江苏省盐城中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份江苏省盐城中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知椭圆,则椭圆C的焦点坐标为( )
A.,B.,C.,D.,
2、已知,则( )
A.0B.C.2D.
3、已知,,直线l过定点,且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.B.C.D.或
4、已知,则( )
A.0B.C.1D.2023
5、已知直线l过点,且斜率为,若圆上有4个点到l的距离为1,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
6、已知圆,为圆内一点,将圆折起使得圆周过点F(如图),然后将纸片展开,得到一条折痕l,这样继续下去将会得到若干折痕,观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线,则该圆锥曲线的方程为( )
A.B.C.D.
7、若数列满足,且,则( )
A.B.C.D.
8、“中国剩余定理”一般指“孙子定理”,是中国古代求解一次同余式组的方法,是数论中一个重要定理,若将被3除余2且被5除余2的正整数从小到大排列,组成数列,则为( )
A.62B.102C.302D.332
二、多项选择题
9、若曲线,且a,b分别是1与9的等差中项与等比中项,则下列描述正确的是( )
A.曲线C可以表示焦点在x轴的椭圆
B.曲线C可以表示焦距是的双曲线
C.曲线C可以表示离心率是的椭圆
D.曲线C可以表示渐近线方程是的双曲线
10、若数列为等比数列,为数列的前n项和,则下列数列一定成等比的有( )
A.数列B.数列C.D.数列
11、下列求导运算错误的是( )
A.B.
C.D.
12、“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线(将线段一分为二,较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值,则这个比值称为“黄金分割比”),若黄金双曲线的左右两顶点分别为,,虚轴上下两端点分别为,,左右焦点分别为,,EF为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦,M为EF的中点.设双曲线C的离心率为e,则下列说法正确的有( )
A.
B.
C.直线与双曲线的一条渐近线垂直
D.
三、填空题
13、在平面直角坐标系xOy中,若F是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,则________.
14、若P是直线上的一点,点Q是曲线上的一点,则的最小值为________.
15、对于数列,若集合为有限集,则称数列为“好数列”.若“好数列”满足,则________.
16、已知A,B,C是椭圆上的三个点,O为坐标原点,A,B两点关于原点对称,AC经过右焦点F,若且,则该椭圆的离心率是________.
四、解答题
17、已知等差数列和等比数列满足,,,.
（1）求数列,的通项公式;
（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列,记数列的前n项和为,求.
18、已知圆.
（1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为,求该直线的方程;
（2）设不过圆心的直线与圆C交于A,B两点,把的面积S表示为m的函数,并求S的最大值.
19、设函数(a为非零常数)
（1）若曲线在点处的切线经过点,求实数的值;
（2）讨论函数的单调性.
20、已知数列各项均不为0,且,为数列的前n项的积,为数列的前n项的和,若.
（1）求证:数列是等差数列;
（2）求的通项公式.
21、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知椭圆的离心率为,椭圆上的点与点的最大距离为.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设椭圆的上,下顶点分别为A,B,过点P的直线与椭圆交于点C,D(异于点A,B),与y轴交于点M,直线AD与直线BC交于点N,试探究:是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.
22、我们知道,如果,那么,反之,如果,那么.后者常称为求数列前n项和的“差分法”(或裂项法).
（1）请你用差分法证明:,其中;
（2）证明:
参考答案
1、答案：B
解析：因为椭圆方程是,所以,,
所以,即,又因为椭圆焦点在y轴上,所以焦点坐标为,.
故选:B.
2、答案：D
解析：已知,得,
由导数的定义可得.
故选:D
3、答案：A
解析：设直线l与线段AB交于点,其中,
所以,.
故选:A.
4、答案：B
解析：求导得,
所以,解得
故选:B
5、答案：C
解析：因为圆上有4个点到l的距离为1,
所以圆心到直线的距离小于1,设圆的圆心到直线的距离为d,
又因为过点,且斜率为的直线方程为,即,
所以,解得,即.
故选:C.
6、答案：A
解析：,,点F关于折痕l的对称点A在圆周上,折痕l为线段AF的垂直平分线,折痕l与AC相交于点P,如图所示:
则有,可知,
所以点P的轨迹是以为左,右焦点的椭圆,其中长轴,焦距,所以点P的轨迹方程为,即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为.
故选:A
7、答案：B
解析：数列满足,且,,
,,,
则数列是以4为最小正周期的周期数列,即,
.
故选:B
8、答案：D
解析：被3除余数为2的正整数从小到大排列可得,2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,…,
被5除余数为2的正整数从小到大排列可得,2,7,12,17,22,27,32,…
,
两个数列的公共项按从小到大排列可得,2,17,32,…
所以为首项为2,公差为15的等差数列,
所以.
故选:D.
9、答案：AB
解析：由题知,
a,b分别是1与9的等差中项与等比中项,
,,
解得:,;
当,时,
此时曲线C的方程为:,
因此曲线C为椭圆,焦点在x轴上,
离心率,
故选项A正确,C错误;
当,时,
此时曲线C的方程为:,
因此曲线C为双曲线,
由得,
解得:,焦距为:,
渐近线方程为:即
故选项B正确,D错误;
故选:AB.
