人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第03课 三角函数及图象性质（2份打包，原卷版+教师版）

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知识梳理
1.任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)角的分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
3.任意角的三角函数
三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).
【例1】(1)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq \f(2,3)，面积等于圆面积的eq \f(5,27)，则扇形的弧长与圆周长之比为________.
(2)函数y＝lga(x﹣3)＋2(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sin α＋cs α的值为( )
A.eq \f(7,5) B.eq \f(6,5) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(3\r(5),5)
(3)已知角α的终边经过点P(﹣x，﹣6)，且cs α＝﹣eq \f(5,13)，则tan α＝________.
【解析】(1)设圆的半径为r，则扇形的半径为eq \f(2r,3)，记扇形的圆心角为α，则eq \f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2r,3)))\s\up12(2),πr2)＝eq \f(5,27)，所以α＝eq \f(5π,6).
所以扇形的弧长与圆周长之比为eq \f(l,C)＝eq \f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq \f(5,18).
(2)因为函数y＝lga(x﹣3)＋2的图象过定点P(4，2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝2eq \r(5)，
所以sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs α＝eq \f(2\r(5),5)，所以sin α＋cs α＝eq \f(\r(5),5)＋eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(3\r(5),5).故选D.
(3)因为角α的终边经过点P(﹣x，﹣6)，且cs α＝﹣eq \f(5,13)，所以cs α＝eq \f(－x,\r(x2＋36))＝﹣eq \f(5,13)，即x＝eq \f(5,2).
所以P(﹣eq \f(5,2),﹣6)，所以tan α＝eq \f(12,5).
【答案】(1)eq \f(5,18) (2)D (3)eq \f(12,5)
[例2](1)若sin x＜0，且sin(cs x)＞0，则角x是 ( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
解析：选D.因为﹣1≤cs x≤1，且sin(cs x)＞0，所以0＜cs x≤1，
又sin x＜0，所以角x为第四象限角，故选D.
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为 弧度时，这个扇形的面积最大.
解析：由已知得，l＋2R＝20，则l＝20﹣2R，0＜R＜10，
所以S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20﹣2R)R＝10R﹣R2＝﹣(R﹣5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10 cm，α＝2 .
答案：2.
(3)若角α的终边落在直线y＝﹣x上，则eq \f(sin α,|cs α|)＋eq \f(|sin α|,cs α)＝________.
解析：因为角α的终边落在直线y＝﹣x上，所以角α的终边位于第二或第四象限.当角α的终边位于第二象限时，eq \f(sin α,|cs α|)＋eq \f(|sin α|,cs α)＝eq \f(sin α,－cs α)＋eq \f(sin α,cs α)＝0；当角α的终边位于第四象限时，eq \f(sin α,|cs α|)＋eq \f(|sin α|,cs α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(－sin α,cs α)＝0.所以eq \f(sin α,|cs α|)＋eq \f(|sin α|,cs α)＝0.
答案：0
同角三角函数的基本关系与诱导公式
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2x＋cs2x＝1.
(2)商数关系：tan x＝eq \f(sin x,cs x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2.三角函数的诱导公式
常用结论
1.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
2.同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1﹣cs2α＝(1＋cs α)(1﹣cs α)；
cs2α＝1﹣sin2α＝(1＋sin α)(1﹣sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
(2)sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
(3)sin2α＝eq \f(sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α,tan2α＋1)；cs2α＝eq \f(cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1,tan2α＋1).
【例3】已知α是三角形的内角，且tan α＝﹣eq \f(1,3)，则sin α＋cs α的值为________.
【解析】由tan α＝﹣eq \f(1,3)，得sin α＝﹣eq \f(1,3)cs α，且sin α＞0，cs α＜0，
将其代入sin2α＋cs2α＝1，得eq \f(10,9)cs2α＝1，
所以cs α＝﹣eq \f(3\r(10),10)，sin α＝eq \f(\r(10),10)，故sin α＋cs α＝﹣eq \f(\r(10),5).
【答案】﹣eq \f(\r(10),5)
【例4】已知eq \f(tan α,tan α－1)＝﹣1，求下列各式的值：
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)；
(2)sin2α＋sin αcs α＋2.
【解】由已知得tan α＝eq \f(1,2).
