资料中包含下列文件,点击文件名可预览资料内容
![人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第02课 函数的性质、指数函数与对数函数(2份打包,原卷版+教师版)01](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/15121999/1-1703520997968/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第02课 函数的性质、指数函数与对数函数(2份打包,原卷版+教师版)02](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/15121999/1-1703520997990/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第02课 函数的性质、指数函数与对数函数(2份打包,原卷版+教师版)03](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/15121999/1-1703520998013/2.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第02课 函数的性质、指数函数与对数函数(2份打包,原卷版+教师版)01](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/15121999/0-1703520993228/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第02课 函数的性质、指数函数与对数函数(2份打包,原卷版+教师版)02](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/15121999/0-1703520993334/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
![人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第02课 函数的性质、指数函数与对数函数(2份打包,原卷版+教师版)03](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/15121999/0-1703520993359/2.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
还剩8页未读,
继续阅读
成套系列资料,整套一键下载
人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第02课 函数的性质、指数函数与对数函数(2份打包,原卷版+教师版)
展开
这是一份人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第02课 函数的性质、指数函数与对数函数(2份打包,原卷版+教师版),文件包含人教A版2024年高一数学寒假提高讲义第02课函数的性质指数函数与对数函数原卷版doc、人教A版2024年高一数学寒假提高讲义第02课函数的性质指数函数与对数函数教师版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共25页, 欢迎下载使用。
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.
[注意] 有多个单调区间应分开写,不能用符号“∪”联结,也不能用“或”联结,只能用“逗号”或“和”联结.
2.函数的最值
常用结论
1.函数单调性的两个等价结论
设∀x1,x2∈D(x1≠x2),则
(1)eq \f(f(x1)-f(x2),x1-x2)>0(或(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增.
(2)eq \f(f(x1)-f(x2),x1-x2)<0(或(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减.
【例1】求函数f(x)=﹣x2+2|x|+1的单调区间.
【解】 f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-x2+2x+1,x≥0,,-x2-2x+1,x<0))=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-(x-1)2+2,x≥0,,-(x+1)2+2,x<0.))
画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(﹣∞,﹣1]和(0,1],单调递减区间为(﹣1,0]和(1,+∞).
【例2】判断函数y=eq \f(2x2-3,x)的单调性.
解:因为f(x)=eq \f(2x2-3,x)=2x﹣eq \f(3,x),且函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
而函数y=2x和y=﹣eq \f(3,x)在区间(﹣∞,0)上均为增函数,根据单调函数的运算性质,
可得f(x)=2x﹣eq \f(3,x)在区间(﹣∞,0)上为增函数.
同理,可得f(x)=2x﹣eq \f(3,x)在区间(0,+∞)上也是增函数.
故函数f(x)=eq \f(2x2-3,x)在区间(﹣∞,0)和(0,+∞)上均为增函数.
【例3】(1)函数y=x+eq \r(x-1)的最小值为________.
(2)已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x+a,x≤0,,x+\f(4,x),x>0))有最小值,则实数a的取值范围是________.
【解析】(1)法一(换元法):令t=eq \r(x-1),且t≥0,则x=t2+1,
所以原函数变为y=t2+1+t,t≥0.配方得y=(t+eq \f(1,2))2+eq \f(3,4),
又因为t≥0,所以y≥eq \f(1,4)+eq \f(3,4)=1,故函数y=x+eq \r(x-1)的最小值为1.
法二:因为函数y=x和y=eq \r(x-1)在定义域内均为增函数,
故函数y=x+eq \r(x-1)在[1,+∞)内为增函数,所以ymin=1.
(2)(基本不等式法)由题意知,当x>0时,函数f(x)=x+eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))=4,
当且仅当x=2时取等号;当x≤0时,f(x)=2x+a∈(a,1+a],因此要使f(x)有最小值,则必须有a≥4.
【答案】 (1)1 (2)[4,+∞)
函数的奇偶性及周期性
知识梳理
1.函数的奇偶性
[注意]奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
2.函数的周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[注意] 不是所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=5.
常用结论
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=﹣f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=eq \f(1,f(x)),则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=﹣eq \f(1,f(x)),则T=2a(a>0).
【例4】(1)下列函数中为偶函数的是( )
A.y=x2sin x B.y=x2cs x C.y=|ln x| D.y=2﹣x
解析:选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(﹣x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数,B选项为偶函数,C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性,D选项既不是奇函数,也不是偶函数.故选B.
(2)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex﹣1,则当x<0时,f(x)=( )
A.e﹣x﹣1 B.e﹣x+1 C.﹣e﹣x﹣1 D.﹣e﹣x+1
【解析】 通解:依题意得,当x<0时,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(e﹣x﹣1)=﹣e﹣x+1,选D.
优解:依题意得,f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(e1﹣1)=1﹣e,结合选项知,选D.
【答案】D
【例5】已知定义域为(﹣1,1)的奇函数f(x)是减函数,且f(a﹣3)+f(9﹣a2)<0,则实数a的取值范围是( )
A.(2eq \r(2),3) B.(3,eq \r(10)) C.(2eq \r(2),4) D.(﹣2,3)
【解析】 由f(a﹣3)+f(9﹣a2)<0得f(a﹣3)<﹣f(9﹣a2).又由奇函数性质得f(a﹣3)<f(a2﹣9).
因为f(x)是定义域为(﹣1,1)的减函数,所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-1a2-9,))解得2eq \r(2)<a<3.
【答案】A
指数与指数函数
知识梳理
1.根式
(1)根式的概念
①若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
②a的n次方根的表示:xn=a⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=\r(n,a),当n为奇数且n∈N*,n>1时,,x=±\r(n,a),当n为偶数且n∈N*时.))
(2)根式的性质
①(eq \r(n,a))n=a(n∈N*,且n>1). ②eq \r(n,an)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a,n为奇数,,|a|=\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a,a≥0,,-a,a<0,))n为偶数.))
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂:aeq \s\up6(\f(m,n))=eq \r(n,am)(a>0,m,n∈N*,且n>1);
②负分数指数幂:a﹣eq \s\up6(\f(m,n))=eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))=eq \f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N*,且n>1);
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.
(2)有理数指数幂的运算性质
①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q);②eq \f(ar,as)=ar﹣s(a>0,r,s∈Q);③(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
④(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
常用结论
1.指数函数图象的画法
画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,eq \f(1,a)).
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象越高,底数越大.
3.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.
【例6】(1)化简eq \r(4,16x8y4)(x<0,y<0)得( )
A.2x2y B.2xy C.4x2y D.﹣2x2y
解析:选D.因为x<0,y<0,所以eq \r(4,16x8y4)=(16x8·y4)eq \s\up6(\f(1,4))=(16)eq \s\up6(\f(1,4))·(x8)eq \s\up6(\f(1,4))·(y4)eq \s\up6(\f(1,4))=2x2|y|=﹣2x2y.
(2)化简的结果为________.
解析:原式=﹣6ab﹣1=﹣eq \f(6a,b).
答案:﹣eq \f(6a,b)
(3)已知=3,则x2+x﹣2+3=________.
