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人教A版 (2019)5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）教案
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这是一份人教A版 (2019)5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）教案，共11页。
课题
5.6函数y=Asin(ωx+φ)
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册A版
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年6月
教学目标
教学目标：
1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界密切联系；
2.掌握匀速圆周运动的数学模型，会用其解决相关的实际建模问题，进一步巩固三角函数的图形与性质。
3.掌握三个参数对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响并能灵活运用，感受数学的应用价值；
4.依托现实情境，展示学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。
教学重点：
用函数y=Asin(ωx+φ)模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程；
三个参数对函数图象的影响以及函数y=Asin(ωx+φ)图像的变换过程。
教学难点：
数学建模的过程与方法；
函数y=Asin(ωx+φ)图像的变换与其解析式变换之间的内在关系。
教学过程
教学环节
主要师生活动
复习回顾旧知
创设问题情境
提出研究问题
引导语：我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画．
对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？
数学来源与生活应用于，下面看一个实际问题：
筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农村至今还在使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》用图画描绘了筒车的工作原理．
师问：假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？
师生讨论：因筒车上盛水筒的运动周而复始，具有周期性，可以考虑用三角函数模型刻画它的运动规律．
设计意图：首先提出研究一般匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题，引导从特殊到一般进行提问，渗透了数学源于生活的本质．通过筒车模型引入，体现数学的实际价值，使学生感受发现问题、提出问题的过程，并尝试分析问题和解决问题．
抽象简化问题
建立函数模型
追问：如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点，经过时间t s后，盛水筒距离水面的高度H与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？
师生分析：如图，盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置以及所经过的时间t．
怎样建系比较好？转轮中心为原点。
以O为原点，以与水面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设时，盛水筒M位于P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，
经过时间t 后运动到点．
于是，以Ox为始边，OP为终边的角为，并且有
． = 1 \* GB3 ①
所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是
． = 2 \* GB3 ②
通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中）的函数，实际生活中的很多现象，例如：摩天轮，物理中的单摆等都可以用三角函数刻画，现代依然有研究的价值．
设计意图：结合筒车问题，建立三角函数的数学模型，表示其上质点的匀速圆周运动，引出本单元的核心内容；明确参数的实际意义，突出学习函数y=Asin(ωx+φ)的必要性；让学生经历数学建模全过程，引导学生学会用数学的眼光看现实世界，用数学的语言描述世界．
明确函数y=Asin(ωx+φ)
的研究思路
引导语：通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中）的函数，只要清楚函数y=Asin(ωx+φ)的性质，就可以把握盛水筒的运动规律．这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质．
从解析式看，函数y=sinx就是函数y=Asin(ωx+φ)在时的特殊情形．能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响呢？函数y=Asin(ωx+φ)中含有三个不同的参数，你认为应该按怎样的思路进行研究？
师生分析：对于三个不同的参数，相对固定其中两个，仅一个变动； 先分别探讨φ、ω、A对函数图象的影响，再综合．
设计意图:引导学生思考研究问题的一般思路和方法，有助于主动地学习，学会学习．
小组合作
探索三个参数对函数y=sin(x+φ)图象的影响
探究1
不妨先从研究参数φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响开始，即探究函数y=sin x与y=sin(x+φ)图象之间的关系．为了更加直观地观察参数φ对函数图象的影响，借助信息技术进行实验探究．
如图，取，动点在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动．
（1）如果动点以为起点（此时），经过x s后运动到点P，设点P的纵坐标y，以（x，y）为坐标描点F，作出点F的轨迹.．
追问：P的纵坐标y等于什么？点F的轨迹对应的函数解析式是什么？
师生分析：y=sin x，点F的轨迹对应的函数解析式是正弦函数y=sin x.