(1)eq \f(sin α－3cs α,sin α＋cs α)＝eq \f(tan α－3,tan α＋1)＝﹣eq \f(5,3).
(2)sin2α＋sin αcs α＋2＝eq \f(sin2α＋sin αcs α,sin2α＋cs2α)＋2＝eq \f(tan2α＋tan α,tan2α＋1)＋2＝eq \f(13,5).
【例5】(1)已知α∈(0，π)，且cs α＝﹣eq \f(15,17)，则sin(eq \f(π,2)＋α)·tan(π＋α)＝( )
A.﹣eq \f(15,17) B.eq \f(15,17) C.﹣eq \f(8,17) D.eq \f(8,17)
解析：选D.sin(eq \f(π,2)＋α)·tan(π＋α)＝cs α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且cs α＝﹣eq \f(15,17)，
所以sin α＝ eq \r(1－cs2α)＝ eq \f(8,17)，即sin(eq \f(π,2)＋α)·tan(π＋α)＝eq \f(8,17).故选D.
(2)已知sin(α﹣eq \f(π,12))＝eq \f(1,3)，则cs(α＋)的值等于________.
解析：由sin(α﹣eq \f(π,12))＝eq \f(1,3)，得cs(α＋)＝sin(α﹣eq \f(π,12))＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
(3)已知sin(π＋θ)＝﹣eq \r(3)cs(2π﹣θ)，|θ|＜eq \f(π,2)，则θ等于( )
A.﹣eq \f(π,6) B.﹣eq \f(π,3) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
解析：选D.因为sin(π＋θ)＝﹣eq \r(3)cs(2π﹣θ)，所以﹣sin θ＝﹣eq \r(3)cs θ，
所以tan θ＝eq \r(3)，因为|θ|＜eq \f(π,2)，所以θ＝eq \f(π,3).
三角函数的图象与性质
知识梳理
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
常用结论
1.函数y＝sin x与y＝cs x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cs x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z).
2.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kπ﹣eq \f(π,2)，kπ＋eq \f(π,2))(k∈Z)内为增函数.
【例6】(1)函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________.
解析：sin x﹣cs x＝eq \r(2)sin(x﹣eq \f(π,4))≥0，将x﹣eq \f(π,4)视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x﹣eq \f(π,4)≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z).所以定义域为{x|2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z}.
答案：{x|2kπ＋eq \f(π,4)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z}
(2)已知函数f(x)＝2sin(x＋eq \f(π,3))，设a＝f()，b＝f(eq \f(π,6))，c＝f(eq \f(π,3))，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＜c＜b B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a
【解析】 a＝f()＝2sin eq \f(10π,21)，b＝f(eq \f(π,6))＝2sin eq \f(π,2)＝2，c＝f(eq \f(π,3))＝2sin eq \f(2π,3)＝2sin eq \f(π,3)，
因为y＝sin x在[0，eq \f(π,2)]上单调递增，且eq \f(π,3)＜eq \f(10π,21)＜eq \f(π,2)，所以c＜a＜b.
【答案】 B
【例7】(1)若函数f(x)＝2eq \r(3)sin ωxcs ωx＋2sin2ωx＋cs 2ωx在区间[﹣eq \f(3π,2)，eq \f(3π,2)]上单调递增，则正数ω的最大值为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,6) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
【解析】因为f(x)＝2eq \r(3)sin ωxcs ωx＋2sin2ωx＋cs 2ωx＝eq \r(3)sin 2ωx＋1在区间[﹣eq \f(3π,2)，eq \f(3π,2)]上单调递增，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3ωπ≥－\f(π,2)，,3ωπ≤\f(π,2).))解得ω≤eq \f(1,6)，所以正数ω的最大值是eq \f(1,6).故选B.
【答案】 B
(2)函数y＝sin x﹣cs x＋sin xcs x的值域为______________________.
【解析】设t＝sin x﹣cs x，则﹣eq \r(2)≤t≤eq \r(2)，t2＝sin2x＋cs2x﹣2sin xcs x，则sin xcs x＝eq \f(1－t2,2)，
所以y＝﹣eq \f(t2,2)＋t＋eq \f(1,2)＝﹣eq \f(1,2)(t﹣1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝﹣eq \r(2)时，ymin＝﹣eq \f(1,2)﹣eq \r(2).