解析:由=3,得x+x﹣1+2=9,所以x+x﹣1=7,所以x2+x﹣2+2=49,
所以x2+x﹣2=47,所以x2+x﹣2+3=50.
答案:50.
【例7】(1)已知a=,b=,c=,则下列关系式中正确的是( )
A.c<a<b B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c
【解析】把b化简为b=,而函数y=在R上为减函数,又eq \f(4,3)>eq \f(2,3)>eq \f(1,3),
所以<<,即b<a<c.
【答案】B
(2)不等式<恒成立,则a的取值范围是________.
【解析】由题意,y=是减函数,因为<恒成立,
所以x2+ax>2x+a﹣2恒成立,所以x2+(a﹣2)x﹣a+2>0恒成立,
所以Δ=(a﹣2)2﹣4(﹣a+2)<0,即(a﹣2)(a﹣2+4)<0,即(a﹣2)(a+2)<0,
解得﹣2<a<2,即a的取值范围是(﹣2,2).
【答案】 (﹣2,2)
对数函数
知识梳理
1.对数
2.对数函数的图象与性质
3.反函数
指数函数y=ax与对数函数y=lgax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
常用结论
1.换底公式的三个重要结论
①lgab=eq \f(1,lgba);②lgambn=eq \f(n,m)lgab;③lgab·lgbc·lgcd=lgad.
2.对数函数的图象与底数大小的关系
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0<c<d<1<a<b.
由此我们可得到以下规律:在第一象限内与y=1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大.
【例8】(1)计算(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25的结果为________.
解析:原式=lg 2(lg 2+lg 50)+lg 25=2lg 2+lg 25=lg 4+lg 25=2.
答案:2
(2)若lg x+lg y=2lg(2x﹣3y),则lg1.5eq \f(x,y)的值为________.
解析:依题意,可得lg(xy)=lg(2x﹣3y)2,即xy=4x2﹣12xy+9y2,
整理得:4(eq \f(x,y))2﹣13(eq \f(x,y))+9=0,解得eq \f(x,y)=1或eq \f(x,y)=eq \f(9,4).
因为x>0,y>0,2x﹣3y>0,所以eq \f(x,y)=eq \f(9,4),所以lg1.5eq \f(x,y)=2.
答案:2
(3)设2a=5b=m,且eq \f(1,a)+eq \f(1,b)=2,则m等于________.
解析:由2a=5b=m得a=lg2m,b=lg5m,所以eq \f(1,a)+eq \f(1,b)=lgm2+lgm5=lgm10.
因为eq \f(1,a)+eq \f(1,b)=2,所以lgm10=2.所以m2=10,所以m=eq \r(10).
答案:eq \r(10)
【例9】(1)已知a=lg27,b=lg38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
【解析】 因为a=lg27>lg24=2,b=lg38<lg39=2,且b=lg38>1,c=0.30.2<0.30=1,
所以c<b<a.故选A.
(2)已知函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)满足f(eq \f(2,a))<f(eq \f(3,a)),则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-1))>0的解集为( )
A.(0,1) B.(﹣∞,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)
【解析】法一:因为函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上为单调函数,
而eq \f(2,a)<eq \f(3,a)且f(eq \f(2,a))<f(eq \f(3,a)),所以f(x)=lgax在(0,+∞)上单调递增,
结合对数函数的图象与性质可得f(2x﹣1)>0⇒2x﹣1>1,所以x>1.
法二:由f(eq \f(2,a))<f(eq \f(3,a))知lgaeq \f(2,a)>lgaeq \f(3,a),所以lga2﹣1<lga3﹣1,所以lga2<lga3,
所以a>1,由f(2x﹣1)>0得lga(2x﹣1)>0,所以2x﹣1>1,即x>1.
【答案】 C
函数的性质、指数函数与对数函数 课时跟踪练习
1.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x﹣1)<f(eq \f(1,3))的x的取值范围是( )
A.(eq \f(1,3),eq \f(2,3)) B.[eq \f(1,3),eq \f(2,3)) C.(eq \f(1,2),eq \f(2,3)) D.[eq \f(1,2),eq \f(2,3))
解析:选D.因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f(2x﹣1)<f(eq \f(1,3)).
所以0≤2x﹣1<eq \f(1,3),解得eq \f(1,2)≤x<eq \f(2,3).故选D.
2.已知函数f(x)=eq \r(x2-2x-3),则该函数的单调递增区间为( )
A.(﹣∞,1] B.[3,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.[1,+∞)
解析:选B.设t=x2﹣2x﹣3,由t≥0,即x2﹣2x﹣3≥0,解得x≤﹣1或x≥3.所以函数的定义域为(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞).因为函数t=x2﹣2x﹣3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(﹣∞,﹣1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).
3.下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]<0”的是( )
A.f(x)=2x B.f(x)=|x﹣1| C.f(x)=eq \f(1,x)﹣x D.f(x)=ln(x+1)
解析:选C.由(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,A、D选项中,f(x)为增函数;B中,f(x)=|x﹣1|在(0,+∞)上不单调,对于f(x)=eq \f(1,x)﹣x,因为y=eq \f(1,x)与y=﹣x在(0,+∞)上单调递减,因此f(x)在(0,+∞)上是减函数.
4.设函数f(x)=eq \f(ex-e-x,2),则下列结论错误的是( )
A.|f(x)|是偶函数 B.﹣f(x)是奇函数
C.f(x)|f(x)|是奇函数 D.f(|x|)f(x)是偶函数
解析:选D.因为f(x)=eq \f(ex-e-x,2),则f(﹣x)=eq \f(e-x-ex,2)=﹣f(x).所以f(x)是奇函数.
因为f(|﹣x|)=f(|x|),所以f(|x|)是偶函数,所以f(|x|)f(x)是奇函数.
5.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=lg2(x+2)﹣1,则f(﹣6)=( )
A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4
解析:选C.根据题意得f(﹣6)=﹣f(6)=1﹣lg2(6+2)=1﹣3=﹣2.
6.函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=f(2﹣x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)( )
A.在区间[﹣2,﹣1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数
B.在区间[﹣2,﹣1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[﹣2,﹣1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[﹣2,﹣1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
解析:选B.由f(x)=f(2﹣x)得f(x)的图象关于直线x=1对称.又f(x)是偶函数,故函数f(x)的周期是2,f(x)在区间[﹣2,﹣1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数.
7.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+3)=f(x).若f(2)>1,f(7)=a,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞,﹣3) B.(3,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(1,+∞)
解析:选D.因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数,所以f(7)=f(7﹣9)=f(﹣2).又因为函数f(x)是偶函数,所以f(﹣2)=f(2),所以f(7)=f(2)>1,
所以a>1,即a∈(1,+∞).故选D.
8.函数y=的值域是( )
A.(﹣∞,4) B.(0,+∞) C.(0,4] D.[4,+∞)
解析:选C.设t=x2+2x﹣1,则y=(eq \f(1,2))t.因为0<eq \f(1,2)<1,所以y=(eq \f(1,2))t为关于t的减函数.
