赤峰第四中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份赤峰第四中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合，，则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A.B.
C.D.
2、函数的定义域是( )
A.B.C.D.
3、已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是( )
A.B.
C.D.
4、科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为，若6.5级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，n约等于( )
A.16B.20C.32D.90
5、设，，则a，b，c的大小关系( )
A.B.
C.D.
6、已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7、下列函数最小值为4的是( )
A.
B.
C.
D.
8、“函数在上单调递增”的一个充分不必要条件是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9、下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是( )
A.B.
C.D.
10、下列结论中错误的是( )
A.集合的真子集有7个
B.已知命题，，则，
C.函数与函数表示同一个函数
D.若不等式对一切实数都成立，则实数k的取值范围是
11、下列结论正确的是( )
A.若a，b是正实数，且，则
B.若，则
C.若，，则
D.若，则
12、设函数的定义域为R，满足，当时，，若对于任意的，都有，则实数m的取值可以是( )
A.3B.C.D.6
三、填空题
13、已知幂函数是偶函数，则________.
14、已知为定义在R上的奇函数，当时，则__________.
15、已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对于任意的，，当时，都有成立，则不等式的解集为__________.（用区间表示）
四、双空题
16、已知函数且的图象过定点A，且点A的坐标满足关于x，y的方程，则A点的坐标为__________；的最小值为__________.
五、解答题
17、化简求值：
（1）；
（2）.
18、已知函数与互为反函数，设函数.
（1）若，求实数x的取值范围；
（2）若，求的值域.
19、已知函数，，且，.
（1）求a和b的值；
（2）判断在上的单调性，并根据定义证明.
20、秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为为常数，.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示.
（1）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.
21、已知函数，，，是定义在上的奇函数.
（1）求和实数b的值；
（2）若满足，求实数t的取值范围.
22、已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设.
（1）求实数m，n的值；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：阴影部分表示的集合为，
又，
所以.
故选：D.
2、答案：A
解析：根据函数的特点，函数的定义域需满足，解得：，
所以函数的定义域是.
故选：A.
3、答案：D
解析：由幂函数图象知：，
所以与在各自定义域内都递减，显然只有D满足.
故选：D.
4、答案：C
解析：，
当时，，
当时，，
故选C.
5、答案：B
解析：，，
又在R上单调递增，故，，
，
故.
故选：B.
6、答案：D
解析：由题意，故a的取值范围是.
故选：D.
7、答案：B
解析：对于A，因为，所以，，当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B，因为，，所以，
当且仅当，即取等号，所以函数最小值为4，故B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，而无解，故等号不成立，函数最小值不是4，故C错误；
对于D，取，则，故D错误.
故选：B.
8、答案：A
解析：由题设，令，
所以在上递减，在上递增，而在定义域上递增，
又在上单调递增，故，
所以题设条件的一个充分不必要条件是.
故选：A.
9、答案：BC
解析：A选项，的定义域为，
又，故为奇函数，A错误；
B选项，的定义域为R，
又，故为偶函数，
且在上单调递增，B正确；
C选项，的定义域为R，且，
故为偶函数，且时，，单调递增，C正确；
D选项，当时，单调递减，D错误.
故选：BC.
10、答案：CD
解析：A：共有3个元素，故其真子集个数为，对；
B：由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，，对；
C：由的定义域为，的定义域为，
所以它们定义域不同，不是同一个函数，错；
D：显然时，对一切实数x都成立，故0在k的取值范围内，错.
故选：CD.
11、答案：ABC
解析：A：，
又，则，对；
B：，，
所以，对；
C：，又，，则在上递减，
所以且，则，对；
D：，，
所以，而的符号不确定，故无法比较，的大小，错.
故选：ABC.
12、答案：AB
解析：由函数的定义域为R，满足，
当时，可得，
当时，，，
当时，，；
作出函数的部分图象如下图所示：
由类周期函数性质可知，当时，恒成立；
解方程可得或；
又因为对于任意的，都有，利用图象可知，
因此选项AB符合题意.
故选：AB.
13、答案：
解析：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，的定义域为，不符合题意；
当时，的定义域为，
且，则为偶函数，符合题意.
综上所述，.
故答案为：.
14、答案：
解析：因为函数是定义在R上的奇函数，所以；
当时，；
设，则，所以，
又因为，所以；
综上所述，，
故答案为：.
15、答案：
解析：由为定义在R上的奇函数，则，
令，则对任意，，，恒成立，
所以在上递增，又，定义域为R，
所以为偶函数，在上递增，在上递减，且，
时，，在上，则；在上，则；
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
16、答案：①.②.8
解析：当时，，函数且的图象过定点，
又点A的坐标满足关于x，y的方程，，可得，
整理可得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
即的最小值为8.
故答案为：；8.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）原式.
（2）原式.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题设，则，
所以，可得或，
所以或，故的取值范围为.
（2）由，令，则，
所以在上递增，故，
所以的值域为.
19、答案：（1），
（2）在上的单调递减，证明见解析
解析：（1）因为，，所以，解得，.
（2）由（1）知：，在上的单调递减，
证明如下：在上任取，，且，
，
，
，，，
，，在上的单调递减.
20、答案：（1）
（2）至少需要经过2小时后，学生才能回到教室
解析：（1）若，令，由图知：，则；
若且函数在处连续，故有，故.
综上，.
（2）由（1），令，即，
所以，至少需要经过2小时后，学生才能回到教室.
21、答案：（1），
（2）当时，；当时，
解析：（1）根据题意可得，
又是定义在上的奇函数，
所以，
解得.
（2）由（1）可知，，，
易知函数在上单调递减，
当时，由复合函数单调性可知在上单调递增，
由奇函数性质可得，
需满足，解得；
当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，
由奇函数性质可得，
需满足，解得；
所以当时，；当时，.
22、答案：（1），
（2）
（3）
解析：（1）由可知，函数关于对称，
又，所以函数在单调递增，
可得，即，
解得，.
（2）由（1）可知，
则不等式可化为，
所以，即，
令，又，可得，
即，显然函数在上单调递增，
由题意可得，即可，所以，
所以实数k的取值范围为；
（3）易知，
所以即为，
可化为，
令，即；
则关于x的方程有四个不同的实数解等价为于关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，，
需满足，解得；
所以实数a的取值范围为.