围为_________________.
四、解答题
17、已知,,.
（1）求;
（2）若,求实数a的取值范围.
18、已知函数是定义域在R上的奇函数,当时,.
(1)求在R上的解析式;
(2)若函数在区间上单调递减,求实数a的取值范围.
19、已知函数,,
(1)若的解集为,求a的值;
(2)若对,总,使得,求实数m的取值范围.
20、定义在R上的函数满足：对于,,成立;当时,恒成立.
(1)求的值;
(2)判断并证明的单调性;
(3)当时,解关于x的不等式.
21、中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售 8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少0.2万件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了抓住此次契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
22、对于函数,若,则称x为的“不动点”;若,则称x为的“稳定点”.若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即,.
(1)求证：;
(2)若,函数总存在不动点,求实数c的取值范围;
(3)若,且,求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：由已知可得,,
解得,或.
故选：A.
2、答案：C
解析：由,,
得,
所以,
对于A,,
当时,,故A不一定正确;
对于B,,
当时,,故B不一定正确;
对于C,,
因为,所以,.
所以,故C一定正确;
对于D,,
因为,所以,.
所以,故D不正确.
故选：C.
3、答案：B
解析：因为,所以,
所以
,
故选：B.
4、答案：D
解析：由题意,
当时,显然单调递增,则;
当时,是开口向下,对称轴为的二次函数,
又函数的值域为R,
当,即时,,即,解得：,
当,即时,,,
综上,
故选：D.
5、答案：B
解析：由,
仅当,即,时等号成立,
要使不等式有解,只需,
所以.
故选：B.
6、答案：D
解析：对于A,,故是偶函数,,不是奇函数,故A错误,
对于B,当时,,由对勾函数性质知,
而是偶函数,的值域是,故B错误,
对于C,当时,,由对勾函数性质知在上单调递增,
而是偶函数,故在上单调递减,故C错误,
对于D,当时,,即,解得,故D正确,
故选：D.
7、答案：A
解析：由题意得,是偶函数,是奇函数,
且①,
则②,
由①②解得,
函数开口向上,且关于y轴对称,在单调递增,
当时,不等式,即,
则对任意非零实数x恒成立,即满足题意.
故排除CD.
当时,不等式,
由关于y轴对称,在单调递增,
得,
即.分离参数得,
由作为一个整体参数可知所求k的范围关于原点对称（可排除B）.
令,,
当且仅当,即时等号成立,
则,令,在是增函数,
则,
要使恒成立,则,则.
故选：A.
8、答案：A
解析：依题意,,
即,
设,是奇函数且在R上递增,
所以,即,.
由基本不等式得,当且仅当时等号成立,
所以的最小值为2.
故选：A.
9、答案：AC
解析：由题意,关于的不等式的解集为,
对于A中,若,即不等式的解集为空集,
根据二次函数的性质,则满足,所以A错误;
对于B中,若,可得和是方程 两个实根,且,
可得,解得,
则不等式,可化为,
即,解得或,
即不等式的解集为,所以B正确;
对于C中,若,为常数,可得是唯一的实根,且,
则满足,解得,所以,
令,因为且,可得,且,
则,
当且仅当时,即时,即时,等号成立,
所以的最大值为,所以C错误;
对于D中,当时,函数表示开口向下的抛物线,
所以当,的解集M一定不为,所以D正确.
故选：AC.
10、答案：ABD
解析：由题意得：,其图象如图所示：
由图象知：当时,,故A正确;
函数的最小值为-2,故正确;
函数在上单调递增,故错误;
方程恰有两个不相等的实数根,则或,故正确;
故选：ABD.
11、答案：ABD
解析：设,则,即,
令,则,所以在R上单调递减,
由,得,即,A正确;
因为,所以,
即,B正确;
因为,所以,C错误;
因为（当且仅当,即时,等号成立）,
所以,D正确.
故选：ABD.
