河北省保定市清苑区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案

这是一份河北省保定市清苑区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题答案，共27页。试卷主要包含了选择题，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（在下列各题的4个选项中，只有一项最符合题意，请把所选选项前的字母在答题卡上涂黑（共42分，1—10小题每小题3分；11—16小题，每小题2分）
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值直接求解即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2. 下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案．
【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项B中的图形符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行投影的意义，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提．
3. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）

A. 图形的平移B. 图形的旋转C. 图形的轴对称D. 图形的相似
【答案】D
【解析】
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度

故选：D.
【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
4. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【详解】解：设方程的另一根为，则，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系．解题的关键是掌握若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
5. 如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发，沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第12秒时，点E在量角器上对应的读数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据旋转求出，根据圆周角定理求出，即可．
【详解】解：如图，连接，

∵射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，
∴第12秒时，，
∵，
∴点C在以为直径的圆上，即点C在上，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，旋转的性质，解题的关键是根据，得出点C在以为直径的圆上，熟记圆周角定理．
6. “六•一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法不正确的是（ ）
A. 当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70
B. 假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70
C. 如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次
D. 转动转盘10次，一定有3次获得文具盒
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】从表格中可以看出：当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A正确；
用频率来估计概率，可以得出：假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B正确；
用频率来估计概率，可以得出：假如你去转动转盘一次，获得文具盒的概率大约是0.30，故如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次，故C正确；
只是用频率来估算概率，并不是绝对的数据，所以转动转盘10次，不一定有3次获得文具盒，故D错误．
故选D．
7. 下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A. ②③B. ①②C. ③④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据位似图形的性质和定义（识别位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心）逐个判断即可得．
【详解】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，则原命题错误；
②位似图形一定有位似中心，则原命题正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形，则原命题正确；
④位似图形上任意一对对应点与位似中心的距离之比等于位似比，则原命题错误；
综上，正确命题的序号是②③，
故选：A．
【点睛】本题考查了位似图形性质和概念，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
8. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（ ）
A. 1.25尺B. 56.5尺C. 6.25尺D. 57.5尺
【答案】D
【解析】
【分析】易得△ABF∽△ADE，列出比例式即可求解．
【详解】依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB：AD=BF：DE，
即5：AD=0.4：5，
解得AD=62.5，
BD=AD−AB=62.5−5=57.5（尺）．
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应边成比例，列出比例式是解题的关键．
9. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件，设每件商品降价元后，每星期售出商品的总销售额为元，则与的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，由等量关系：总销售额=销量×售价，列出函数解析式即可．
【详解】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，
根据题意得，，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握等量关系：总销售额=销量×售价，是解决本题的关键．
10. 若点在反比例函数的图象上，则关于的二次方程的根的情况是（ ）．
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】将点P的坐标代入反比例函数的表达式中求出k的值，进而得出一元二次方程，根据根的判别式进行判断即可．
【详解】∵点在反比例函数的图象上，
∴，即，
∴关于的二次方程为，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题考查利用待定系数法求解反比例函数的表达式，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
11. 如图，面积为2的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数图象恰好经过点A，则k的值为（ ）

A. ﹣2B. 2C. D. ﹣
【答案】D
【解析】
【分析】作AD⊥OB于D，根据30°角的直角三角形的性质得出OA＝OB，然后通过证得△AOD∽△BOA，求得△AOD的面积，然后根据反比例函数的几何意义即可求得k的值．
【详解】解：作AD⊥OB于D，