所以函数y的值域为[﹣eq \f(1,2)﹣eq \r(2)，1].【答案】 (1)B (2)[﹣eq \f(1,2)﹣eq \r(2)，1]
【例8】(1)函数f(x)＝2cs2(x﹣eq \f(π,4))﹣1是( )
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数 D.最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数
【解析】)因为f(x)＝2cs2(x﹣eq \f(π,4))﹣1＝cs[2(x﹣eq \f(π,4))]＝cs(2x﹣eq \f(π,2))＝sin 2x.
所以T＝eq \f(2π,2)＝π，f(x)＝sin 2x是奇函数.故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数.
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是( )
A.(eq \f(π,3)，1) B.(eq \f(π,12)，0) C.(eq \f(5π,12)，0) D.(﹣eq \f(π,12)，0)
【解析】 由题意可得eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，可得f(x)＝Asin(2x＋φ)，再由函数图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，故f(eq \f(π,3))＝Asin(eq \f(2π,3)＋φ)＝±A，故可取φ＝﹣eq \f(π,6).故函数f(x)＝Asin(2x﹣eq \f(π,6))，令2x﹣eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，可得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)，k∈Z，故函数的对称中心为(eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)，0)，k∈Z.所以函数f(x)图象的一个对称中心是(eq \f(π,12)，0).
【答案】 B
【例9】已知函数f(x)＝sin(eq \f(π,2)﹣x)sin x﹣eq \r(3)cs2x＋eq \f(\r(3),2).
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
(2)若方程f(x)＝eq \f(2,3)在(0，π)上的解为x1，x2，求cs(x1﹣x2)的值.
解：(1)f(x)＝cs xsin x﹣eq \f(\r(3),2)(2cs2x﹣1)＝eq \f(1,2)sin 2x﹣eq \f(\r(3),2)cs 2x＝sin(2x﹣eq \f(π,3)).
当2x﹣eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即x＝eq \f(5,12)π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.
(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝eq \f(5,12)π＋kπ(k∈Z)，
所以当x∈(0，π)时，对称轴为x＝eq \f(5,12)π.又方程f(x)＝eq \f(2,3)在(0，π)上的解为x1，x2.
所以x1＋x2＝eq \f(5,6)π，则x1＝eq \f(5,6)π﹣x2，所以cs(x1﹣x2)＝cs(eq \f(5,6)π﹣2x2)＝sin(2x2﹣eq \f(π,3))，
又f(x2)＝sin(2x2﹣eq \f(π,3))＝eq \f(2,3)，故cs(x1﹣x2)＝eq \f(2,3).
三角函数及图象性质 课时跟踪练习
1.已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：选B.由题意知tan α＜0，cs α＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限.故选B.
2.若角α的终边在直线y＝﹣x上，则角α的取值集合为( )
A.{α|α＝k·360°﹣45°，k∈Z} B.{α|α＝k·2π＋eq \f(3π,4)，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°＋eq \f(3π,4)，k∈Z} D.{α|α＝k·π﹣eq \f(π,4)，k∈Z}
解析：选D.由图知，角α的取值集合为{α|α＝2nπ＋eq \f(3π,4)，n∈Z}∪{α|α＝2nπ﹣eq \f(π,4)，n∈Z}
＝{α|α＝(2n＋1)π﹣eq \f(π,4)，n∈Z}∪{α|α＝2nπ﹣eq \f(π,4)，n∈Z}＝{α|α＝kπ﹣eq \f(π,4)，k∈Z}.
3.已知点P(sin x﹣cs x，﹣3)在第三象限，则x的可能区间是( )
A.(eq \f(π,2)，π) B.(﹣eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)) C.(﹣eq \f(π,2)，eq \f(π,2)) D.(﹣eq \f(3π,4)，eq \f(π,4))
解析：选D.由点P(sin x﹣cs x，﹣3)在第三象限，可得sin x﹣cs x＜0，即sin x＜cs x，
所以﹣eq \f(3π,4)＋2kπ＜x＜eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是(﹣eq \f(3π,4)，eq \f(π,4)).