因为t=(x+1)2﹣2≥﹣2,所以0<y=(eq \f(1,2))t≤(eq \f(1,2))﹣2=4,故所求函数的值域为(0,4].
9.(多选)已知函数f(x)=ax﹣1+1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,下列函数图象经过点A的是( )
A.y=eq \r(1-x)+2 B.y=|x﹣2|+1 C.y=lg2(2x)+1 D.y=2x﹣1
解析:选ABC.函数f(x)=ax﹣1+1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,令x﹣1=0,得x=1,f(1)=2,所以恒过点A(1,2).把x=1,y=2代入各选项验证,只有D中的函数没经过该点.
10.已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1-2-x,x≥0,,2x-1,x<0,))则函数f(x)是( )
A.偶函数,在[0,+∞)内单调递增
B.偶函数,在[0,+∞)内单调递减
C.奇函数,且单调递增
D.奇函数,且单调递减
解析:选C.易知f(0)=0,当x>0时,f(x)=1﹣2﹣x,﹣f(x)=2﹣x﹣1,此时﹣x<0,则f(﹣x)=2﹣x﹣1=﹣f(x);当x<0时,f(x)=2x﹣1,﹣f(x)=1﹣2x,此时﹣x>0,则f(﹣x)=1﹣2﹣(﹣x)=1﹣2x=﹣f(x).即函数f(x)是奇函数,且单调递增,故选C.
11.(多选)已知f(x)是定义在[0,+∞)上的函数,根据下列条件,可以断定f(x)是增函数的是( )
A.对任意x≥0,都有f(x+1)>f(x)
B.对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1≥x2,都有f(x1)≥f(x2)
C.对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1﹣x2<0,都有f(x1)﹣f(x2)<0
D.对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,都有eq \f(f(x1)-f(x2),x1-x2)>0
解析:选CD.根据题意,依次分析选项:对于选项A,对任意x≥0,都有f(x+1)>f(x),不满足函数单调性的定义,不符合题意;对于选项B,当f(x)为常数函数时,对任意x1,x2∈[0,+∞),都有f(x1)=f(x2),不是增函数,不符合题意;对于选项C,对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1﹣x2<0,都有f(x1)﹣f(x2)<0,符合题意;对于选项D,对任意x1,x2∈[0,+∞),设x1>x2,若eq \f(f(x1)-f(x2),x1-x2)>0,必有f(x1)﹣f(x2)>0,则函数在[0,+∞)上为增函数,符合题意.
12.已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3(a-3)x+2,x≤1,,-4a-ln x,x>1))对任意的x1≠x2都有(x1﹣x2)[f(x2)﹣f(x1)]>0成立,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,3] B.(﹣∞,3) C.(3,+∞) D.[1,3)
解析:选D.由(x1﹣x2)[f(x2)﹣f(x1)]>0,得(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]<0,
所以函数f(x)在R上单调递减,所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a-3<0,,3(a-3)+2≥-4a,))解得1≤a<3.故选D.
13.若函数f(x)=x2﹣2mx+1在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________.
解析:由题意知,[2,+∞)⊆[m,+∞),所以m≤2.
答案:(﹣∞,2]
14.已知函数f(x)=﹣x|x|,x∈(﹣1,1),则不等式f(1﹣m)<f(m2﹣1)的解集为________.
【解析】 由已知得f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2,-1所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-1<1-m<1,,-1【答案】 (0,1)
15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则x<0时,f(x)=________.
解析:当x<0时,则﹣x>0,所以f(﹣x)=(﹣x)(1﹣x).又f(x)为奇函数,
所以f(﹣x)=﹣f(x)=(﹣x)(1﹣x),所以f(x)=x(1﹣x).
答案:x(1﹣x)
16.已知函数f(x)满足f(x+2)=﹣eq \f(1,f(x)).当1≤x≤3时,f(x)=x,则f(105)=________.
解析:因为f(x+2)=﹣eq \f(1,f(x)),所以f(x+4)=f(x),故4为函数f(x)的一个周期.
f(105)=f(4×26+1)=f(1)=1.
答案:1
17.已知定义在R上的函数满足f(x+2)=﹣eq \f(1,f(x)),当x∈(0,2]时,f(x)=2x﹣1.
则f(17)=________,f(20)=________.
解析: 因为f(x+2)=﹣eq \f(1,f(x)),所以f(x+4)=﹣eq \f(1,f(x+2))=f(x),所以函数y=f(x)的周期T=4.
f(17)=f(4×4+1)=f(1)=1.f(20)=f(4×4+4)=f(4)=f(2+2)=﹣eq \f(1,f(2))=﹣eq \f(1,2×2-1)=﹣eq \f(1,3).
答案:1 ﹣eq \f(1,3).
18.已知函数f(x)=x﹣eq \f(a,x)+eq \f(a,2)在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
【解析】设1<x1<x2,所以x1x2>1.因为函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,
所以f(x1)﹣f(x2)=x1﹣eq \f(a,x1)+eq \f(a,2)﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-\f(a,x2)+\f(a,2)))=(x1﹣x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(a,x1x2)))<0.
因为x1﹣x2<0,所以1+eq \f(a,x1x2)>0,即a>﹣x1x2.
因为1<x1<x2,x1x2>1,所以﹣x1x2<﹣1,所以a≥﹣1.
所以a的取值范围是[﹣1,+∞).
19.若偶函数f(x)满足f(x)=2x﹣4(x≥0),则不等式f(x﹣2)>0的解集为________.
解析:因为f(x)为偶函数,当x<0时,﹣x>0,则f(x)=f(﹣x)=2﹣x﹣4.
所以f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x-4,x≥0,,2-x-4,x<0))
当f(x﹣2)>0时,
有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x-2≥0,,2x-2-4>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x-2<0,,2-x+2-4>0,))解得x>4或x<0.
所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}.
答案:{x|x>4或x<0}
20.若函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是[3,+∞),则a的值为________.
解析:由图象(图略)易知函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是[﹣eq \f(a,2),+∞),令﹣eq \f(a,2)=3,得a=﹣6.
答案:﹣6
21.函数f(x)=|x﹣2|x的单调减区间是________.
解析:由于f(x)=|x﹣2|x=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2-2x,x≥2,,-x2+2x,x<2.))结合图象可知函数的单调减区间是[1,2].
答案:[1,2].
22.设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc的取值范围是________.
解析:由题意知,在(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个不同交点,所以|lg a|=|lg b|,
又因为y=lg x在(0,+∞)上单调递增,且a<b<10,所以lg a=﹣lg b,所以lg a+lg b=0,
所以ab=1,0<c<lg 10=1,所以abc的取值范围是(0,1).
答案:(0,1)
23.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(eq \f(x1,x2))=f(x1)﹣f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)证明:f(x)为单调递减函数;
(3)若f(3)=﹣1,求f(x)在[2,9]上的最小值.
解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)﹣f(x1)=0,故f(1)=0.
(2)证明:任取x1,x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,+∞)),且x1>x2,则eq \f(x1,x2)>1,
由于当x>1时,f(x)<0,所以f(eq \f(x1,x2))<0,即f(x1)﹣f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,+∞))上是单调递减函数.
