人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第05课 寒假复习阶段测试一（2份打包，原卷版+教师版）

这是一份人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第05课 寒假复习阶段测试一（2份打包，原卷版+教师版），文件包含人教A版2024年高一数学寒假提高讲义第05课寒假复习阶段测试一教师版doc、人教A版2024年高一数学寒假提高讲义第05课寒假复习阶段测试一原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|lg2(x+1)＜2}，则A∩B等于( )
A.{﹣1，0，1，2} B.{0，1，2} C.{﹣1，0，1，2，3} D.{0，1，2，3}
【答案解析】答案为：B.
“tan α＝3”是“cs 2α＝﹣eq \f(4,5)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：A
解析：若tan α＝3，则cs 2α＝cs 2α﹣sin 2α＝eq \f(cs 2α－sin 2α,cs 2α＋sin 2α)＝eq \f(1－tan 2α,1＋tan 2α)＝eq \f(－8,10)＝﹣eq \f(4,5)，
若cs 2α＝﹣eq \f(4,5)，由cs 2α＝cs 2α﹣sin 2α＝eq \f(cs 2α－sin 2α,cs 2α＋sin 2α)＝eq \f(1－tan 2α,1＋tan 2α)＝﹣eq \f(4,5)，
可得tan α＝±3，所以“tan α＝3”是“cs 2α＝﹣eq \f(4,5)”的充分不必要条件.
函数f(x)＝lg2(1﹣2x)＋eq \f(1,x＋1)的定义域为( )
A.(0，eq \f(1,2)) B.(﹣∞，eq \f(1,2)) C.(﹣1，0)∪(0，eq \f(1,2)) D.(﹣∞，﹣1)∪(﹣1，eq \f(1,2))
【答案解析】答案为：D.
解析：由1﹣2x＞0，且x＋1≠0，得x＜eq \f(1,2)且x≠﹣1，
所以函数f(x)＝lg2(1﹣2x)＋eq \f(1,x＋1)的定义域为(﹣∞，﹣1)∪(﹣1，eq \f(1,2)).
若对任意实数x，恒有2f(x)－f(－x)=3x＋1，则f(1)=( )
A.2 B.0 C.1 D.－1
【答案解析】答案为：A.
解析：由2f(x)－f(－x)=3x＋1得2f(－x)－f(x)=1－3x.
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2fx－f－x＝3x＋1，,2f－x－fx＝1－3x，))解得f(x)=x＋1，所以f(1)=1＋1=2，故选A.]
已知函数f(x)＝x|x|﹣2x，则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，递减区间是(﹣∞，1)
C.f(x)是奇函数，递减区间是(﹣1,1)
D.f(x)是奇函数，递增区间是(﹣∞，0)
【答案解析】答案为：C.
解析：将函数f(x)＝x|x|﹣2x去掉绝对值得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的图象，
如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(﹣1,1)上单调递减.
已知函数f(x)，满足对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有 SKIPIF 1 < 0 ＞0，若f(2a)＞f(6﹣a)，则a的取值范围是( )
A.(0,2) B.(﹣∞，2) C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)
【答案解析】答案为：D
解析：依题意，f(x)在R上单调递增，因为f(2a)＞f(6﹣a)，所以只需2a＞6﹣a，解得a＞2.
设a=lg36，b=lg510，c=lg714，则( )
A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c
【答案解析】答案为：D.
解析：因为a=lg36=lg33＋lg32=1＋lg32，b=lg510=lg55＋lg52=1＋lg52，
c=lg714=lg77＋lg72=1＋lg72，因为lg32>lg52>lg72，所以a>b>c，故选D.
函数f(x)=ln(x＋1)－eq \f(1,x)的一个零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
【答案解析】答案为：B；
解析：∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)=ln2－1＜0，f(2)=ln3－eq \f(1,2)＞0，
∴f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B.
化简 SKIPIF 1 < 0 的结果是( )
A.sin 3﹣cs 3 B.cs 3﹣sin 3
C.±(sin 3﹣cs 3) D.以上都不对
【答案解析】答案为：A
解析： SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(1－2sin 3·cs 3)
＝eq \r(sin23－2sin 3·cs 3＋cs23)＝eq \r(sin 3－cs 32)，
由于sin 3＞0＞cs 3，所以原式＝sin 3﹣cs 3.