4.当x∈[0，2π]，则y＝eq \r(tan x)＋eq \r(－cs x)的定义域为( )
A.[0，eq \f(π,2)) B.(eq \f(π,2)，π] C.[π，eq \f(3π,2)) D.(eq \f(3π,2)，2π]
解析：选C.由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tan x≥0，,－cs x≥0，,x∈[0，2π]，,x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，))所以函数y的定义域为[π，eq \f(3π,2)).故选C.
5.函数f(x)＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \r(3)sin xcs x.则下列表述正确的是( )
A.f(x)在(﹣eq \f(π,3)，﹣eq \f(π,6))上单调递减 B.f(x)在(eq \f(π,6)，eq \f(π,3))上单调递增
C.f(x)在(﹣eq \f(π,6)，0)上单调递减 D.f(x)在(0，eq \f(π,6))上单调递增
解析：选D.f(x)＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＝sin(2x＋eq \f(π,6))，由2x＋eq \f(π,6)∈[﹣eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ]，k∈Z，解得x∈[﹣eq \f(π,3)＋kπ，eq \f(π,6)＋kπ]，k∈Z，当k＝0时，x∈[﹣eq \f(π,3)，eq \f(π,6)]，所以函数f(x)在(﹣eq \f(π,3)，eq \f(π,6))上单调递增，故选D.
6.已知函数f(x)＝cs2x＋sin2(x＋eq \f(π,6))，则( )
A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的最小正周期为2π
C.f(x)的最大值为eq \f(1,2) D.f(x)的最小值为﹣eq \f(1,2)
解析：选A.f(x)＝eq \f(1＋cs 2x,2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))),2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)﹣eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 2xcs\f(π,3)－sin 2xsin\f(π,3)))
＝eq \f(1,4)cs 2x＋eq \f(\r(3),4)sin 2x＋1＝eq \f(1,2)sin(2x＋eq \f(π,6))＋1，则f(x)的最小正周期为π，最小值为﹣eq \f(1,2)＋1＝eq \f(1,2)，最大值为eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
7.已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x﹣1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,8) D.π
解析：选C.由题意，得f(x)＝sin 2x﹣cs 2x＝eq \r(2)sin(2x﹣eq \f(π,4))，由﹣eq \f(π,2)＋2kπ≤2x﹣eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
解得﹣eq \f(π,8)＋kπ≤x≤eq \f(3π,8)＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，﹣eq \f(π,8)≤x≤eq \f(3π,8)，即函数f(x)在[﹣eq \f(π,8)，eq \f(3π,8)]上单调递增.
因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以0＜m≤eq \f(3π,8)，即m的最大值为eq \f(3π,8)，故选C.
8.已知函数f(x)＝﹣10sin2x﹣10sin x﹣eq \f(1,2)，x∈[﹣eq \f(π,2)，m]的值域为[﹣eq \f(1,2)，2]，则实数m的取值范围是( )
A.[﹣eq \f(π,3)，0] B.[﹣eq \f(π,6)，0] C.[﹣eq \f(π,3)，eq \f(π,6)] D.[﹣eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]
解析：选B.记t＝sin x，x∈[﹣eq \f(π,2)，m]，则函数f(x)可转化为g(t)＝﹣10t2﹣10t﹣eq \f(1,2)＝﹣10(t＋eq \f(1,2))2＋2.
因为函数的最大值为2，显然此时t＝﹣eq \f(1,2).令g(t)＝﹣eq \f(1,2)，得t＝﹣1或t＝0，
由题意知x∈[﹣eq \f(π,2)，m]，当x＝﹣eq \f(π,2)时，t＝﹣1，g(﹣1)＝﹣eq \f(1,2)，结合g(t)的图象及函数的值域为[﹣eq \f(1,2)，2]，
可得﹣eq \f(1,2)≤sin m≤0，解得﹣eq \f(π,6)≤m≤0.故选B.
9.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋eq \f(π,4))在区间(0，eq \f(π,8))上单调递增，则ω的最大值为( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.2 D.4
解析：选C.因为x∈(0，eq \f(π,8))，所以ωx＋eq \f(π,4)∈(eq \f(π,4)，eq \f(ωπ,8)＋eq \f(π,4))，因为f(x)＝2sin(ωx＋eq \f(π,4))在(0，eq \f(π,8))上单调递增，所以eq \f(ωπ,8)＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C.