（2）在单位圆上拖动起点，使点绕圆心旋转到，即：起点位于，，你发现图象有什么变化？
此时，点P的纵坐标是什么？点F的轨迹对应的函数解析式是什么？
师生分析：此时以Ox为始边，OP为终边的角为，因此P的纵坐标，点F的轨迹对应的函数解析式是函数．
（3）时的函数与时的函数y=sin x的图象之间具有怎样的关系？你能结合点P的运动规律解释图象间的关系吗？
在单位圆上的，设两个动点分别以，为起点同时开始运动．
到点P的时间
图象上点
函数
到P
x
y=sinx
到P
这说明，把正弦曲线y=sinx上的所有点向左平移个单位，就得到的图象．
（4）如果φ的值取，说一说你的发现，并给出合理的解释．
（5）旋转一个任意角φ呢？通过实验结果，你能归纳出φ对函y=Asin(ωx+φ)的图象的影响的一般化结论吗？
一般地，当动点M的起点位置所对应的角是φ时，对应的函数是y=sin(x+φ) ，把正弦曲线上的所有点向左或向右平移个单位长度，就得到函数y=sin(x+φ)的图象．
跟踪训练1：
1. 为了得到函数y=sin(x−π3)的图象，只需要将正弦曲线上的所有点（ ）．
（A）向右平行移动π3个单位长度
（B）向左平行移动π3个单位长度
（C）向右平行移动2π3个单位长度
（D）向左平行移动2π3个单位长度
设计意图:借助信息技术，探究参数出φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响.老师通过追问引导学生在观察发现的基础上进行理性的思考，从形和数两个方面解释φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响，提升直观想象和逻辑推理能力．
探究2
探索参数对函数图象的影响．
类比参数对函数图象影响的研究过程，你计划怎样研究参数对函数图象的影响？
师生分析：明确研究思路，仍然可以用从特殊到一般的研究方法探索参数对函数图象的影响．
追问：结合筒车模型，分析的实际意义．
师生分析：结合筒车模型，代表角速度，取不同值表示质点以不同的角速度做匀速圆周运动．前面我们研究了时的函数的图象，所以不妨设，固定的值，改变参数，研究函数与图象之间的变换关系．
设计意图：引导学生类比参数对函数图象影响的研究过程，明确参数对函数图象影响的研究思路．结合筒车模型，引导学生理解的实际意义，为后面的探索做好准备．
下面我们继续借助信息技术进行实验探究．
师：结合信息技术动态演示时，动点的轨迹以及动点对应的函数解析式．
我们知道，动点在单位圆上以单位角速度（即）按逆时针方向运动，如果动点以为起点（此时），经过后运动到点，那么点的纵坐标就等于，所以以为坐标描点，点的轨迹对应的函数解析式是．
若取，动点以为起点，在单位圆上以角速度按逆时针方向运动，经过后运动到点，那么点的纵坐标是什么？
追问：此时，以为坐标描点，点的轨迹对应的函数解析式是什么？
师：结合信息技术动态演示时，动点的轨迹．
追问：函数与的图象之间存在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？
师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在单位圆上，两个动点都以为起点，以和的不同角速度绕单位圆逆时针方向运动，到达同一位置时，时的运动时间始终是时运动时间的．对应地，设是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的相应点．
如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从函数的图象得到函数的图象？
总结：函数的图象是把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的．并且的周期为，是的周期的．
问题：如果取，，时，对应的函数的图象与的图象之间存在怎样的变换关系？
我们借助信息技术一起直观感受一下．
追问：结合上面的研究过程，你能给出的变化对函数图象影响的一般化结论吗？
总结：一般地，函数的周期是，把图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图象．
设计意图：通过本环节，让学生理解具体的匀速圆周运动规律与三角函数解析式及其图象之间的本质联系，突出参数的实际意义．在研究过程中，引导学生体会从特殊到一般，具体到抽象的过程，同时借助信息技术，动态演示，帮助学生更加直观地观察参数对函数图象的影响，并用数学的语言准确地描述数学对象，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的学科素养．
探究3：
探索参数对图象的影响．
师：类比参数，对函数图象影响的研究过程，我们可以用相同的方法来研究参数对函数的图象的影响．请同学们思考：
问题：
（1）结合筒车模型，取不同值表示什么含义？
（2）若给赋特殊值，你认为给，取哪个特殊值比较合适？
师：引导学生理解的实际意义，明确接下来的研究对象：函数与的图象之间的变换关系．
师生分析：结合筒车模型，代表质点做匀速圆周运动的运动半径，取不同值表示质点以不同的运动半径做匀速圆周运动．同样地，为了研究方便，不妨设，，固定，的值，改变参数，研究函数与的图象之间的变换关系．
设计意图：引导学生类比参数，对函数图象影响的研究过程，明确参数对函数图象影响的研究思路．结合筒车模型，引导学生理解的实际意义，为后面的探索做好准备．
问题：若取，设射线与以为圆心、为半径的圆交于点，如果单位圆上以为起点的动点，以的转速经过后到达圆周上的点，那么点的纵坐标是，相应地，动点在以为圆心、为半径的圆上，以为起点，的转速经过后到达圆周上的点，那么点的纵坐标是什么？
追问：此时，以为坐标描点，点的轨迹对应的函数解析式是什么？
问题：函数与的图象之间存在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？
师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在以为圆心，半径分别为1和2的圆上，两个动点分别以和为起点，的转速经过后分别到达圆周上的点和点，易得点的纵坐标是点的纵坐标的2倍．对应地，设是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的相应点．
师：如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从函数的图象得到函数的图象？
总结：函数的图象是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）得到的．
追问：如果取，，时，对应的函数的图象与的图象之间存在怎样的变换关系？你能给出的变化对函数图象影响的一般化结论吗？
师：借助信息技术动态演示，引导学生总结一般性的论．
师生总结：以为例，把函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），就得到的图象．
一般地，函数的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）为原来的倍（横坐标不变）而得到．从而，函数的值域是，最大值是，最小值是．
设计意图：通过探究参数的变化对函数的图象的影响，学生进一步体会由特殊到一般的思想方法，借助信息技术直观地观察图象的变换关系，最后得出一般性的结论，在研究过程中，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的学科素养．
4．总结从正弦曲线出发，通过图象变换得到的图象．
师：我们分别研究了三个参数对函数图象的影响．并按照路线，你能总结一下这个变换过程吗？
步骤1：把正弦曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到的图象；
步骤2：把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象；
步骤3：把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图象．