12、答案：BD
解析：由于的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数,
对于A,因为,
所以,满足,是奇函数,
故关于点对称,故A错误;
对于B,因为,定义域为,满足,是奇函数,
所以点为的对称中心,故B正确;
对于C,设的对称中心为,
设,则,即,
即,
所以恒成立,即,
所以,故函数的对称中心的横坐标为,故C错误;
对于D,因为定义在的函数的图象关于点成中心对称.
所以可得为奇函数,
设,即是奇函数,
当时,,
所以,
时,,所以,
所以时,,故D正确;
故选：BD.
13、答案：-10
解析：设,则,则
因为,
所以,
则.
故答案为：-10.
14、答案：和
解析：当时,为开口向下的抛物线,对称轴为,此时在期间单调递减,
当时,,开口向上的抛物线,对称轴为,此时在单调递减,
综上所述：函数的递减区间是,
故答案为：和
15、答案：4
解析：由题意可知函数在上是增函数,
,解得,
令,则在上是减函数,
①当时,在上为增函数,不符合题意;
②当时,由对勾函数的性质可知在上单调递减,
,解得,又,.
故答案为：4.
16、答案：
解析：当时,,
由于为对称轴为开口向下的二次函数,
在上单调递增,
可得在上单调递减,在上单调递增,,,
在上的值域为,在上的值域为,
在上的值域为,
,
,
故当,
在上的值域为,
当时,为增函数,
在上的值域为,
,解得,故a的范围是;
当时,为单调递减函数,
在上的值域为,
,解得;故a的范围是,
综上可知故a的范围是,
故答案为：.
17、答案：（1）;
（2）
解析：（1）,则;
或,则;
则;
（2）,则,
因为,则,
所以,解得.
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为函数是定义域在R上的奇函数,所以,
又当时,,
所以当时,则,故,
所以,
综上,.
（2）当时,,其开口向下,对称轴为;
当时,,其开口向上,对称轴为;
作出的图象如图,
所以要使在上单调递减,必须,即,
所以.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为,所以,
所以,依题得不等式的解集为,
所以是方程的根,
所以, ,
又因为, ,
,所以满足题意, ,解得, .
（2）,总,使得,等价于,
由于在上单调递增,因此;
的对称轴为：.
①若,即,函数在上单调递减,在上单调递增,
则,
, ,即,解得,舍去;
②若,即,函数在上单调递增,则,
, ,解得,此时,;
③若,即,函数在上单调递减,则,
所以,,即,该不等式无解.
综上所述,m的取值范围是.
20、答案：(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
解析：（1）令,则, 可得;
（2）在R上单调递减,证明如下：
由已知,对于,有成立,,
令,则,
所以,对,有,故是奇函数,
任取,且,则,由已知有,
又,得
所以在上是减函数;
（3）因为,
所以,
即,
因为在上是减函数,
所以, 即,又,
所以,
当时,即时,原不等式的解集为;
当时,即时,原不等式的解集为;
当时,即时,原不等式的解集为.
综上所述：当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
21、答案：(1)40元;
(2)a至少应达到10.2万件,每件定价30元.
解析：（1）设每件定价为t元,依题意得,
则,解得,
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元
（2）依题意,时,不等式有解 ,
等价于时,有解,
因为（当且仅当时等号成立）,
所以,此时该商品的每件定价为30元,
当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
22、答案：(1)证明见解析;
(2)
(3)
解析：（1）若,则显然成立,
若,设,则,,即,
从而,故成立;
（2）原问题转化为,有解,
即,
则即恒成立,
, ,
所以实数c的取值范围为;
（3）A中的元素是方程即的实根,
由,知或,解得,
B中元素是方程即的实根,
由知方程含有一个因式,即方程可化为：,
若,则方程①要么没有实根,要么实根是方程②的根,
若①没有实根,
当时,方程为,不成立,故此时没有实数根;
当时,,解得,此时且;
若①有实根且①的实根是②的实根,则由②有,代入①有,
由此解得,再代入②得,解得,
综上,a的取值范围为.