(3)因为f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数,所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9),
由f(eq \f(x1,x2))=f(x1)﹣f(x2)得f()=f(9)﹣f(3),而f(3)=﹣1,所以f(9)=﹣2.
所以f(x) 在[2,9]上的最小值为﹣2.
24.已知定义域为R的函数f(x)=eq \f(-2x+b,2x+1+a)是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范围.
解:(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,
即eq \f(-1+b,2+a)=0,解得b=1,所以f(x)=eq \f(-2x+1,2x+1+a).又由f(1)=﹣f(﹣1)知eq \f(-2+1,4+a)=﹣eq \f(-\f(1,2)+1,1+a),解得a=2.
(2)由(1)知f(x)=eq \f(-2x+1,2x+1+2)=﹣eq \f(1,2)+eq \f(1,2x+1),由上式易知f(x)在R上为减函数,又因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0等价于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(﹣2t2+k).
因为f(x)是R上的减函数,由上式推得t2﹣2t>﹣2t2+k.即对一切t∈R有3t2﹣2t﹣k>0,
从而Δ=4+12k<0,解得k<﹣eq \f(1,3).故k的取值范围为(﹣∞,﹣eq \f(1,3)).
函数的性质、指数函数与对数函数 随堂检测
1.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=eq \f(1,x) B.y=|x|﹣1 C.y=lg x D.y=(eq \f(1,2))|x|
解析:选B.y=eq \f(1,x)为奇函数;y=lg x的定义域为(0,+∞),不具备奇偶性;y=(eq \f(1,2))|x|在(0,+∞)上为减函数;y=|x|﹣1在(0,+∞)上为增函数,且在定义域上为偶函数.
2.若函数f(x)=(2a﹣5)·ax是指数函数,则f(x)在定义域内( )
A.为增函数 B.为减函数 C.先增后减 D.先减后增
解析:选A.由指数函数的定义知2a﹣5=1,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(x)在定义域内为增函数.
3.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(﹣2)=( )
A.﹣3 B.﹣eq \f(5,4) C.eq \f(5,4) D.3
解析:选A.由f(x)为R上的奇函数,知f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=﹣1,
则f(﹣2)=﹣f(2)=﹣(22﹣1)=﹣3.
4.函数f(x)=﹣x+eq \f(1,x)在[﹣2,﹣eq \f(1,3)]上的最大值是( )
A.eq \f(3,2) B.﹣eq \f(8,3) C.﹣2 D.2
解析:选A.函数f(x)=﹣x+eq \f(1,x)的导数为f′(x)=﹣1﹣eq \f(1,x2),则f′(x)<0,可得f(x)在[﹣2,﹣eq \f(1,3)]上单调递减,即f(﹣2)为最大值,且为2﹣eq \f(1,2)=eq \f(3,2).
4.若f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有eq \f(f(x2)-f(x1),x2-x1)<0,则( )
A.f(3)<f(1)<f(﹣2) B.f(1)<f(﹣2)<f(3)
C.f(﹣2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(﹣2)<f(1)
解析:选D.因为∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有eq \f(f(x2)-f(x1),x2-x1)<0,所以当x≥0时,函数f(x)为减函数,因为f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,所以f(3)<f(2)<f(1),即f(3)<f(﹣2)<f(1).
5.已知a=lg20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )
A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a
解析:选B.因为a=lg20.2<lg21=0,b=20.2>20=1,c=0.20.3<0.20=1且c>0,所以a<c<b,故选B.
6.函数y=eq \r(lg3(2x-1)+1)的定义域是( )
A.[1,2] B.[1,2) C.[eq \f(2,3),+∞) D.(eq \f(2,3),+∞)
解析:选C.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg3(2x-1)+1≥0,,2x-1>0,))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg3(2x-1)≥lg3\f(1,3),,x>\f(1,2),))解得x≥eq \f(2,3).故选C.
7.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(﹣1)+g(1)=2,f(1)+g(﹣1)=4,则g(1)等于________.
解析:f(﹣1)+g(1)=2,即﹣f(1)+g(1)=2①,
f(1)+g(﹣1)=4,即f(1)+g(1)=4②,由①②得,2g(1)=6,即g(1)=3.
答案:3
8.已知函数y=lga(x+3)﹣eq \f(8,9)(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标为________;若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则f(lg32)=________.
解析:令x+3=1可得x=﹣2,此时y=lga1﹣eq \f(8,9)=﹣eq \f(8,9),可知定点A的坐标为(﹣2,﹣eq \f(8,9)).点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,故﹣eq \f(8,9)=3﹣2+b,解得b=﹣1.所以f(x)=3x﹣1,则f(lg32)=3lg32﹣1=2﹣1=1.
答案:(﹣2,﹣eq \f(8,9)) 1
9.函数y=2+eq \r(-x2+4x)的最大值是________,单调递增区间是________.
解析:函数y=2+eq \r(-x2+4x)=2+eq \r(-(x-2)2+4),可得当x=2时,函数y取得最大值2+2=4;由4x﹣x2≥0,可得0≤x≤4,令t=﹣x2+4x,则t在[0,2]上为增函数,y﹣2+eq \r(t)在[0,+∞)上为增函数,可得函数y=2+eq \r(-x2+4x)的单调递增区间为[0,2].
答案:4 [0,2]
10.已知f(x)=eq \f(x,x-a)(x≠a).
(1)若a=﹣2,试证明f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
解:(1)证明:设x1<x2<﹣2,
则f(x1)﹣f(x2)=eq \f(x1,x1+2)﹣eq \f(x2,x2+2)=eq \f(2(x1-x2),(x1+2)(x2+2)).
因为(x1+2)(x2+2)>0,x1﹣x2<0,所以f(x1)<f(x2),
所以f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增.
(2)设1<x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=eq \f(x1,x1-a)﹣eq \f(x2,x2-a)=eq \f(a(x2-x1),(x1-a)(x2-a)).
因为a>0,x2﹣x1>0,所以要使f(x1)﹣f(x2)>0,
只需(x1﹣a)(x2﹣a)>0恒成立,所以a≤1.
综上所述,a的取值范围为(0,1].
11.已知函数f(x)=lg4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的最小值为0,求a的值.
【解】(1)因为f(1)=1,所以lg4(a+5)=1,因此a+5=4,即a=﹣1,
所以f(x)=lg4(﹣x2+2x+3).
由﹣x2+2x+3>0得﹣1<x<3,即函数f(x)的定义域为(﹣1,3).
令g(x)=﹣x2+2x+3.
则g(x)在(﹣1,1)上单调递增,在[1,3)上单调递减.
又y=lg4x在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间是(﹣1,1),单调递减区间是[1,3).
(2)若f(x)的最小值为0,
则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,
因此应有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0,,\f(3a-1,a)=1,))解得a=eq \f(1,2).
故实数a的值为eq \f(1,2).