追问：更一般地，你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到图象的过程与方法吗？
生：填写教科书第236页中的图表．
师生总结：
步骤1：把正弦曲线上的所有点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度，得到的图象．
步骤2：把函数图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象．
步骤3：把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）为原来的倍（横坐标不变），得到的图象．
师：以上变换过程，是按照前面的研究顺序：，总结了由从正弦曲线出发，通过图象变换得到图象的变化过程．事实上，一开始研究时，同学们也会提到不同的研究顺序，例如：先从入手进行研究，当然也可以有其他顺序，留给同学们课后研究、讨论．
设计意图：引导学生从局部的讨论过渡到整体的思考，从特殊的例子中归纳概括一般性的结论，得到从正弦函数的图象出发，通过图象变换得到图象的过程与方法.
学以致用
当堂检测
练习：已知函数的图象为．
（1）为了得到函数的图象，只要把上所有的点
横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变
纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
（2）为了得到函数的图象，只要把上所有的点
横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变
纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 （答案：C）
生：独立完成，巩固新知．
设计意图：考查学生对参数，对函数图象影响的掌握．
课题
5.6函数y=Asin(ωx+φ)
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册A版
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年6月
教学目标
教学目标：
1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的现实背景，经历匀速圆周运动的数学建模过程，进一步体会三角函数与现实世界密切联系；
2.掌握匀速圆周运动的数学模型，会用其解决相关的实际建模问题，进一步巩固三角函数的图形与性质。
3.掌握三个参数对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响并能灵活运用，感受数学的应用价值；
4.依托现实情境，展示学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。
教学重点：
用函数y=Asin(ωx+φ)模型来刻画一般的匀速圆周运动的建模过程；
三个参数对函数图象的影响以及函数y=Asin(ωx+φ)图像的变换过程。
教学难点：
数学建模的过程与方法；
函数y=Asin(ωx+φ)图像的变换与其解析式变换之间的内在关系。
教学过程
教学环节
主要师生活动
复习回顾旧知
创设问题情境
提出研究问题
引导语：我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画．
对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？
数学来源与生活应用于，下面看一个实际问题：
筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济，现代农村至今还在使用．明朝科学家徐光启在《农政全书》用图画描绘了筒车的工作原理．
师问：假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？
师生讨论：因筒车上盛水筒的运动周而复始，具有周期性，可以考虑用三角函数模型刻画它的运动规律．
设计意图：首先提出研究一般匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题，引导从特殊到一般进行提问，渗透了数学源于生活的本质．通过筒车模型引入，体现数学的实际价值，使学生感受发现问题、提出问题的过程，并尝试分析问题和解决问题．
抽象简化问题
建立函数模型
追问：如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点，经过时间t s后，盛水筒距离水面的高度H与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？
师生分析：如图，盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离，筒车的半径，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置以及所经过的时间t．
怎样建系比较好？转轮中心为原点。
以O为原点，以与水面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设时，盛水筒M位于P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，
经过时间t 后运动到点．
于是，以Ox为始边，OP为终边的角为，并且有
． = 1 \* GB3 ①
所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是
． = 2 \* GB3 ②
通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中）的函数，实际生活中的很多现象，例如：摩天轮，物理中的单摆等都可以用三角函数刻画，现代依然有研究的价值．
设计意图：结合筒车问题，建立三角函数的数学模型，表示其上质点的匀速圆周运动，引出本单元的核心内容；明确参数的实际意义，突出学习函数y=Asin(ωx+φ)的必要性；让学生经历数学建模全过程，引导学生学会用数学的眼光看现实世界，用数学的语言描述世界．
明确函数y=Asin(ωx+φ)
的研究思路
引导语：通过筒车运动的研究，我们得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中）的函数，只要清楚函数y=Asin(ωx+φ)的性质，就可以把握盛水筒的运动规律．这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质．
从解析式看，函数y=sinx就是函数y=Asin(ωx+φ)在时的特殊情形．能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响呢？函数y=Asin(ωx+φ)中含有三个不同的参数，你认为应该按怎样的思路进行研究？
师生分析：对于三个不同的参数，相对固定其中两个，仅一个变动； 先分别探讨φ、ω、A对函数图象的影响，再综合．
设计意图:引导学生思考研究问题的一般思路和方法，有助于主动地学习，学会学习．
小组合作
探索三个参数对函数y=sin(x+φ)图象的影响
探究1
不妨先从研究参数φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响开始，即探究函数y=sin x与y=sin(x+φ)图象之间的关系．为了更加直观地观察参数φ对函数图象的影响，借助信息技术进行实验探究．
如图，取，动点在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动．
（1）如果动点以为起点（此时），经过x s后运动到点P，设点P的纵坐标y，以（x，y）为坐标描点F，作出点F的轨迹.．
追问：P的纵坐标y等于什么？点F的轨迹对应的函数解析式是什么？
师生分析：y=sin x，点F的轨迹对应的函数解析式是正弦函数y=sin x.
