江苏省常州高级中学2023-2024学年高一上学期期中质量检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省常州高级中学2023-2024学年高一上学期期中质量检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若,,则是( )
A.B.C.D.
2、下列函数中,值域为的偶函数是( )
A.B.C.D.
3、设,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4、已知奇函数在R上单调递增,若,则满足的x取值范围是( )
A.B.C.D.
5、设,且,从A到R的两个函数分别为,若对于A中的任意一个x,都有,则集合A的个数是( )
A.1B.2C.3D.无穷多
6、已知函数是R上的堿函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7、若,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
8、已知函数,若非空集合,满足,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、关于x的方程有两个实数解的一个充分条件是( )
A.B.C.D.
10、若正实数a,b满足则下列说法正确的是( )
A.ab有最大值B.有最大值
C.有最小值4D.有最大值
11、已知集合,非空集合,下列条件能够使得的是( )
A.,B.,
C.,D.,
12、已知函数,则下列结论正确的是( )
A.在上单调递增
B.值域为
C.当时,恒有成立
D.若,,且,则
三、填空题
13、由命题“存在,使”是假命题,求得m的取值范围是,则实数a的值是_____________.
14、已知函数,若的值域为,则实数c的值是____________.
15、某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品,第二天售出13种商品,第三天售出14种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有5种,则该网店这三天售出的商品最少有_____________种.
16、已知一块直角梯形状铁皮ABCD,其中,,,现欲截取一块以CD为一底的梯形铁皮CDEF,点E,F分别在AD,AB上,记梯形CDEF的面积为,剩余部分的面积为,则的最小值是_______________.
四、解答题
17、已知二次函数的最小值为.
(1)若,求a的值;
(2)设关于x的方程的两个根分别为,求的值.
18、已知全集,集合,.
(1)当时,求;
(2)若是的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
19、已知函数是定义在R上的奇函数,当时,.
(1)求函数的解析式;
(2)①用定义证明函数在上是单调递减函数;
②判断函数在上的单调性,请直接写出结果;
(3)根据你对该函数的理解,在坐标系中直接作出函数的图象.
20、某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”,经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系;,肥料成本投入为元,其它成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价为20元/千克,且销售畅通供不应求,记该水果单株利润为（单位：元）
(1)求的解析式;
(2)当施用肥料为多少千克时,该水果单株利润最大？最大利润是多少？
21、已知函数,.
(1)求函数的定义域和值域：
(2)若a为非零实数,设函数的最大值为.
①求;
②确定满足的实数a,直接写出所有a的值组成的集合.
22、已知函数.
(1)求关于x的不等式的解集,
(2)若对任意的正实数a,存在,使得,求实数m的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：因,,则,
而,所以.
故选：A.
2、答案：D
解析：对于A,因为的定义域为,所以此函数不是偶函数,故A错误;
对于B,因为,即的值域为,故B错误;
对于C,当时,,显然值域不为,故C错误;
对于D,因为的定义域为,且,
又,所以是值域为的偶函数,故D正确.
故选：D.
3、答案：B
解析：因为等价于或,
等价于或,
而或或,
所以,
故“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
4、答案：B
解析：因为函数为R上的奇函数, ,
则,,
所以可化,
又函数在R上单调递增,所以,解得.
故选：B.
5、答案：C
解析：因为,
令,解得或,
故由题意可知,且,
则当,,时,满足条件.
故选：C.
6、答案：D
解析：易知二次函数的对称轴为,
因为函数是R上的减函数,
所以,解得.
故选：D.
7、答案：C
解析：对于A,,因为,所以,.
所以,即,于是有故A错误;
对于B,因为,
因为,所以,但ab与1的大小不确定,故不一定成立,故B错误;
对于C,因为,
因为,所以,,
所以,即,于是有,故C正确;
对于D,因为,
因为,所以,,
所以,即,于是有,故D错误.
故选：C.
8、答案：A
解析：因为,
不妨设的解集为,则由得,
所以,
又,,所以且,
因为的解集为,所以m,n是,即的两个根,
故,即,
此时由,得,则,
因为,显然,且开口向上,对称轴为,
所以,则,
又,解得,即.
故选：A.
9、答案：AB
解析：因为有两个实数解,
当时,,显然不满足题意;
当时,,得;
综上,且,
即有两个实数解等价于且,即或,
要使得选项中m的范围是题设条件的充分条件,
则选项中m的范围对应的集合是或的子集,
经检验,AB满足要求,CD不满足要求.
故选：AB.
10、答案：ABC
解析：因为正实数a,b满足,
由基本不等式可得,当且仅当时取等号,故A正确;
因为,当且仅当时取等号,
所以的最大值为,故B正确;
,当且仅当时取等号,即有最小值4,故C正确;
,由A可知,所以
即有最小值,当且仅当时取等号,故D错误;
故选：ABC.
