内蒙古赤峰二中2023-2024学年高三上学期第四次月考数学（文）试题

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一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．设，（是虚数单位），则 （ ）
A．B．C．D．
3．下面的折线图统计了2017-2022年中国人用疫苗进出口均价，则下述结论不正确的是（ ）
A．出口均价最高约为3200美元/千克
B．2019年至2021年进口均价与出口均价均呈上涨趋势
C．出口均价的中位数低于1500
D．进口均价的方差大于出口均价的方差
4．已知，，c=40.1，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列{an}满足2an=an﹣1+an+1(n≥2)，a2+a4+a6=12，a1+a3+a5=9，则a3+a4=（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的的值为（ ）
A．45B．60C．75D．90
8．已知λ∈R，函数，若f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是（ ）
A．(1，3]B．(4，＋∞)
C．(3，4]D．(1，3]∪(4，＋∞)
9．如图，点是抛物线的焦点，点A、B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．设是的外心，若，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
11．关于函数有下述四个结论：①的最小正周期为；②的最大值为；③的最小值为；④在区间上单调递增；其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④B．①③④C．①③D．②④
12．在三棱锥 中，侧棱，则其外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，若直线与曲线相切，则实数的值为 ．
14．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为 ．
15．已知数列的前项和为，且满足，则 ．
16．如图，已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：每题12分，共60分。
17．为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计这种植物果实重量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测．据此估算这批果实中的优质果实的个数．
18．的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长．
19．如图所示，垂直于矩形所在的平面，，，、分别是、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求四面体的体积.
20．椭圆，是椭圆的左右顶点，点P是椭圆上的任意一点.
（1）证明：直线与直线的斜率之积为定值；
（2）设经过且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线交于点，求证：为定值.
21．已知函数.
（1）设曲线在处的切线为，求证：；
（2）若有两个根，，求证：.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系中，圆．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
(1)判断圆与圆的位置关系；
(2)若直线的极坐标方程为，直线与轴交于点，与圆交于两点，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若，，为正实数，函数的最小值为，且满足，求的最小值．