10.设函数f(x)＝sin(ωx＋φ﹣eq \f(π,4))(ω>0，|φ|＜eq \f(π,2))的最小正周期为π，且f(﹣x)＝f(x)，则( )
A.f(x)在(0，eq \f(π,2))上单调递增 B.f(x)在(﹣eq \f(π,2),eq \f(π,2))上单调递减
C.f(x)在(0，eq \f(π,2))上单调递减 D.f(x)在(﹣eq \f(π,2),eq \f(π,2))上单调递增
解析：选A.f(x)＝sin(ωx＋φ﹣eq \f(π,4))，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ﹣eq \f(π,4)).
f(﹣x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以φ﹣eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，所以φ＝kπ＋eq \f(3π,4)(k∈Z).因为|φ|＜eq \f(π,2)，
所以φ＝﹣eq \f(π,4)，所以f(x)＝﹣cs 2x，所以f(x)在(0，eq \f(π,2))上单调递增，在(﹣eq \f(π,2),0)上单调递减，故选A.
11.比较大小：sin(﹣eq \f(π,18))________sin(﹣eq \f(π,10)).
解析：因为y＝sin x在[﹣eq \f(π,2),0]上为增函数且﹣eq \f(π,18)＞﹣eq \f(π,10)＞﹣eq \f(π,2)，故sin(﹣eq \f(π,18))＞sin(﹣eq \f(π,10)).
答案：＞
12.化简eq \f(\r(1－2sin 40°cs 40°),cs 40°－\r(1－sin250°))＝________.
解析：原式＝eq \f(\r(sin240°＋cs240°－2sin 40°cs 40°),cs 40°－cs 50°)＝eq \f(|sin 40°－cs 40°|,sin 50°－sin 40°)
＝eq \f(|sin 40°－sin 50°|,sin 50°－sin 40°)＝eq \f(sin 50°－sin 40°,sin 50°－sin 40°)＝1.
答案：1
13.已知函数f(x)＝4sin(2x﹣eq \f(π,3))，x∈[﹣π，0]，则f(x)的单调递增区间是________.
解析：由﹣eq \f(π,2)＋2kπ≤2x﹣eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得﹣eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ(k∈Z)，
又因为x∈[﹣π，0]，所以f(x)的单调递增区间为[﹣π，﹣eq \f(7π,12)]和[﹣eq \f(π,12)，0].
答案：[﹣π，﹣eq \f(7π,12)]和[﹣eq \f(π,12)，0]
14.函数f(x)＝sin(2x＋eq \f(3π,2))﹣3cs x的最小值为________.
解析：f(x)＝sin(2x＋eq \f(3π,2))﹣3cs x＝﹣cs 2x﹣3cs x＝1﹣2cs2x﹣3cs x＝﹣2(cs x＋eq \f(3,4))2＋eq \f(17,8)，
因为cs x∈[﹣1，1]，所以当cs x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝﹣4.
答案：﹣4
15.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cs θ＝1，则tan θ＝________.
解析：由(sin θ＋3cs θ)2＝1＝sin2θ＋cs2θ，得6sin θcs θ＝﹣8cs2θ，又因为θ为第四象限角，所以cs θ≠0，所以6sin θ＝﹣8cs θ，所以tan θ＝﹣eq \f(4,3).
答案：﹣eq \f(4,3)
16.若函数f(x)＝3sin(x＋eq \f(π,10))﹣2在区间[eq \f(π,2)，a]上单调，则实数a的最大值是________.
解析：法一：令2kπ＋eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,10)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，即2kπ＋eq \f(2π,5)≤x≤2kπ＋eq \f(7π,5)，k∈Z，
所以函数f(x)在区间[eq \f(2π,5)，eq \f(7π,5)]上单调递减，所以a的最大值为eq \f(7π,5).
法二：因为eq \f(π,2)≤x≤a，所以eq \f(π,2)＋eq \f(π,10)≤x＋eq \f(π,10)≤a＋eq \f(π,10)，而f(x)在[eq \f(π,2)，a]上单调，
所以a＋eq \f(π,10)≤eq \f(3π,2)，即a≤eq \f(7π,5)，所以a的最大值为eq \f(7π,5).
答案：eq \f(7π,5).