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论
M为最大值
M为最小值
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x),那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
y=ax (a>0且a≠1)
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1)
当x>0时,y>1;
当x<0时,0<y<1
当x>0时,0<y<1;
当x<0时,y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底数N的对数,记作x=lgaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,lgaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化:ax=N⇔x=lgaN(a>0,且a≠1)
lga1=0,lgaa=1,algaN=N(a>0,且a≠1)
运算法则
lga(M·N)=lgaM+lgaN
a>0,且a≠1,M>0,N>0
lgaeq \f(M,N)=lgaM﹣lgaN
lgaMn=nlgaM(n∈R)
换底公式
lgab=eq \f(lgcb,lgca)(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域:(0,+∞)
值域:R
过定点(1,0)
当x>1时,y>0
当0<x<1时,y<0
当x>1时,y<0
当0<x<1时,y>0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.
[注意] 有多个单调区间应分开写,不能用符号“∪”联结,也不能用“或”联结,只能用“逗号”或“和”联结.
2.函数的最值
常用结论
1.函数单调性的两个等价结论
设∀x1,x2∈D(x1≠x2),则
(1)eq \f(f(x1)-f(x2),x1-x2)>0(或(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增.
(2)eq \f(f(x1)-f(x2),x1-x2)<0(或(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减.
【例1】求函数f(x)=﹣x2+2|x|+1的单调区间.
【解】 f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-x2+2x+1,x≥0,,-x2-2x+1,x<0))=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-(x-1)2+2,x≥0,,-(x+1)2+2,x<0.))
画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(﹣∞,﹣1]和(0,1],单调递减区间为(﹣1,0]和(1,+∞).
【例2】判断函数y=eq \f(2x2-3,x)的单调性.
解:因为f(x)=eq \f(2x2-3,x)=2x﹣eq \f(3,x),且函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
而函数y=2x和y=﹣eq \f(3,x)在区间(﹣∞,0)上均为增函数,根据单调函数的运算性质,
可得f(x)=2x﹣eq \f(3,x)在区间(﹣∞,0)上为增函数.
同理,可得f(x)=2x﹣eq \f(3,x)在区间(0,+∞)上也是增函数.
故函数f(x)=eq \f(2x2-3,x)在区间(﹣∞,0)和(0,+∞)上均为增函数.
【例3】(1)函数y=x+eq \r(x-1)的最小值为________.
(2)已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x+a,x≤0,,x+\f(4,x),x>0))有最小值,则实数a的取值范围是________.
【解析】(1)法一(换元法):令t=eq \r(x-1),且t≥0,则x=t2+1,
所以原函数变为y=t2+1+t,t≥0.配方得y=(t+eq \f(1,2))2+eq \f(3,4),
又因为t≥0,所以y≥eq \f(1,4)+eq \f(3,4)=1,故函数y=x+eq \r(x-1)的最小值为1.
法二:因为函数y=x和y=eq \r(x-1)在定义域内均为增函数,
故函数y=x+eq \r(x-1)在[1,+∞)内为增函数,所以ymin=1.
(2)(基本不等式法)由题意知,当x>0时,函数f(x)=x+eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))=4,
当且仅当x=2时取等号;当x≤0时,f(x)=2x+a∈(a,1+a],因此要使f(x)有最小值,则必须有a≥4.
【答案】 (1)1 (2)[4,+∞)
函数的奇偶性及周期性
知识梳理
1.函数的奇偶性
[注意]奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
2.函数的周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
[注意] 不是所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=5.
常用结论
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=﹣f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=eq \f(1,f(x)),则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=﹣eq \f(1,f(x)),则T=2a(a>0).
【例4】(1)下列函数中为偶函数的是( )
A.y=x2sin x B.y=x2cs x C.y=|ln x| D.y=2﹣x
解析:选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(﹣x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数,B选项为偶函数,C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性,D选项既不是奇函数,也不是偶函数.故选B.
(2)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex﹣1,则当x<0时,f(x)=( )
A.e﹣x﹣1 B.e﹣x+1 C.﹣e﹣x﹣1 D.﹣e﹣x+1
【解析】 通解:依题意得,当x<0时,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(e﹣x﹣1)=﹣e﹣x+1,选D.
优解:依题意得,f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(e1﹣1)=1﹣e,结合选项知,选D.
【答案】D
【例5】已知定义域为(﹣1,1)的奇函数f(x)是减函数,且f(a﹣3)+f(9﹣a2)<0,则实数a的取值范围是( )
A.(2eq \r(2),3) B.(3,eq \r(10)) C.(2eq \r(2),4) D.(﹣2,3)
【解析】 由f(a﹣3)+f(9﹣a2)<0得f(a﹣3)<﹣f(9﹣a2).又由奇函数性质得f(a﹣3)<f(a2﹣9).
因为f(x)是定义域为(﹣1,1)的减函数,所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-1a2-9,))解得2eq \r(2)<a<3.
【答案】A
指数与指数函数
知识梳理
1.根式
(1)根式的概念
①若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子eq \r(n,a)叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
②a的n次方根的表示:xn=a⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=\r(n,a),当n为奇数且n∈N*,n>1时,,x=±\r(n,a),当n为偶数且n∈N*时.))
(2)根式的性质
①(eq \r(n,a))n=a(n∈N*,且n>1). ②eq \r(n,an)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a,n为奇数,,|a|=\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a,a≥0,,-a,a<0,))n为偶数.))
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂:aeq \s\up6(\f(m,n))=eq \r(n,am)(a>0,m,n∈N*,且n>1);
②负分数指数幂:a﹣eq \s\up6(\f(m,n))=eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))=eq \f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N*,且n>1);
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.
(2)有理数指数幂的运算性质
①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q);②eq \f(ar,as)=ar﹣s(a>0,r,s∈Q);③(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
④(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
常用结论
1.指数函数图象的画法
画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,eq \f(1,a)).
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象越高,底数越大.
3.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.
【例6】(1)化简eq \r(4,16x8y4)(x<0,y<0)得( )
A.2x2y B.2xy C.4x2y D.﹣2x2y
解析:选D.因为x<0,y<0,所以eq \r(4,16x8y4)=(16x8·y4)eq \s\up6(\f(1,4))=(16)eq \s\up6(\f(1,4))·(x8)eq \s\up6(\f(1,4))·(y4)eq \s\up6(\f(1,4))=2x2|y|=﹣2x2y.
(2)化简的结果为________.
解析:原式=﹣6ab﹣1=﹣eq \f(6a,b).
答案:﹣eq \f(6a,b)
(3)已知=3,则x2+x﹣2+3=________.
解析:由=3,得x+x﹣1+2=9,所以x+x﹣1=7,所以x2+x﹣2+2=49,
所以x2+x﹣2=47,所以x2+x﹣2+3=50.
答案:50.
【例7】(1)已知a=,b=,c=,则下列关系式中正确的是( )
A.c<a<b B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c
【解析】把b化简为b=,而函数y=在R上为减函数,又eq \f(4,3)>eq \f(2,3)>eq \f(1,3),
所以<<,即b<a<c.
【答案】B
(2)不等式<恒成立,则a的取值范围是________.