函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝Asin ωx的图象，只需将函数y＝f(x)的图象( )
A.向左平移eq \f(π,6)个单位长度 B.向左平移eq \f(π,12)个单位长度
C.向右平移eq \f(π,6)个单位长度 D.向右平移eq \f(π,12)个单位长度
【答案解析】答案为：B.
解析：由题图知A＝2，eq \f(T,2)＝eq \f(π,3)﹣(﹣eq \f(π,6))＝eq \f(π,2)，∴T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2cs(2x＋φ)，
将(eq \f(π,3)，2)代入得cs(eq \f(2π,3)＋φ)＝1，∵﹣π＜φ＜0，∴﹣eq \f(π,3)＜eq \f(2π,3)＋φ＜eq \f(2π,3)，∴eq \f(2π,3)＋φ＝0，
∴φ＝﹣eq \f(2π,3)，∴f(x)＝2cs(2x﹣eq \f(2π,3))＝2sin[2(x﹣eq \f(π,12))]，
故将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度可得到g(x)的图象.
设a=eq \f(1,2)cs 6°－eq \f(\r(3),2)sin 6°，b=eq \f(2tan13°,1－tan213°)，c=eq \r(\f(1－cs 50°,2))，则( )
A.c＜b＜a B.a＜b＜c C.a＜c＜b D.b＜c＜a
【答案解析】答案为：C
解析：∵a=sin 30°cs 6°－cs 30°sin 6°=sin 24°，b=tan 26°，c=sin 25°，
∴a＜c＜b.
定义运算： SKIPIF 1 < 0 ＝a1a4﹣a2a3，将函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 (ω＞0)的图象向左平移eq \f(2π,3)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(5,4) C.eq \f(7,4) D.eq \f(3,4)
【答案解析】答案为：B.
解析：依题意得f(x)＝eq \r(3)cs ωx﹣sin ωx＝2cs(ωx＋eq \f(π,6))，且函数f(x＋eq \f(2π,3))＝ 2cs[ω(x＋eq \f(2π,3))＋eq \f(π,6)]＝2cs(ωx＋eq \f(2ωπ,3)＋eq \f(π,6))是偶函数，于是有eq \f(2ωπ,3)＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，即ω＝ eq \f(3,2)(k﹣eq \f(1,6))，k∈Z.又ω＞0，所以ω的最小值是eq \f(3,2)(1﹣eq \f(1,6))＝eq \f(5,4)，选B.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
不等式－2x2＋x＋1>0的解集为________.
【答案解析】答案为：(－eq \f(1,2)，1).
解析：[－2x2＋x＋1>0，即2x2－x－1<0，(2x＋1)(x－1)<0，解得－eq \f(1,2)∴不等式－2x2＋x＋1>0的解集为(－eq \f(1,2)，1).]
函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x＞2)的最小值为________.
【答案解析】答案为：4.
解析：当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(（x－2）×\f(1,x－2))＋2＝4，
当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)(x＞2)，即x＝3时取等号.]
已知cs(π＋α)＝﹣eq \f(3,5)，则sin(eq \f(3π,2)＋α)等于________.
【答案解析】答案为：﹣eq \f(3,5).
解析：cs(π＋α)＝﹣cs α＝﹣eq \f(3,5)，则cs α＝eq \f(3,5)，sin(eq \f(3π,2)＋α)＝﹣sin(eq \f(π,2)＋α)＝﹣cs α＝﹣eq \f(3,5).
若a＞1，设函数f(x)=ax＋x－4的零点为m，函数g(x)=lgax＋x－4的零点为n，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为 .
【答案解析】答案为：1；
解析：设F(x)=ax，G(x)=lgax，h(x)=4－x，
则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m＞0，n＞0).
因为F(x)与G(x)关于直线y=x对称，所以A，B两点关于直线y=x对称.
又因为y=x和h(x)=4－x交点的横坐标为2，所以m＋n=4.
