广东省佛山市南海区西樵镇西樵中学2019—2022学年九年级上学期第一次月考数学试题答案 (1)

这是一份广东省佛山市南海区西樵镇西樵中学2019—2022学年九年级上学期第一次月考数学试题答案 (1)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一元二次方程的根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先移项，然后根据直接开平方解一元二次方程即可求解．
【详解】解：
即
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
2. 如图，以正方形的对角线为一条边作菱形，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据四边形是正方形，是对角线，得，根据菱形的性质，则，即可解答．
【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵四边形是菱形，是对角线，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形和菱形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，菱形的性质及运用数形结合思想．
3. 两道单选题都含有、、、四个选择项，小强同学猜了这两道题，恰好全部猜对的概率有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画树状图可知共16种猜想，猜这两道题恰好全部猜对只是其中一个，从而求出概率，即可做出判断．
【详解】画树状图如下：
共有16种猜想，猜这两道题恰好全部猜对只是其中一个，
∴猜这两道题恰好全部猜对的概率有，
故选A．
【点睛】本题考查利用树状图或列表法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
4. 如图，有三个矩形，其中是相似矩形的是（ ）

A. 甲与乙B. 甲与丙C. 乙与丙D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等即可．
【详解】解：矩形甲长与宽比为，
矩形乙长与宽比为，
矩形丙长与宽比为，
∴所以甲和丙的长与宽的比相等，故这两个矩形相似，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，解题关键是运用了对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形这一知识点．
5. 某口袋里现有个红球和若干个绿球（两种球除颜色外，其余完全相同），某同学随机的从该口袋里摸出一球，记下颜色后放回，共试验次，其中有个红球，估计绿球个数为（ ）
A. 6B. 12C. 13D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解即可.
【详解】解：设袋中有绿球个，
由题意得，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了拿出又放回的概率的定义，利用用大量试验得到的频率可以估计事件的概率是得到红球和球的总数的比值是解决本题的关键.
6. 一元二次方程 根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式的正负即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的值的关系．
7. 对二次三项式x2－10x＋36，小聪同学认为：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为( )
A. 小聪对，小颖错B. 小聪错，小颖对C. 他们两人都对D. 他们两人都错
【答案】D
【解析】
【分析】通过配方写成完全平方的形式，用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．再说明他的说法错误．
【详解】当x2-10x+36=11时；
x2-10x+25=0；
（x-5）2=0，
x1=x2=5，
所以他们两人的说法都是错误的，
故选D.
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键.
配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图1，测得，当时，如图2，（ ）

A. B. 2C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可求得．
【详解】解：如图1，
∵，，
∴四边形是正方形，
连接，则，
∴，
如图2，，连接，

∴为等边三角形，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键．
9. 如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，且，
∴四边形为平行四边形；
A.∵，，
∴，
∴四边形为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵，
∴，
∴四边形为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵，
∴，
∴四边形为矩形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键．
10. 如图，在一次函数的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有（）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】解：①当0＜x＜6时，设点P（x，﹣x+6），
∴矩形PBOA的面积为5，
∴x（﹣x+6）=5，化简，
解得，，
∴P1（1，5），P2（5，1），
②当x＜0时，设点P（x，﹣x+6），
∴矩形PBOA的面积为5，
∴﹣x（﹣x+6）=5，
化简，
解得，（舍去），
∴P3（，），
∴在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有3个．
故选：C．
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．
11. 如图，在正方形中，点E是中点，点F是中点，与相交于点P，设，得到以下结论：①②③，则上述结论正确的是（ ）

A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质得，，根据点E是中点，点F是中点得，，即，利用证明，得，根据得，可得，故①正确；延长交延长线于点M，利用证明，得，即可得，根据得为斜边上的中线，是斜边的一半，即，故②正确；根据得，根据勾股定理得，计算得，故③正确，综上，即可得．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵点E是中点，点F是中点，
∴，，
∴，
和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴①正确；
如图所示，延长交延长线于点M，