（2）在单位圆上拖动起点，使点绕圆心旋转到，即：起点位于，，你发现图象有什么变化？
此时，点P的纵坐标是什么？点F的轨迹对应的函数解析式是什么？
师生分析：此时以Ox为始边，OP为终边的角为，因此P的纵坐标，点F的轨迹对应的函数解析式是函数．
（3）时的函数与时的函数y=sin x的图象之间具有怎样的关系？你能结合点P的运动规律解释图象间的关系吗？
在单位圆上的，设两个动点分别以，为起点同时开始运动．
到点P的时间
图象上点
函数
到P
x
y=sinx
到P
这说明，把正弦曲线y=sinx上的所有点向左平移个单位，就得到的图象．
（4）如果φ的值取，说一说你的发现，并给出合理的解释．
（5）旋转一个任意角φ呢？通过实验结果，你能归纳出φ对函y=Asin(ωx+φ)的图象的影响的一般化结论吗？
一般地，当动点M的起点位置所对应的角是φ时，对应的函数是y=sin(x+φ) ，把正弦曲线上的所有点向左或向右平移个单位长度，就得到函数y=sin(x+φ)的图象．
跟踪训练1：
1. 为了得到函数y=sin(x−π3)的图象，只需要将正弦曲线上的所有点（ ）．
（A）向右平行移动π3个单位长度
（B）向左平行移动π3个单位长度
（C）向右平行移动2π3个单位长度
（D）向左平行移动2π3个单位长度
设计意图:借助信息技术，探究参数出φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响.老师通过追问引导学生在观察发现的基础上进行理性的思考，从形和数两个方面解释φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响，提升直观想象和逻辑推理能力．
探究2
探索参数对函数图象的影响．
类比参数对函数图象影响的研究过程，你计划怎样研究参数对函数图象的影响？
师生分析：明确研究思路，仍然可以用从特殊到一般的研究方法探索参数对函数图象的影响．
追问：结合筒车模型，分析的实际意义．
师生分析：结合筒车模型，代表角速度，取不同值表示质点以不同的角速度做匀速圆周运动．前面我们研究了时的函数的图象，所以不妨设，固定的值，改变参数，研究函数与图象之间的变换关系．
设计意图：引导学生类比参数对函数图象影响的研究过程，明确参数对函数图象影响的研究思路．结合筒车模型，引导学生理解的实际意义，为后面的探索做好准备．
下面我们继续借助信息技术进行实验探究．
师：结合信息技术动态演示时，动点的轨迹以及动点对应的函数解析式．
我们知道，动点在单位圆上以单位角速度（即）按逆时针方向运动，如果动点以为起点（此时），经过后运动到点，那么点的纵坐标就等于，所以以为坐标描点，点的轨迹对应的函数解析式是．
若取，动点以为起点，在单位圆上以角速度按逆时针方向运动，经过后运动到点，那么点的纵坐标是什么？
追问：此时，以为坐标描点，点的轨迹对应的函数解析式是什么？
师：结合信息技术动态演示时，动点的轨迹．
追问：函数与的图象之间存在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？
师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在单位圆上，两个动点都以为起点，以和的不同角速度绕单位圆逆时针方向运动，到达同一位置时，时的运动时间始终是时运动时间的．对应地，设是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的相应点．
如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从函数的图象得到函数的图象？
总结：函数的图象是把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的．并且的周期为，是的周期的．
问题：如果取，，时，对应的函数的图象与的图象之间存在怎样的变换关系？
我们借助信息技术一起直观感受一下．
追问：结合上面的研究过程，你能给出的变化对函数图象影响的一般化结论吗？
总结：一般地，函数的周期是，把图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），就得到的图象．
设计意图：通过本环节，让学生理解具体的匀速圆周运动规律与三角函数解析式及其图象之间的本质联系，突出参数的实际意义．在研究过程中，引导学生体会从特殊到一般，具体到抽象的过程，同时借助信息技术，动态演示，帮助学生更加直观地观察参数对函数图象的影响，并用数学的语言准确地描述数学对象，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的学科素养．
探究3：
探索参数对图象的影响．
师：类比参数，对函数图象影响的研究过程，我们可以用相同的方法来研究参数对函数的图象的影响．请同学们思考：
问题：
（1）结合筒车模型，取不同值表示什么含义？
（2）若给赋特殊值，你认为给，取哪个特殊值比较合适？
师：引导学生理解的实际意义，明确接下来的研究对象：函数与的图象之间的变换关系．