又m＞0，n＞0，所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))·eq \f(m＋n,4)=eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2\r(\f(n,m)×\f(m,n))))=1.
当且仅当eq \f(n,m)=eq \f(m,n)，即m=n=2时等号成立.所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为1.
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
已知R为全集，A＝{x|lg0.5(3﹣x)≥﹣2}，B＝{x|eq \f(5,x＋2)≥1}.
(1)求A∩B；
(2)求(∁RA)∩B与(∁RA)∪B.
【答案解析】解：(1)由lg0.5(3﹣x)≥﹣2，即lg0.5(3﹣x)≥lg0.54，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x＞0，,3－x≤4，))解得﹣1≤x＜3，即A＝{x|﹣1≤x＜3}.
由eq \f(5,x＋2)≥1，得eq \f(x－3,x＋2)≤0，解得﹣2＜x≤3，即B＝{x|﹣2＜x≤3}，
∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜3}.
(2)由(1)得∁RA＝{x|x＜﹣1或x≥3}，
故(∁RA)∩B＝{x|﹣2＜x＜﹣1或x＝3}，(∁RA)∪B＝R.
已知函数f(x)=lg4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【答案解析】解:(1)∵f(x)=lg4(ax2+2x+3)且f(1)=1,
∴lg4(a·12+2×1+3)=1,即a+5=4,解得a=-1,
可得函数f(x)=lg4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0,得-1∴函数f(x)的定义域为(-1,3).
令t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
可得当x∈(-1,1)时,t为关于x的增函数,
当x∈(1,3)时,t为关于x的减函数.
∴函数f(x)=lg4(-x2+2x+3)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(1,3).
(2)设存在实数a,使f(x)的最小值为0.
由底数4>1,可得g(x)=ax2+2x+3≥1恒成立,且g(x)的最小值恰好是1,
即a为正数,且当x=-=-时,g(x)的值为1,
∴即解得a=eq \f(1,2).
因此存在实数a=eq \f(1,2),使f(x)的最小值为0.
已知f(x)=2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围.
【答案解析】解：(1)∵f(x)=2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，
∴0和5是方程2x2＋bx＋c=0的两个根，由根与系数的关系知，－eq \f(b,2)=5，eq \f(c,2)=0，
∴b=－10，c=0，f(x)=2x2－10x.
(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2－10x＋t－2≤0恒成立，
∴2x2－10x＋t－2的最大值小于或等于0.
设g(x)=2x2－10x＋t－2，
则由二次函数的图象可知g(x)=2x2－10x＋t－2在区间[－1,1]上为减函数，
∴g(x)max=g(－1)=10＋t，
∴10＋t≤0，即t≤－10.
∴t的取值范围为(－∞，－10].
已知tan α＝﹣eq \f(4,3)，求：
(1)eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)的值；
(2)eq \f(1,cs2α－sin2α)的值；
(3)sin2α＋2sin αcs α的值.
【答案解析】解：(1)eq \f(sin α－4cs α,5sin α＋2cs α)＝eq \f(tan α－4,5tan α＋2)＝eq \f(8,7).
(2)eq \f(1,cs2α－sin2α)＝eq \f(sin2α＋cs2α,cs2α－sin2α)＝eq \f(\f(sin2α＋cs2α,cs2α),\f(cs2α－sin2α,cs2α))＝eq \f(tan2α＋1,1－tan2α)＝﹣eq \f(25,7).
(3)sin2α＋2sin αcs α＝eq \f(sin2α＋2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α＋2tan α,tan2α＋1)＝﹣eq \f(8,25).
已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有的点向左平移eq \f(π,12)个单位长度后得到y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，π]上的单调递增区间.
【答案解析】解：(1)由题图可知A＝2，T＝π，
∴ω＝eq \f(2π,π)＝2，∴f(x)＝2sin (2x＋φ)，
∵点(eq \f(5π,12),2)在函数f(x)的图象上，
∴sin(eq \f(5π,6)＋φ)＝1，∴eq \f(5π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，∴φ＝﹣eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，
又|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝﹣eq \f(π,3)，∴f(x)＝2sin(2x﹣eq \f(π,3)).