∵Rt△OAB中，∠ABO＝30°，
∴OA＝OB，
∵∠ADO＝∠OAB＝90°，∠AOD＝∠BOA，
∴△AOD∽△BOA，
∴，
∴S△AOD＝S△BOA＝×2＝，
∵S△AOD＝|k|，
∴|k|＝，
∵反比例函数y＝图象在二、四象限，
∴k＝﹣，
故选D．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△AOD的面积是是解答此题的关键．
12. 如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的长度，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，所以sin∠CDO=sin∠OBC，即∠CDO的正弦值可求．
【详解】解：如下图所示，连接BC，
∵⊙A过原点O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3，
∴根据勾股定理可得：，
又∵同弧所对圆周角相等，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，
∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、同弧所对圆周角相等以及求角的正弦值，解题的关键在于找出∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，求出∠OBC的正弦值即可得到答案．
13. 下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】由得DH=FH=CE，故在Rt△EFC中使用=即可列出方程.
【详解】∵，∴DH=FH，
则FH=CE，
设为，CE=x-10,
在Rt△EFC,==
即，选A.
【点睛】此题主要考查三角函数的应用.
14. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均为上的点（点P不与点A，B重合），若m＜n＜m，则点P的位置为（ ）
A. 在上B. 在上C. 在上D. 在上
【答案】B
【解析】
【分析】先由勾股定理确定出各点坐标，再利用m＜n＜m判断即可.
【详解】点C、D、E、P都在上，
由勾股定理得：，，，
解得，，，
故，D（，），E（，1），
P（m，n），m＜n＜m，且m在上，点C的横坐标满足，点D纵坐标满足，
从点D到点C的弧上的点满足：，
故点P上.
故选：B
【点睛】此题考查勾股定理和圆的基本性质，掌握相应的定理和性质是解答此题的关键.
15. 使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A. 18°B. 36°C. 41°D. 58°
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意将函数图像补全完整，根据图像即可求得．
【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，
∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°，
∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性，判断出对称轴位置是解题关键．
16. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
有以下几个结论：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线；
③关于x的方程的根为和；
④当y＜0时，x的取值范围是＜x＜．
其中正确的是（ ）
A. ①④B. ②④C. ②③D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格信息，可得抛物线经过两点，结合抛物线的对称性，解得抛物线的对称轴，再由表格信息知抛物线与x轴的其中一个交点为，结合对称性解得抛物线与x轴的另一个交点，即可判断抛物线的开口方向及关于x的方程的两个根，结合图象可得当y＜0时，x的取值范围．
【详解】由表格信息得，抛物线经过，结合抛物线的对称性可得
抛物线对称轴为，
故②正确；
因为抛物线经过点，即抛物线与x轴的一个交点为，根据抛物线的对称性可得，
抛物线与x轴的另一个交点为，
抛物线开口向下，
故①错误；
故关于x的方程的根为和，
故③正确；
当y＜0时，抛物线在x轴的下方的图象有两部分，即或，
故④错误，
因此正确的有：②③，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（本大题有3个小题，共10分；17－18每小题3分，19小题每空2分）
17. 小敏在今年的校运动会跳高比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是______s．
【答案】
【解析】
【分析】将找重心最高点化为求这个二次函数的顶点，应该把一般式化成顶点式后，直接解答即可．
【详解】解：∵，
∴当，有最大值，即此时起跳后重心达到最高位置，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的顶点式求法．
18. 如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背AO与地面垂直．为了使座椅更舒适，现调整靠背，把OA绕点O旋转到处．若，，则调整后点比调整前点A的高度降低了______（用含m，的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】作于，通过解余弦函数求得，然后根据求得即可．
【详解】如图，作于，
由已知条件可知，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键．
19. 如图，四边形是菱形，点是边上的一动点，过点作于点，于点，

(1)四边形的形状是__________．
(2)若，，连接，则的最小值为__________．
【答案】 ①. 矩形 ②.
【解析】
【分析】（1）由条件可知判断四边形是矩形；
（2）连接，则，当时，的值最小，可由求出的值即可．
【详解】解：（1）四边形是菱形，
，，
于点，于点，
四边形是矩形，
故答案为：矩形．
（2）连接，则，
当时，的值最小，

，，
∴
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形面积；熟练掌握菱形的性质，证明四边形为矩形是解决问题的关键．
三、解答题（本大题有6个小题，共68分）
20. （1）计算：
（2）计算：
（3）解方程：
（4）解方程：
【答案】（1）；（2）；（3），；（4），
【解析】
【分析】（1）先将绝对值和三角函数值化简，再进行计算即可；
（2）先将三角函数值化简，再进行计算即可；
（3）用因式分解法求解即可；
（4）用公式法求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原方程可变形：
，
，
或，
，．
（4）这里，，．
，
，
，．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值的混合运算，解题一元二次方程，解题的关键是熟记各个特殊角度的三角函数值，掌握解一元二次方程的方法和步骤．
21. 如图，已知线段，用尺规作图法按如下步骤作图．