在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为斜边上的中线，是斜边的一半，
即，
∴②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴③正确，
综上，①②③正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．
二、填空题（每小题4分，共24分）
12. 若1、2、3、x是成比例线段．则x的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】利用比例线段的定义得到，然后根据比例的性质求x即可．
【详解】解：∵1、2、3、x是成比例线段
∴
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了比例线段，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
13. 方程 的两个根分别为，，的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：原方程可化为，
∵该方程的两个根分别为，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系即韦达定理是解题的关键．
14. 一只不透明的布袋中有三种小球(除颜色以外没有任何区别)，分别是2个红球，3个白球和5个黑球，每次只摸出一只小球，观察后均放回搅匀．在连续9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率是____.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．
【详解】因为每次只摸出一只小球时，布袋中共有小球10个，其中红球2个，
所以第10次摸出红球的概率是．
故答案为.
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
15 一个群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发了一条消息，这样共有条消息，求这个群里有多少个好友，设这个群有个好友，则可列方程_________．
【答案】
【解析】
【分析】每个好友都有一次发给群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有个好友，每人发条消息，则发消息共有条．
【详解】解：设有个好友，依题意，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
16. 关于的二次三项式ax2+bx+c，满足下表中的对应关系：
则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个整数根分别是________
【答案】-3、2
【解析】
【分析】根据表中数据，把，，时，代入二次三项式ax2+bx+c；可得方程组，求出a、b、c，再解方程即可．
【详解】解：当时，；时，；当时，；
∴，
解得：
，
一元二次方程ax2+bx+c=0时，即，解得，
一元二次方程的两个整数根分别，2．
故答案为，2．
【点睛】本题考查了待定系数法和一元二次方程的解法．解题关键是利用待定系数法求系数a、b、c，
三、解答题（每题6分，共18分）
17. 用适当的方法解下列方程：
【答案】，
【解析】
【分析】先化简，然后用因式分解法即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程的有关知识，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
18. 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（）请直接写出袋子中白球的个数．
（）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
【答案】（1）袋子中白球有2个；（2）．
【解析】
【分析】（1）设袋子中白球有x个，根据概率公式列方程解方程即可求得答案；
（2）根据题意画出树状图，求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）设袋子中白球有x个，
根据题意得：，
解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．
19. 如图，点D是Rt△ABC斜边AB的中点，过点B、C分别作BE∥CD，CE∥BD．
（1）若∠A=60°，AC=，求CD的长；
（2）求证：BC⊥DE．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB；
（2）求出四边形BECD是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直证明即可．
【详解】（1）解：∵△ABC是直角三角形，∠A=60°，AC=，
∴∠ABC=90°﹣60°=30°，
∴AB=2AC=2，
∵点D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴CD=AB=×2=；
（2）证明：∵BE∥CD，CE∥BD，
∴四边形BECD平行四边形，
∵点D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴CD=BD=AB，
∴四边形BECD是菱形，
∴BC⊥DE．
【点睛】考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，菱形的判定与性质，熟记各性质以及菱形的判定方法是解题的关键．
四、解答题（每题7分，共21分）
20. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
【解析】
【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．
【详解】解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
由题意，得10(1＋x)2＝12.1，
，
(不合题意，舍去)．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）∵0.6×21＝12.6(万件)，12.1×(1＋0.1)＝13.31(万件)，
12.6万件＜13.31万件，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．
设需要增加y名业务员，
根据题意，得0.6(y＋21)≥13.31，
解得y≥≈1.183，
∵y为整数，
∴y≥2．
答：至少需要增加2名业务员．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程及不等式，然后求解．
21. 已知，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点E，F．垂足为O．