(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x﹣eq \f(π,3))，由题意得g(x)＝2sin(2x﹣eq \f(π,6)).
由2kπ﹣eq \f(π,2)≤2x﹣eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ﹣eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，
∵0≤x≤π，∴0≤x≤eq \f(π,3)或eq \f(5π,6)≤x≤π.
故函数g(x)在[0，π]上的单调递增区间为[0,eq \f(π,3)]和[eq \f(5π,6),π].
已知函数f(x)=sin ωx－sin(ωx+ eq \f(π,3))(ω＞0).
(1)若f(x)在[0，π]上的值域为[- eq \f(\r(3),2),1]，求ω的取值范围；
(2)若f(x)在[0,eq \f(π,3)]上单调，且f(0)＋f(eq \f(π,3))=0，求ω的值.
【答案解析】解：f(x)=sin ωx－sin(ωx+ eq \f(π,3))=sin ωx－eq \f(1,2)sin ωx－eq \f(\r(3),2)cs ωx
=eq \f(1,2)sin ωx－eq \f(\r(3),2)cs ωx=sin(ωx+ eq \f(π,3)).
(1)由x∈[0，π]⇒ωx－eq \f(π,3)∈[－eq \f(π,3),ωπ－eq \f(π,3)]，
又f(x)在[0，π]上的值域为[- eq \f(\r(3),2),1]，即最小值为－eq \f(\r(3),2)，最大值为1，
则由正弦函数的图象可知eq \f(π,2)≤ωπ－eq \f(π,3)≤eq \f(4π,3)，解得eq \f(5,6)≤ω≤eq \f(5,3).
∴ω的取值范围是[eq \f(5,6),eq \f(5,3)].
(2)因为f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调，所以eq \f(T,2)≥eq \f(π,3)－0，则eq \f(π,ω)≥eq \f(π,3)，即ω≤3，
又ω＞0，所以0＜ω≤3，由f(0)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))=0且f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))是f(x)图象的对称中心，
∴eq \f(ωπ,6)－eq \f(π,3)=kπ，k∈Z⇒ω=6k＋2，k∈Z，又0＜ω≤3，所以ω=2.
已知函数f(x)＝sin(eq \f(5π,6)- 2x)－2sin(x- eq \f(π,4))cs(x+ eq \f(3π,4)).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x∈[eq \f(π,12),eq \f(π,3)]，且F(x)＝－4λf(x)－cs(4x- eq \f(π,3))的最小值是－eq \f(3,2)，求实数λ的值.
【答案解析】解：(1)∵f(x)＝sin(eq \f(5π,6)- 2x)－2sin(x- eq \f(π,4))cs(x+ eq \f(3π,4))
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x＋(sinx－csx)(sinx＋csx)＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x＋sin2x－cs2x
＝eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(\r(3),2)sin2x－cs2x＝sin(2x- eq \f(π,6)).∴函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－eq \f(π,6)，kπ＋eq \f(π,3)](k∈Z).
(2)F(x)＝－4λf(x)－cs(4x- eq \f(π,3))＝－4λsin(2x－eq \f(π,6))－[1-2sin2(2x－eq \f(π,6))]
＝2sin2(2x－eq \f(π,6))－4λsin(2x－eq \f(π,6))－1＝2[sin(2x－eq \f(π,6))-λ]2－1－2λ2.
∵x∈[eq \f(π,12),eq \f(π,3)]，∴0≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)，∴0≤sin(2x－eq \f(π,6))≤1.
①当λ<0时，当且仅当sin(2x－eq \f(π,6))＝0时，F(x)取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；
②当0≤λ≤1时，当且仅当sin(2x－eq \f(π,6))＝λ时，F(x)取得最小值，最小值为－1－2λ2，
由已知得－1－2λ2＝－eq \f(3,2)，解得λ＝－eq \f(1,2)(舍)或λ＝eq \f(1,2)；
③当λ>1时，当且仅当sin(2x－eq \f(π,6))＝1时，F(x)取得最小值，最小值为1－4λ，
由已知得1－4λ＝－eq \f(3,2)，解得λ＝eq \f(5,8)，这与λ>1矛盾.
综上所述，λ＝eq \f(1,2).