17.设函数f(x)＝cs(ωx﹣eq \f(π,6))(ω＞0).若f(x)≤f(eq \f(π,4))对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.
解析：由于对任意的实数都有f(x)≤f(eq \f(π,4))成立，故当x＝eq \f(π,4)时，函数f(x)有最大值，故f(eq \f(π,4))＝1，
eq \f(πω,4)﹣eq \f(π,6)＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋eq \f(2,3)(k∈Z)，又ω＞0，所以ωmin＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3).
18.已知α为第三象限角，
f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）).
(1)化简f(α)；
(2)若cs(α﹣eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值.
解：(1)f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）)
＝eq \f(（－cs α）·sin α·（－tan α）,（－tan α）·sin α)＝﹣cs α.
(2)因为cs(α﹣eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，所以﹣sin α＝eq \f(1,5)，从而sin α＝﹣eq \f(1,5).
又α为第三象限角，所以cs α＝﹣eq \r(1－sin2α)＝﹣eq \f(2\r(6),5)，所以f(α)＝﹣cs α＝eq \f(2\r(6),5).
19.已知f(x)＝eq \r(2)sin(2x＋eq \f(π,4)).
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)]时，求函数f(x)的最大值和最小值.
解：(1)令2kπ﹣eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，则kπ﹣eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为[kπ﹣eq \f(3π,8)，kπ＋eq \f(π,8)]，k∈Z.
(2)当x∈[eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)]时，eq \f(3π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(7π,4)，所以﹣1≤sin(2x＋eq \f(π,4))≤eq \f(\r(2),2)，
所以﹣eq \r(2)≤f(x)≤1，所以当x∈[eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)]时，函数f(x)的最大值为1，最小值为﹣eq \r(2).
20.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0＜φ＜eq \f(2π,3))的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点(eq \f(π,6)，eq \f(\r(3),2))，求f(x)的单调递增区间.
解：由f(x)的最小正周期为π，则T＝eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ).
(1)当f(x)为偶函数时，f(﹣x)＝f(x).所以sin(2x＋φ)＝sin(﹣2x＋φ)，
展开整理得sin 2xcs φ＝0，已知上式对∀x∈R都成立，
所以cs φ＝0.因为0＜φ＜eq \f(2π,3)，所以φ＝eq \f(π,2).
(2)因为f(eq \f(π,6))＝eq \f(\r(3),2)，所以sin(2×eq \f(π,6)＋φ)＝eq \f(\r(3),2)，
即eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,3)＋2kπ或eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，故φ＝2kπ或φ＝eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，
又因为0＜φ＜eq \f(2π,3)，所以φ＝eq \f(π,3)，即f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,3))，
由﹣eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)得kπ﹣eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(π,12)(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间为[kπ﹣eq \f(5π,12)，kπ＋eq \f(π,12)](k∈Z).
三角函数及图象性质 随堂检测
1.计算：sin eq \f(11π,6)＋cs eq \f(10π,3)＝( )
A.﹣1 B.1 C.0 D.eq \f(1,2)﹣eq \f(\r(3),2)
解析：选A.原式＝sin(2π﹣eq \f(π,6))＋cs(3π＋eq \f(π,3))＝﹣sin eq \f(π,6)＋cs(π＋eq \f(π,3))＝﹣eq \f(1,2)﹣cs eq \f(π,3)＝﹣eq \f(1,2)﹣eq \f(1,2)＝﹣1.
2.已知sin α＋cs α＝eq \r(2)，则tan α＋eq \f(cs α,sin α)的值为( )
A.﹣1 B.﹣2 C.eq \f(1,2) D.2
解析：选D.因为sin α＋cs α＝eq \r(2)，所以(sin α＋cs α)2＝2，所以sin αcs α＝eq \f(1,2).
所以tan α＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,sin αcs α)＝2.故选D.
3.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cs α＝( )
A.eq \f(1,2) B.﹣eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.﹣eq \f(\r(3),2)
解析：选A.由三角函数定义得tan α＝eq \f(3,2sin α)，即eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,2sin α)，得3cs α＝2sin2α＝2(1﹣cs2α)，
解得cs α＝eq \f(1,2)或cs α＝﹣2(舍去).故选A.