（1）过点B作的垂线，并在垂线上取．
（2）连接，以点C为圆心，为半径画弧，交于点E．
（3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点D．则点D是线段的黄金分割点，请说明其中的道理．
【答案】见解析
【解析】
【分析】设长为x，则长为，利用勾股定理可得，进而可得，即可得，问题得解．
【详解】解：设长为x，则长为，
，
．
，
，
，
，
即点D是线段的黄金分割点．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的相关知识，根据题意，求出，，掌握黄金分割点的定义，是解答本题的关键．
22. 在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.3，cs18°≈0.9，tan18°≈0.3，≈1.4，≈1.7）
【答案】（1）约为53cm；（2）约为34cm
【解析】
【分析】（1）由已知得，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC．
【详解】（1）由已知得，
在Rt△APE中，
∵，
∴，
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53cm；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，
AF＝AB•cs∠BAF＝32×cs18°≈32×0.9≈28.8，
BF＝AB•sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6，
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴，
∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
23. 某初中初三年级开展数学课题学习，设置了“视力的变化”， “哪种方式更合算”，“设计遮阳棚”三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习，根据初三（一）班学生的选择情况，绘制了如下表格：
请综合上述信息回答下列问题：
（1） ， ．
（2）若该校有400名初三学生，请估计选择“设计遮阳棚”课题学习的学生人数．
（3）某班有3男1女四名学生选择了“视力的变化”课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，这两人正好是1男1女的概率是多少？请你用列表或画树状图的方法说明理由．
【答案】（1）0.1；16
（2）200人 （3），见解析
【解析】
【分析】（1）用1减去选择“哪种方式更合算”、“设计遮阳棚”课题的频率即可求出a，先根据选择“设计遮阳棚”课题的频数除以其频率求出总数，再乘以选择“哪种方式更合算”课题的频率即可求出b；
（2）利用该校学生总数乘以选择“设计遮阳棚”课题的频率即可求解；
（3）采用列表列举即可求解．
【小问1详解】
，，
故答案为：，；
【小问2详解】
（人），
答：选择“设计遮阳棚”课题学习的学生人数约为200人；
【小问3详解】
列表如下：

共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果共有6种，
所以P（一男一女）．
【点睛】本题考查了频数统计表，利用样本估计总体以及采用列举法求解概率的知识，注重数形结合，并掌握采用列表法或者树状图法列举求解概率的知识，是解答本题的关键．
24. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=，求CD的长．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，由“三线合一”定理得到BE=CE=BC=，由相似三角形的判定及性质即可得出结果．
【详解】（1）∵ED=EC
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B
∴∠B=∠C
∴AB=AC；
（2）连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=BC=，
∠C=∠C，∠EDC=∠B
△CDE∽△CBA，
∵AC=AB=4，
∴
∴CD=．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25. 如图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了y与x的函数图象（如图）：
（1）分别写出当0≤x≤4与x＞4时，y与x的函数关系式：
（2）求出所输出的y的值中最小一个数值；
（3）写出当x满足什么范围时，输出的y的值满足3≤y≤6．
【答案】（1）当时，y=x+3； 当时 y=(x-6)2+2
（2）最小值2 （3） 0≤x≤5或7≤x≤8
【解析】
【分析】（1）当0≤x≤4时，函数关系式为y=x+3；当x＞4时，函数关系式为y=（x﹣6）2+2；
（2）根据一次函数与二次函数的性质，分别求出自变量在其取值范围内的最小值，然后比较即可；
（3）由题意，可得不等式和，解答出x的值即可．
【详解】解：（1）由图可知，
当0≤x≤4时，y=x+3；
当x＞4时，y=（x﹣6）2+2；
（2）当0≤x≤4时，y=x+3，此时y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y=x+3有最小值，为y=3；
当x＞4时，y=（x﹣6）2+2，y在顶点处取最小值，
即当x=6时，y=（x﹣6）2+2的最小值为y=2；
∴所输出的y的值中最小一个数值为2；
（3）由题意得，当0≤x≤4时，
解得，0≤x≤4；
当x＞4时，
，
解得，4≤x≤5或7≤x≤8；
综上，x的取值范围是：0≤x≤5或7≤x≤8．
26. 如图（1），在矩形中，cm，，E、F分别是中点，连接，点P从点E出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为（），解答下列问题：
（1）当时，______．（用含有t的式子表示）
（2）当点Q在线段上运动时，若的面积为，求t的值；
（3）当t为______时，为等腰三角形?（直接写出结果）．
【答案】（1）
（2）
（3）或3或或
【解析】
【分析】（1）先由题目条件求出 ，再利用勾股定理求出，当时，接着判断出点Q的位置，即可求解．
（2）先判断出，进而得出，再利用面积公式建立方程求解即可．
（3）分点Q在 和 上，利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
【小问1详解】
在矩形中，
在直角三角形中

E、F分别是中点，



从D到F的时间为
当时，Q在线段上，
．
故答案为：．
【小问2详解】
过点Q作交延长线于点M，
可知：，
∴，
∴，
∴，可得，
∴，
解得：（舍去）或，
∴当时，的面积为；
故答案为：．
【小问3详解】
当点Q在 上时，如图

当点Q在 上时，如图

当时，如图


当时，如图

所以或3或或时，为等腰三角形．
故答案为：或3或或．
【点睛】此题是相似形综合题，解题关键是掌握动点运动过程中图形形状，图形面积的表示方法，所考查知识较多，有一定难度．转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
108
140
355
560
690
落在“铅笔”区域的频率
0.68
0.72
0.70
0.71
0.70
0.69
题目
测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据
，，
…
0
…
…

1
0
…
课题
选择次数
频率
A“视力的变化”
4
a
B“那种方式更合算”
b
0.4
C“设计遮阳棚”
20
0.5