11、答案：ABD
解析：对于A,方程,因式分解得,
解得或,所以,满足,故A正确;
对于B,方程,因式分解得,
解得,所以,满足,故B正确;
对于C,方程,因式分解得,
解得或,所以,不满足,故C错误;
对于D,方程,因式分解得,
解得,所以,满足,故D正确;
故选：ABD.
12、答案：ACD
解析：对于AB,因为,则由解析式知的定义域为,
又,所以为奇函数,
当时,由对勾函数性质知：在上单调递减,在上单调递增,且值域为,
而在上递增,所以在上单调递减,在上单调递增,且,
由奇函数的对称性知：在上单调递增,在上单调递减,且,
所以值域为,故A正确,B错误;
对于C,当时,恒成立,
所以恒有成立,故C正确;
对于D,由,
因为,,且,
所以,故,当且仅当时等号成立,
而时,,故等号不成立,所以,故D正确;
故选：ACD.
13、答案：1
解析：因为命题“存在,使”是假命题,
所以命题“,”是真命题,
故,即,故.
故答案为：1.
14、答案：
解析：因为,
当时,当时,,不合题意;
当时,当时,,不合题意;
所以,
当时,,即,
当时,开口向下,对称轴为,
当时,,
令,即,解得或（舍去）,
令,即,解得或,
作出的大致图象,如图,
因为的值域为,所以,解得,经检验,满足题意.
故答案为：.
15、答案：27
解析：由题意,第一天售出17种商品,第二天售出13种商品,前两天都售出的商品有3种,
所以第一天售出但第二天未售出的商品有种,
第二天售出但第一天未售出的商品有种,
所以前两天共售出的商品有种,
第三天售出14种商品,后两天都售出的商品有5种,
所以第三天售出但第二天未售出的商品有种,
因为,
所以这9种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品时,该网店这三天售出的商品种类最少,其最小值为27.
故答案为：27.
16、答案：
解析：依题意,作于G,
则,则,
由题意知,则,而,;
故,设,则,故,
作于H,则,
故,
则,
故,
令,则,因为,故,
则,而在上单调递减,
故的最小值为,即的最小值为.
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)4
解析：（1）因为二次函数的最小值为,
所以,则开口向上,对称轴为,
所以,即,则,
因为,即,则,
将代入,得,解得或（舍去）,
所以.
（2）因为,即的两个根分别为,
所以,
所以,
由（1）可知,即,
所以,故.
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为,
当时,,
则或,
所以.
（2）因为,
又,所以,
由得 ,
所以,
因为是的必要不充分条件,所以,
所以,解得或,
所以实数a的取值范围为.
19、答案：(1)
(2)①证明见解析;②在上单调递增
(3)图像见解析
解析：（1）因为当时,,
所以当时,,则,
又是定义在R上的奇函数,所以,且,
所以.
（2）①设,则,,
所以,
因为,所以,
且,,则,
所以,即,故在上是单调递减函数.
②在上单调递增,理由如下：
当时,,,则,
所以在上单调递增.
（3）由（2）知,在上单调递减,在上单调递增,且,
又是定义在R的奇函数,
所以在上单调递减,在上单调递增,且,
所以的图象如图,
.
20、答案：(1)
(2)当施用肥料为4千克时,该水果单株最大利润,最大利润为640元
解析：（1）依题意,当时,
;
当时,
;
所以;
（2）当时,,
此时由二次函数的性质可知;
当时,
,
当且仅当,即时,等号成立;
综上,当施用肥料为4千克时,该水果单株最大利润,最大利润为640元.
21、答案：(1)定义域为;值域为.
(2)①;②
解析：（1）因为,所以,则,
又,
当时,,
所以,又,
所以;
（2）依题意,得,
令,则,
令,,
当时,
此时二次函数对称轴,开口向上,则.
当时,此时对称轴,
当,即时,开口向下,则;
当,即,对称轴,开口向下,
则,
当,即时,开口向下,;
综上,.
②当时,,则,解得或（舍去）;
当时,,则,解得（舍去）;
当时,,则,解得（舍去）;
当时,,则;
当时,,则,解得（舍去）;
当时,,则,解得（舍去）;
综上,或,即.
22、答案：(1)答案见解析
(2)
解析：（1）因为,
所以由,得,
化简得,即,即,
当时,该不等式无解,
当时,不等式化为,解得或,
当时,不等式化为,解得或,
综上,当时,的解集为,
当时,的解集为,
当时,的解集为.
（2）因为对任意的正实数a,存在,使得,
所以,
易知当时,在上单调递增,
所以时,,且,
因为,
所以,
当,即时,,
因为,所以,所以;
当,即时,令,得,
所以,故;
当,即时,所以,
因为,所以,所以;
综上,,所以m的取值范围为.