4.已知sin αcs α＝eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)＜α＜eq \f(3π,2)，则cs α﹣sin α的值为( )
A.﹣eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C.﹣eq \f(3,4) D.eq \f(3,4)
解析：选B.因为eq \f(5π,4)＜α＜eq \f(3π,2)，所以cs α＜0，sin α＜0且|cs α|＜|sin α|，所以cs α﹣sin α＞0.
又(cs α﹣sin α)2＝1﹣2sin αcs α＝1﹣2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，所以cs α﹣sin α＝eq \f(\r(3),2).故选B.
5.已知α是第二象限角，P(x，eq \r(5))为其终边上一点，且cs α＝eq \f(\r(2),4)x，则x＝________.
解析：因为cs α＝eq \f(x,\r(x2＋5))＝eq \f(\r(2),4)x，所以x＝0或x＝eq \r(3)或x＝﹣eq \r(3)，又α是第二象限角，所以x＝﹣eq \r(3).
答案：﹣eq \r(3)
6.设α是第三象限角，tan α＝eq \f(5,12)，则cs(π﹣α)＝________.
解析：因为α为第三象限角，tan α＝eq \f(5,12)，所以cs α＝﹣eq \f(12,13)，
所以cs(π﹣α)＝﹣cs α＝eq \f(12,13).
答案：eq \f(12,13)
7.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.
解析：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为eq \r(2)r，所以圆心角的弧度数是eq \f(\r(2)r,r)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
8.若3sin α＋cs α＝0，则eq \f(1,cs2α＋2sin αcs α)的值为________.
解析：3sin α＋cs α＝0⇒cs α≠0⇒tan α＝﹣eq \f(1,3)，eq \f(1,cs2α＋2sin αcs α)
＝eq \f(cs2α＋sin2α,cs2α＋2sin αcs α)＝eq \f(1＋tan2α,1＋2tan α)＝eq \f(10,3).
答案：eq \f(10,3)
9.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？
解：因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝30°＝eq \f(π,6)，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长＝2×eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)；方案二中扇形的弧长＝1×eq \f(2π,3)＝eq \f(2π,3)；
方案一中扇形的面积＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)，方案二中扇形的面积＝eq \f(1,2)×1×1×eq \f(2π,3)＝eq \f(π,3).
由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短.因此方案一最优.
10.已知关于x的方程2x2﹣(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cs θ，θ∈(0，2π)，求：
(1)eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值.
解：(1)原式＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)
＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ.
由条件知sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，故eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)由已知，得sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，sin θcs θ＝eq \f(m,2)，
又1＋2sin θcs θ＝(sin θ＋cs θ)2，可得m＝eq \f(\r(3),2).
(3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sin θcs θ＝\f(\r(3),4)，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2).))
又θ∈(0，2π)，故θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(π,6).
按旋转方向
正角
按逆时针方向旋转而成的角
负角
按顺时针方向旋转而成的角
零角
射线没有旋转
按终边位置
前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
象限角
角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角
其他
角的终边落在坐标轴上
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180)rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈57°18′
弧长公式
l＝|α|·r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)|α|·r2
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ
正
负
负
Ⅲ
负
负
正
Ⅳ
负
正
负
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
组数
一
二
三
四
五
六
角
α＋2kπ
(k∈Z)
π＋α
﹣α
π﹣α
eq \f(π,2)﹣α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
﹣sin_α
﹣sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs α
﹣cs_α
cs_α
﹣cs_α
sin_α
﹣sin_α
正切
tan α
tan_α
﹣tan_α
﹣tan_α
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
函数的最值
最大值1，当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z；最小值﹣1，当且仅当x＝2kπ﹣eq \f(π,2)，k∈Z
最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z；
最小值﹣1，当且仅当x＝2kπ﹣π，k∈Z
无最大值和最小值
单调性
增区间[k·2π﹣eq \f(π,2)，k·2π＋eq \f(π,2)](k∈Z)；
减区间[k·2π＋eq \f(π,2)，k·2π＋eq \f(3π,2)](k∈Z)
增区间[k·2π﹣π，k·2π](k∈Z)；
减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z)
增区间(k·π﹣eq \f(π,2)，k·π＋eq \f(π,2))(k∈Z)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性
周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π
周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π
周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
无对称轴
零点
kπ，k∈Z
kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
kπ，k∈Z