【解析】由题意,y=是减函数,因为<恒成立,
所以x2+ax>2x+a﹣2恒成立,所以x2+(a﹣2)x﹣a+2>0恒成立,
所以Δ=(a﹣2)2﹣4(﹣a+2)<0,即(a﹣2)(a﹣2+4)<0,即(a﹣2)(a+2)<0,
解得﹣2<a<2,即a的取值范围是(﹣2,2).
【答案】 (﹣2,2)
对数函数
知识梳理
1.对数
2.对数函数的图象与性质
3.反函数
指数函数y=ax与对数函数y=lgax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
常用结论
1.换底公式的三个重要结论
①lgab=eq \f(1,lgba);②lgambn=eq \f(n,m)lgab;③lgab·lgbc·lgcd=lgad.
2.对数函数的图象与底数大小的关系
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0<c<d<1<a<b.
由此我们可得到以下规律:在第一象限内与y=1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大.
【例8】(1)计算(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25的结果为________.
解析:原式=lg 2(lg 2+lg 50)+lg 25=2lg 2+lg 25=lg 4+lg 25=2.
答案:2
(2)若lg x+lg y=2lg(2x﹣3y),则lg1.5eq \f(x,y)的值为________.
解析:依题意,可得lg(xy)=lg(2x﹣3y)2,即xy=4x2﹣12xy+9y2,
整理得:4(eq \f(x,y))2﹣13(eq \f(x,y))+9=0,解得eq \f(x,y)=1或eq \f(x,y)=eq \f(9,4).
因为x>0,y>0,2x﹣3y>0,所以eq \f(x,y)=eq \f(9,4),所以lg1.5eq \f(x,y)=2.
答案:2
(3)设2a=5b=m,且eq \f(1,a)+eq \f(1,b)=2,则m等于________.
解析:由2a=5b=m得a=lg2m,b=lg5m,所以eq \f(1,a)+eq \f(1,b)=lgm2+lgm5=lgm10.
因为eq \f(1,a)+eq \f(1,b)=2,所以lgm10=2.所以m2=10,所以m=eq \r(10).
答案:eq \r(10)
【例9】(1)已知a=lg27,b=lg38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
【解析】 因为a=lg27>lg24=2,b=lg38<lg39=2,且b=lg38>1,c=0.30.2<0.30=1,
所以c<b<a.故选A.
(2)已知函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)满足f(eq \f(2,a))<f(eq \f(3,a)),则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-1))>0的解集为( )
A.(0,1) B.(﹣∞,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)
【解析】法一:因为函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上为单调函数,
而eq \f(2,a)<eq \f(3,a)且f(eq \f(2,a))<f(eq \f(3,a)),所以f(x)=lgax在(0,+∞)上单调递增,
结合对数函数的图象与性质可得f(2x﹣1)>0⇒2x﹣1>1,所以x>1.
法二:由f(eq \f(2,a))<f(eq \f(3,a))知lgaeq \f(2,a)>lgaeq \f(3,a),所以lga2﹣1<lga3﹣1,所以lga2<lga3,
所以a>1,由f(2x﹣1)>0得lga(2x﹣1)>0,所以2x﹣1>1,即x>1.
【答案】 C
函数的性质、指数函数与对数函数 课时跟踪练习
1.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x﹣1)<f(eq \f(1,3))的x的取值范围是( )
A.(eq \f(1,3),eq \f(2,3)) B.[eq \f(1,3),eq \f(2,3)) C.(eq \f(1,2),eq \f(2,3)) D.[eq \f(1,2),eq \f(2,3))
解析:选D.因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f(2x﹣1)<f(eq \f(1,3)).
所以0≤2x﹣1<eq \f(1,3),解得eq \f(1,2)≤x<eq \f(2,3).故选D.
2.已知函数f(x)=eq \r(x2-2x-3),则该函数的单调递增区间为( )
A.(﹣∞,1] B.[3,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.[1,+∞)
解析:选B.设t=x2﹣2x﹣3,由t≥0,即x2﹣2x﹣3≥0,解得x≤﹣1或x≥3.所以函数的定义域为(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞).因为函数t=x2﹣2x﹣3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(﹣∞,﹣1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).
3.下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]<0”的是( )
A.f(x)=2x B.f(x)=|x﹣1| C.f(x)=eq \f(1,x)﹣x D.f(x)=ln(x+1)
解析:选C.由(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,A、D选项中,f(x)为增函数;B中,f(x)=|x﹣1|在(0,+∞)上不单调,对于f(x)=eq \f(1,x)﹣x,因为y=eq \f(1,x)与y=﹣x在(0,+∞)上单调递减,因此f(x)在(0,+∞)上是减函数.
4.设函数f(x)=eq \f(ex-e-x,2),则下列结论错误的是( )
A.|f(x)|是偶函数 B.﹣f(x)是奇函数
C.f(x)|f(x)|是奇函数 D.f(|x|)f(x)是偶函数
解析:选D.因为f(x)=eq \f(ex-e-x,2),则f(﹣x)=eq \f(e-x-ex,2)=﹣f(x).所以f(x)是奇函数.
因为f(|﹣x|)=f(|x|),所以f(|x|)是偶函数,所以f(|x|)f(x)是奇函数.
5.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=lg2(x+2)﹣1,则f(﹣6)=( )
A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4
解析:选C.根据题意得f(﹣6)=﹣f(6)=1﹣lg2(6+2)=1﹣3=﹣2.
6.函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=f(2﹣x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)( )
A.在区间[﹣2,﹣1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数
B.在区间[﹣2,﹣1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[﹣2,﹣1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[﹣2,﹣1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
解析:选B.由f(x)=f(2﹣x)得f(x)的图象关于直线x=1对称.又f(x)是偶函数,故函数f(x)的周期是2,f(x)在区间[﹣2,﹣1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数.
7.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+3)=f(x).若f(2)>1,f(7)=a,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞,﹣3) B.(3,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(1,+∞)
解析:选D.因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数,所以f(7)=f(7﹣9)=f(﹣2).又因为函数f(x)是偶函数,所以f(﹣2)=f(2),所以f(7)=f(2)>1,
所以a>1,即a∈(1,+∞).故选D.
8.函数y=的值域是( )
A.(﹣∞,4) B.(0,+∞) C.(0,4] D.[4,+∞)
解析:选C.设t=x2+2x﹣1,则y=(eq \f(1,2))t.因为0<eq \f(1,2)<1,所以y=(eq \f(1,2))t为关于t的减函数.
因为t=(x+1)2﹣2≥﹣2,所以0<y=(eq \f(1,2))t≤(eq \f(1,2))﹣2=4,故所求函数的值域为(0,4].
9.(多选)已知函数f(x)=ax﹣1+1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,下列函数图象经过点A的是( )
A.y=eq \r(1-x)+2 B.y=|x﹣2|+1 C.y=lg2(2x)+1 D.y=2x﹣1
解析:选ABC.函数f(x)=ax﹣1+1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,令x﹣1=0,得x=1,f(1)=2,所以恒过点A(1,2).把x=1,y=2代入各选项验证,只有D中的函数没经过该点.