（1）如图1，连接，，求的长
（2）如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发．沿和各边匀速运动一周，即点P自停止，点Q自停止，在运动过程中，已知点P的速度为，点Q的速度为，运动时间为．当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形性质得出，根据垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得：，求出方程的解即可；
（2）分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵的垂直平分线是，
∴，
设，
则，
∴在中，
由勾股定理得：，
解得，
即；
【小问2详解】
解：显然当P点在上时，Q点在上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在上时，Q点在或上或P在，Q在时不构成平行四边形，
∴只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，，
∵点P的速度为，点Q的速度为，
∴，，
∴，
解得：．
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，．
【点睛】本题主要考查的是四边形综合题型，主要考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，作出相应的辅助线，数形结合，并注意分类讨论．
22. 某超市服装专柜在销售中发现：某男装上衣的进价为每件30元，当售价为每件50元时，每周可卖出200件，现需降价处理，经过市场调查，发现每降价1元，每周可多卖出20件．
（1）为占有更大的市场份额，当降价为多少元时，每周盈利为4420元？
（2）当降价为多少元时，每周盈利额最大？最大盈利多少元？
【答案】（1）当降价为7元时，每周盈利为4420元；
（2）当降价为5元时，每周盈利额最大，最大盈利4500元．
【解析】
【分析】（1）设降价为x元，根据“总利润=每件利润×销售量”列出关于x的方程，解之得出x的值，再根据要占有更大的市场份额，即销量尽可能的大取舍即可得；
（2）设每周盈利为y，根据以上所列相等关系列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【详解】（1）设降价为x元，
根据题意，可得：（50﹣x﹣30）（200+20x）=4420，
整理，得：x2﹣10x+21=0，
解得：x1=3，x2=7，
因为要占有更大的市场份额，即销量尽可能的大，
所以x=7，
答：当降价7元时，每周盈利为4420元；
（2）设每周盈利为y，
则y=（50﹣x﹣30）（200+20x）
=﹣20x2+200x+4000
=﹣20（x﹣5）2+4500，
所以当x=5时，y取得最大值，最大值为4500，
答：当降价5元时，每周盈利额最大，最大盈利4500元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．
五、解答题（每题9分，共27分）
23. 如图，在中，平分，过点D作的平行线交的延长线于点C，连接．

（1）求证：四边形是菱形．
（2）如果，（）的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求的长．
（3）若动点M从A出发，沿AC以的速度匀速直线运动到点C，动点N从B出发，沿以的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，的面积为．
【答案】（1）见解析 （2）5
（3）秒，秒，秒
【解析】
【分析】（1）根据题意，先证明四边形是平行四边形，再用邻边相等证明菱形即可；
（2）解方程可得，的长，用勾股定理即可求的长；
（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分三种情况分别讨论即可解答．
【小问1详解】
证明：∵平分，，
∴，
∴是等腰三角形，则，
又∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：解方程，
得，，
又∵，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后，的面积为，
当点M在上时，即时，
,
解得：，（大于2，舍去）；
当点M在上且点N在上时，即时，
，
解得：；
当点M在上且点N在上时，即时，
，
解得：，（小于3，舍去）；
综上所述，M，N出发秒，秒，秒钟后，△MON的面积为．
【点睛】本题考查了菱形的判定定理，一元二次方程的应用，三角形的面积计算方法，属于综合类题，解题的关键是运用分类讨论的数学思想及熟练掌握以上知识点．
24. 四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接．
（1）如图1，求证：矩形是正方形；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）作于P，于Q，证明，可得，即可证明；
（2）根据，，可得F，C重合，根据正方形的性质即可求解；
（3）①当与的夹角为时，点F在边上，，在四边形中，由四边形内角和定理得：，②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，可得．
【小问1详解】
证明：作于P，于Q，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
【小问2详解】
解：如图2中，
在中，，
∵，
∴，
∴ ，
又∵
∴点F与C重合，
∴；
【小问3详解】
解：①当与的夹角为时，点F在边上，，如图3所示：
则，
在四边形中，由四边形内角和定理得：
，
②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图4所示：
∵，，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，四边形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
25. 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图1，等腰直角四边形，，，

①若，，求对角线的长．
②若，求证：，
（2）如图2，矩形的长宽为方程的两根，其中．点E从A点出发，以1个单位每秒的速度向终点D运动，同时点F从C点出发，以2个单位每秒的速度向终点B运动，当点E，F运动过程中使四边形是等腰直角四边形时，求的长．

【答案】（1）①；②见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）①先证明四边形为正方形，得出，，再根据勾股定理求出即可；
②连接、，根据，，得出，证明垂直平分，根据垂直平分线的性质得出；
（2）先解方程得出，，求出，，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出的长即可．
【小问1详解】
解：①∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴；
②连接、，如图所示：

∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴；
【小问2详解】
解：，
，
∴或，
解得：，，
∵，
∴，，
根据题意可知，当或时，四边形是等腰直角四边形；
当时，连接，过点F作于点G，如图所示：

∴运动时间为：（秒），
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴；
当时，连接，过点F作于点H，如图所示：

则，
此时运动时间为：，
∴，
∵，
∴四边形矩形，
∴，，
∴，
∴；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，画出相应的图形，并注意进行分类讨论．
…
-4
-2
-1
0
1
3
…
ax2+bx+c
…
6
-4
-6
-6
-4
6
…