10、答案：AD
解析：令等比数列的公比为,则,
对于A,,,数列是等比数列,A是;
对于B,当时,,此时数列不是等比数列,B不是;
对于C,当,且n为正偶数时,,此时,,不成等比数列,C不是;
对于D,,则数列是等比数列,D是.
故选:AD
11、答案：ABC
解析：对于A,,A不正确;
对于B,,B不正确;
对于C,,C不正确;
对于D,,D正确.
故选:ABC
12、答案：ACD
解析：对于A:若是黄金双曲线,则,故A正确;
对于B:设,,,其中,
又,在双曲线上,即两式相减得,
即
则得,故B错误;
对于C:,渐近线得斜率,
则,
即,则直线与双曲线C的一条渐近线垂直,故C正确;
对于D:因为,,,,
所以,
所以,
即,故D正确.
故选:ACD.
13、答案：
解析：将点P的坐标代入抛物线方程可得,即点,易知点,
由抛物线的定义可得.
故答案为:.
14、答案：
解析：因为点Q是曲线上的一点,故设,
所以Q到直线的距离为,
令,则
当,,单调递增;当,,单调递减;
所以,
所以
所以的最小值为
故答案为:
15、答案：1
解析：由可得,
当即时,所以,,,
此时,满足,故此时数列为“好数列”;
当即,则,,,
由可得,
当时,,
所以是以为首项,公比为2的等比数列,
所以,
所以此时每项并不相同,由于在定义域内是递增函数,
故每项并不相同,则集合为无限集,故数列不为“好数列”;
当时,则,
所以是从第二项起公比为2的等比数列,
所以,
所以从第二项起,每项并不相同,由于在定义域内是递增函数,
故从第二项起,每项并不相同,则集合为无限集,故数列不为“好数列”;
综上所述,
故答案为:1
16、答案：/
解析：方法一:
设椭圆的半焦距为c,左焦点为,则
因为A,B两点关于原点对称,所以,又,
所以,所以四边形为矩形,设,因为,所以,由椭圆的定义可得,,
在,,,,
所以,
所以,故,,
在中,,所以,
所以,所以离心率.
方法二:设椭圆的半焦距为c,点A的坐标为,点的坐标为,则点B的坐标为,点的坐标为,且①,②,
②×4－①可得,,
因为经过右焦点F,,所以,所以,故,,
所以,又,所以,
因为,所以,又,
所以,所以,
所以,即,又,
所以,所以离心率.
故答案为:.
17、答案：（1）,,
（2）
解析：（1）因为等差数列和等比数列满足,,,,
所以,
所以等差数列的公差为,
所以,,
所以,,,
（2）由（1）,即是数列中的第项.
设数列的前n项和为,数列的前n项和为,
因为,
所以数列的前50项是由数列的前55项去掉数列的前5项后构成的,
所以.
18、答案：（1）;
（2）,;.
解析：（1）圆圆心,半径,显然点在圆C内,
由圆的性质知,当为圆C弦的中点时,该弦所在直线垂直于直线CM,
直线CM的斜率,则有所求直线斜率为1,方程为:,即,
所以该直线的方程为.
（2）直线与圆C相交时,圆心C到直线l的距离,解得,
又直线l不过圆心,即,因此且,
,
的面积,
因为且,则,当,即或时,,
所以,,当或时,.
19、答案：（1）1;
（2）分类讨论,答案见解析.
解析：（1）函数,求导得:,则有,而,
因此曲线在点处的切线方程为,则有,
即,而,则,
所以实数a的值为1.
（2）函数的定义域为,,
当时,恒有,当且仅当且取等号,则函数在上单调递增,
当时,由解得,,
当,即时,当或时,,当时,,
因此函数在,上单调递增,在上单调递减,
当,即时,当时,,当时,,
因此函数在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,递减区间是,递增区间是;
当时,递增区间是,,递减区间是;
当时,递增区间是.
20、答案：（1）证明见解析;
（2）,.
解析：（1）为数列的前n项的和,当,时,,又,
则有,依题意,,,因此,
所以数列是以为首项,3为公差的等差数列.
（2）由（1）知,,即,
当,时,,而不满足上式,
因为为数列的前n项的积,则当时,,
而,均不满足上式,
所以的通项公式是,.
21、答案：（1）椭圆的标准方程为;
（2）,理由见解析.
解析：（1）设椭圆的半焦距为c,设点为椭圆上一点,则,,
因为,所以,
所以当时,取最大值,最大值为,由已知,
所以,又椭圆的离心率为,所以,所以,故,所以椭圆的标准方程为;
（2）若直线CD的斜率不存在,则,与已知矛盾,故设直线CD的方程为,令可得,故点M的坐标为,
联立,消y可得,,
方程的判别式,
设,,则,,
因为A,B为椭圆的上,下顶点,所以,
所以直线AD的方程为,直线BC的方程为,
设,联立直线AD和直线BC的方程可得,点N的纵坐标为,又,即,
所以,
所以,
22、答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析.
解析：（1）,,则有,
因此,
又,,则,
因此
,而,
所以.
（2）令,求导得,当时,,当时,,
因此函数在上单调递增,在上单调递减,
,,即,,取,
,即有,即,
,,即,,取,
,即,则,
于是,,有,
即,
所以.