10.已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1-2-x,x≥0,,2x-1,x<0,))则函数f(x)是( )
A.偶函数,在[0,+∞)内单调递增
B.偶函数,在[0,+∞)内单调递减
C.奇函数,且单调递增
D.奇函数,且单调递减
解析:选C.易知f(0)=0,当x>0时,f(x)=1﹣2﹣x,﹣f(x)=2﹣x﹣1,此时﹣x<0,则f(﹣x)=2﹣x﹣1=﹣f(x);当x<0时,f(x)=2x﹣1,﹣f(x)=1﹣2x,此时﹣x>0,则f(﹣x)=1﹣2﹣(﹣x)=1﹣2x=﹣f(x).即函数f(x)是奇函数,且单调递增,故选C.
11.(多选)已知f(x)是定义在[0,+∞)上的函数,根据下列条件,可以断定f(x)是增函数的是( )
A.对任意x≥0,都有f(x+1)>f(x)
B.对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1≥x2,都有f(x1)≥f(x2)
C.对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1﹣x2<0,都有f(x1)﹣f(x2)<0
D.对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,都有eq \f(f(x1)-f(x2),x1-x2)>0
解析:选CD.根据题意,依次分析选项:对于选项A,对任意x≥0,都有f(x+1)>f(x),不满足函数单调性的定义,不符合题意;对于选项B,当f(x)为常数函数时,对任意x1,x2∈[0,+∞),都有f(x1)=f(x2),不是增函数,不符合题意;对于选项C,对任意x1,x2∈[0,+∞),且x1﹣x2<0,都有f(x1)﹣f(x2)<0,符合题意;对于选项D,对任意x1,x2∈[0,+∞),设x1>x2,若eq \f(f(x1)-f(x2),x1-x2)>0,必有f(x1)﹣f(x2)>0,则函数在[0,+∞)上为增函数,符合题意.
12.已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3(a-3)x+2,x≤1,,-4a-ln x,x>1))对任意的x1≠x2都有(x1﹣x2)[f(x2)﹣f(x1)]>0成立,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,3] B.(﹣∞,3) C.(3,+∞) D.[1,3)
解析:选D.由(x1﹣x2)[f(x2)﹣f(x1)]>0,得(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]<0,
所以函数f(x)在R上单调递减,所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a-3<0,,3(a-3)+2≥-4a,))解得1≤a<3.故选D.
13.若函数f(x)=x2﹣2mx+1在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________.
解析:由题意知,[2,+∞)⊆[m,+∞),所以m≤2.
答案:(﹣∞,2]
14.已知函数f(x)=﹣x|x|,x∈(﹣1,1),则不等式f(1﹣m)<f(m2﹣1)的解集为________.
【解析】 由已知得f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2,-1
15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则x<0时,f(x)=________.
解析:当x<0时,则﹣x>0,所以f(﹣x)=(﹣x)(1﹣x).又f(x)为奇函数,
所以f(﹣x)=﹣f(x)=(﹣x)(1﹣x),所以f(x)=x(1﹣x).
答案:x(1﹣x)
16.已知函数f(x)满足f(x+2)=﹣eq \f(1,f(x)).当1≤x≤3时,f(x)=x,则f(105)=________.
解析:因为f(x+2)=﹣eq \f(1,f(x)),所以f(x+4)=f(x),故4为函数f(x)的一个周期.
f(105)=f(4×26+1)=f(1)=1.
答案:1
17.已知定义在R上的函数满足f(x+2)=﹣eq \f(1,f(x)),当x∈(0,2]时,f(x)=2x﹣1.
则f(17)=________,f(20)=________.
解析: 因为f(x+2)=﹣eq \f(1,f(x)),所以f(x+4)=﹣eq \f(1,f(x+2))=f(x),所以函数y=f(x)的周期T=4.
f(17)=f(4×4+1)=f(1)=1.f(20)=f(4×4+4)=f(4)=f(2+2)=﹣eq \f(1,f(2))=﹣eq \f(1,2×2-1)=﹣eq \f(1,3).
答案:1 ﹣eq \f(1,3).
18.已知函数f(x)=x﹣eq \f(a,x)+eq \f(a,2)在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
【解析】设1<x1<x2,所以x1x2>1.因为函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,
所以f(x1)﹣f(x2)=x1﹣eq \f(a,x1)+eq \f(a,2)﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2-\f(a,x2)+\f(a,2)))=(x1﹣x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(a,x1x2)))<0.
因为x1﹣x2<0,所以1+eq \f(a,x1x2)>0,即a>﹣x1x2.
因为1<x1<x2,x1x2>1,所以﹣x1x2<﹣1,所以a≥﹣1.
所以a的取值范围是[﹣1,+∞).
19.若偶函数f(x)满足f(x)=2x﹣4(x≥0),则不等式f(x﹣2)>0的解集为________.
解析:因为f(x)为偶函数,当x<0时,﹣x>0,则f(x)=f(﹣x)=2﹣x﹣4.
所以f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x-4,x≥0,,2-x-4,x<0))
当f(x﹣2)>0时,
有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x-2≥0,,2x-2-4>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x-2<0,,2-x+2-4>0,))解得x>4或x<0.
所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}.
答案:{x|x>4或x<0}
20.若函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是[3,+∞),则a的值为________.
解析:由图象(图略)易知函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是[﹣eq \f(a,2),+∞),令﹣eq \f(a,2)=3,得a=﹣6.
答案:﹣6
21.函数f(x)=|x﹣2|x的单调减区间是________.
解析:由于f(x)=|x﹣2|x=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2-2x,x≥2,,-x2+2x,x<2.))结合图象可知函数的单调减区间是[1,2].
答案:[1,2].
22.设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc的取值范围是________.
解析:由题意知,在(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个不同交点,所以|lg a|=|lg b|,
又因为y=lg x在(0,+∞)上单调递增,且a<b<10,所以lg a=﹣lg b,所以lg a+lg b=0,
所以ab=1,0<c<lg 10=1,所以abc的取值范围是(0,1).
答案:(0,1)
23.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(eq \f(x1,x2))=f(x1)﹣f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)证明:f(x)为单调递减函数;
(3)若f(3)=﹣1,求f(x)在[2,9]上的最小值.
解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)﹣f(x1)=0,故f(1)=0.
(2)证明:任取x1,x2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,+∞)),且x1>x2,则eq \f(x1,x2)>1,
由于当x>1时,f(x)<0,所以f(eq \f(x1,x2))<0,即f(x1)﹣f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,+∞))上是单调递减函数.
(3)因为f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数,所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9),
由f(eq \f(x1,x2))=f(x1)﹣f(x2)得f()=f(9)﹣f(3),而f(3)=﹣1,所以f(9)=﹣2.
所以f(x) 在[2,9]上的最小值为﹣2.
24.已知定义域为R的函数f(x)=eq \f(-2x+b,2x+1+a)是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范围.
解:(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,
即eq \f(-1+b,2+a)=0,解得b=1,所以f(x)=eq \f(-2x+1,2x+1+a).又由f(1)=﹣f(﹣1)知eq \f(-2+1,4+a)=﹣eq \f(-\f(1,2)+1,1+a),解得a=2.