师生分析：结合筒车模型，代表质点做匀速圆周运动的运动半径，取不同值表示质点以不同的运动半径做匀速圆周运动．同样地，为了研究方便，不妨设，，固定，的值，改变参数，研究函数与的图象之间的变换关系．
设计意图：引导学生类比参数，对函数图象影响的研究过程，明确参数对函数图象影响的研究思路．结合筒车模型，引导学生理解的实际意义，为后面的探索做好准备．
问题：若取，设射线与以为圆心、为半径的圆交于点，如果单位圆上以为起点的动点，以的转速经过后到达圆周上的点，那么点的纵坐标是，相应地，动点在以为圆心、为半径的圆上，以为起点，的转速经过后到达圆周上的点，那么点的纵坐标是什么？
追问：此时，以为坐标描点，点的轨迹对应的函数解析式是什么？
问题：函数与的图象之间存在怎样的变换关系？你能从质点的匀速圆周运动规律和函数图象上点的坐标变化的角度进行解释吗？
师生分析：如图，从匀速圆周运动的变化规律看，在以为圆心，半径分别为1和2的圆上，两个动点分别以和为起点，的转速经过后分别到达圆周上的点和点，易得点的纵坐标是点的纵坐标的2倍．对应地，设是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的相应点．
师：如上我们找到了两个函数图象上任意点的变化，那么如何从函数的图象得到函数的图象？
总结：函数的图象是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）得到的．
追问：如果取，，时，对应的函数的图象与的图象之间存在怎样的变换关系？你能给出的变化对函数图象影响的一般化结论吗？
师：借助信息技术动态演示，引导学生总结一般性的论．
师生总结：以为例，把函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），就得到的图象．
一般地，函数的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）为原来的倍（横坐标不变）而得到．从而，函数的值域是，最大值是，最小值是．
设计意图：通过探究参数的变化对函数的图象的影响，学生进一步体会由特殊到一般的思想方法，借助信息技术直观地观察图象的变换关系，最后得出一般性的结论，在研究过程中，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的学科素养．
4．总结从正弦曲线出发，通过图象变换得到的图象．
师：我们分别研究了三个参数对函数图象的影响．并按照路线，你能总结一下这个变换过程吗？
步骤1：把正弦曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到的图象；
步骤2：把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象；
步骤3：把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图象．
追问：更一般地，你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到图象的过程与方法吗？
生：填写教科书第236页中的图表．
师生总结：
步骤1：把正弦曲线上的所有点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度，得到的图象．
步骤2：把函数图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象．
步骤3：把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）为原来的倍（横坐标不变），得到的图象．
师：以上变换过程，是按照前面的研究顺序：，总结了由从正弦曲线出发，通过图象变换得到图象的变化过程．事实上，一开始研究时，同学们也会提到不同的研究顺序，例如：先从入手进行研究，当然也可以有其他顺序，留给同学们课后研究、讨论．
设计意图：引导学生从局部的讨论过渡到整体的思考，从特殊的例子中归纳概括一般性的结论，得到从正弦函数的图象出发，通过图象变换得到图象的过程与方法.
学以致用
当堂检测
练习：已知函数的图象为．
（1）为了得到函数的图象，只要把上所有的点
横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变
纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
（2）为了得到函数的图象，只要把上所有的点
横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变
纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 （答案：C）
生：独立完成，巩固新知．
设计意图：考查学生对参数，对函数图象影响的掌握．
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