(2)由(1)知f(x)=eq \f(-2x+1,2x+1+2)=﹣eq \f(1,2)+eq \f(1,2x+1),由上式易知f(x)在R上为减函数,又因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0等价于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(﹣2t2+k).
因为f(x)是R上的减函数,由上式推得t2﹣2t>﹣2t2+k.即对一切t∈R有3t2﹣2t﹣k>0,
从而Δ=4+12k<0,解得k<﹣eq \f(1,3).故k的取值范围为(﹣∞,﹣eq \f(1,3)).
函数的性质、指数函数与对数函数 随堂检测
1.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=eq \f(1,x) B.y=|x|﹣1 C.y=lg x D.y=(eq \f(1,2))|x|
解析:选B.y=eq \f(1,x)为奇函数;y=lg x的定义域为(0,+∞),不具备奇偶性;y=(eq \f(1,2))|x|在(0,+∞)上为减函数;y=|x|﹣1在(0,+∞)上为增函数,且在定义域上为偶函数.
2.若函数f(x)=(2a﹣5)·ax是指数函数,则f(x)在定义域内( )
A.为增函数 B.为减函数 C.先增后减 D.先减后增
解析:选A.由指数函数的定义知2a﹣5=1,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(x)在定义域内为增函数.
3.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(﹣2)=( )
A.﹣3 B.﹣eq \f(5,4) C.eq \f(5,4) D.3
解析:选A.由f(x)为R上的奇函数,知f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=﹣1,
则f(﹣2)=﹣f(2)=﹣(22﹣1)=﹣3.
4.函数f(x)=﹣x+eq \f(1,x)在[﹣2,﹣eq \f(1,3)]上的最大值是( )
A.eq \f(3,2) B.﹣eq \f(8,3) C.﹣2 D.2
解析:选A.函数f(x)=﹣x+eq \f(1,x)的导数为f′(x)=﹣1﹣eq \f(1,x2),则f′(x)<0,可得f(x)在[﹣2,﹣eq \f(1,3)]上单调递减,即f(﹣2)为最大值,且为2﹣eq \f(1,2)=eq \f(3,2).
4.若f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有eq \f(f(x2)-f(x1),x2-x1)<0,则( )
A.f(3)<f(1)<f(﹣2) B.f(1)<f(﹣2)<f(3)
C.f(﹣2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(﹣2)<f(1)
解析:选D.因为∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有eq \f(f(x2)-f(x1),x2-x1)<0,所以当x≥0时,函数f(x)为减函数,因为f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,所以f(3)<f(2)<f(1),即f(3)<f(﹣2)<f(1).
5.已知a=lg20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )
A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a
解析:选B.因为a=lg20.2<lg21=0,b=20.2>20=1,c=0.20.3<0.20=1且c>0,所以a<c<b,故选B.
6.函数y=eq \r(lg3(2x-1)+1)的定义域是( )
A.[1,2] B.[1,2) C.[eq \f(2,3),+∞) D.(eq \f(2,3),+∞)
解析:选C.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg3(2x-1)+1≥0,,2x-1>0,))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg3(2x-1)≥lg3\f(1,3),,x>\f(1,2),))解得x≥eq \f(2,3).故选C.
7.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(﹣1)+g(1)=2,f(1)+g(﹣1)=4,则g(1)等于________.
解析:f(﹣1)+g(1)=2,即﹣f(1)+g(1)=2①,
f(1)+g(﹣1)=4,即f(1)+g(1)=4②,由①②得,2g(1)=6,即g(1)=3.
答案:3
8.已知函数y=lga(x+3)﹣eq \f(8,9)(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,则点A的坐标为________;若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则f(lg32)=________.
解析:令x+3=1可得x=﹣2,此时y=lga1﹣eq \f(8,9)=﹣eq \f(8,9),可知定点A的坐标为(﹣2,﹣eq \f(8,9)).点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,故﹣eq \f(8,9)=3﹣2+b,解得b=﹣1.所以f(x)=3x﹣1,则f(lg32)=3lg32﹣1=2﹣1=1.
答案:(﹣2,﹣eq \f(8,9)) 1
9.函数y=2+eq \r(-x2+4x)的最大值是________,单调递增区间是________.
解析:函数y=2+eq \r(-x2+4x)=2+eq \r(-(x-2)2+4),可得当x=2时,函数y取得最大值2+2=4;由4x﹣x2≥0,可得0≤x≤4,令t=﹣x2+4x,则t在[0,2]上为增函数,y﹣2+eq \r(t)在[0,+∞)上为增函数,可得函数y=2+eq \r(-x2+4x)的单调递增区间为[0,2].
答案:4 [0,2]
10.已知f(x)=eq \f(x,x-a)(x≠a).
(1)若a=﹣2,试证明f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
解:(1)证明:设x1<x2<﹣2,
则f(x1)﹣f(x2)=eq \f(x1,x1+2)﹣eq \f(x2,x2+2)=eq \f(2(x1-x2),(x1+2)(x2+2)).
因为(x1+2)(x2+2)>0,x1﹣x2<0,所以f(x1)<f(x2),
所以f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增.
(2)设1<x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=eq \f(x1,x1-a)﹣eq \f(x2,x2-a)=eq \f(a(x2-x1),(x1-a)(x2-a)).
因为a>0,x2﹣x1>0,所以要使f(x1)﹣f(x2)>0,
只需(x1﹣a)(x2﹣a)>0恒成立,所以a≤1.
综上所述,a的取值范围为(0,1].
11.已知函数f(x)=lg4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的最小值为0,求a的值.
【解】(1)因为f(1)=1,所以lg4(a+5)=1,因此a+5=4,即a=﹣1,
所以f(x)=lg4(﹣x2+2x+3).
由﹣x2+2x+3>0得﹣1<x<3,即函数f(x)的定义域为(﹣1,3).
令g(x)=﹣x2+2x+3.
则g(x)在(﹣1,1)上单调递增,在[1,3)上单调递减.
又y=lg4x在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间是(﹣1,1),单调递减区间是[1,3).
(2)若f(x)的最小值为0,
则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,
因此应有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0,,\f(3a-1,a)=1,))解得a=eq \f(1,2).
故实数a的值为eq \f(1,2).
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论
M为最大值
M为最小值
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x),那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
y=ax (a>0且a≠1)
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1)
当x>0时,y>1;
当x<0时,0<y<1
当x>0时,0<y<1;
当x<0时,y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底数N的对数,记作x=lgaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,lgaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化:ax=N⇔x=lgaN(a>0,且a≠1)
lga1=0,lgaa=1,algaN=N(a>0,且a≠1)
运算法则
lga(M·N)=lgaM+lgaN
a>0,且a≠1,M>0,N>0
lgaeq \f(M,N)=lgaM﹣lgaN
lgaMn=nlgaM(n∈R)
换底公式
lgab=eq \f(lgcb,lgca)(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域:(0,+∞)
值域:R
过定点(1,0)
当x>1时,y>0
当0<x<1时,y<0
当x>1时,y<0
当0<x<1时,y>0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数