2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（新高考地区专用，测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆、圆锥曲线、数列）03（Word版附解析）

这是一份2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（新高考地区专用，测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆、圆锥曲线、数列）03（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，在平行六面体中，点E满足，则，已知直线，则，已知曲线，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+数列。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，点关于yOz平面的对称点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】点关于yOz平面的对称点是.故选：A.
2.直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为直线的斜率为，
因此，该直线的倾斜角为.故选：A.
3．已知直线，且，则实数a的值为（ ）
A．5B．1C．5或D．
【答案】D
【解析】直线，，
由解得或，
当时，直线与重合，不符合题意，
当时，直线与平行，
所以实数a的值为.故选：D
4．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，由等差数列的性质可知、、成等差数列，
所以，,所以，.故选：B.
5．已知，分别是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．7
【答案】B
【解析】因为，分别是平面的法向量，且，
所以，即，解得故选：B
6．在平行六面体中，点E满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得，
整理得.故选：A.
7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3，故选：B.
8．已知圆与圆有且仅有一条公切线，若，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径
圆的圆心为，半径，
两圆有且仅有一条公切线，
两圆内切，
，即，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.故选D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线，则（ ）
A． 恒过定点B．当时，不经过第二象限
C． 与直线垂直D．当时，点到的距离最大
【答案】BC
【解析】将直线整理变形得，
对于A选项，由点斜式方程得直线过定点，故A错误；
对于B选项，当时，直线与轴的交点横坐标为，又直线过定点，所以直线不经过第二象限，故B选项正确；
对于C选项，由于恒成立，所以与直线垂直，故C选项正确；
对于D选项，当直线与过点和的直线垂直时，点到的距离最大，此时，又因为直线的斜率为，故当时，点到的距离最大，故错误；.
故选：BC
10．已知曲线，下列说法正确的有（ ）
A．若曲线表示椭圆，则或
B．若曲线表示椭圆，则椭圆的焦距为定值
C．若曲线表示双曲线，则
D．若曲线表示双曲线，则双曲线的焦距为定值
【答案】BCD
【解析】对于A选项， 若曲线表示椭圆，则，解得，A错；
对于B选项，若曲线表示椭圆，则，椭圆的标准方程为，
椭圆的焦距为，B对；
对于C选项，若曲线表示双曲线，则，解得，C对；
对于D选项，若曲线表示双曲线，则双曲线的标准方程为，
双曲线的焦距为，D对.
故选：BCD.
11．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．数列为等差数列B．
C．随的增大而减小D．有最大值
【答案】ABD
【解析】由，
当时，，
两式相减得，
即，所以，
当时，，则，
则，
所以数列数列是以为公差，为首项的等差数列，故A正确；
则，所以，故B正确；
由，得当时，，，当时，，
所以当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故C错误；
所以当或时，取得最大值，故D正确.
故选：ABD.
12．已知双曲线的左焦点，过且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线的方程为
B．双曲线的两条渐近线所成的锐角为
C．到双曲线渐近线的距离为
D．双曲线的离心率为
【答案】AB
【解析】因为双曲线的左焦点为，
所以，
将代入双曲线得，
所以过与轴垂直的直线与双曲线交于，
所以的面积为，即，
又，
所以，
所以双曲线的方程为，故正确;
则双曲线的渐近线方程为，所以两渐近线的倾斜角为，
则两渐近线所成的锐角为，故B正确;
不妨取渐近线，即，
到双曲线渐近线的距离为,故C错误﹔
双曲线的离心率为.故D错误;
故选：AB
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知△的三个顶点分别是点A（4，0），，，则△的外接圆的方程为 ．
【答案】
【解析】令△的外接圆圆心，又A（4，0），，
∴中点为，则，则，
中点为，则，则，
∴圆心，又外接圆的半径，
∴△的外接圆的方程为.
14．如图，长方体中，若，则到平面的距离为 ．
【答案】/
【解析】因为，所以，
，设平面的法向量为，由，可得
，取，则，
即到平面的距离为.
15．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】根据图形，
因为都是直角三角形，
,
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
，
，故答案为.
16．如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为 ，直线与“果圆”交于，两点，且中点为，点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】由，，是相应半椭圆的焦点，
可得，，，
所以，，，
故所求周长为；
设，联立直线与，得，
即点，
联立直线与，得，
即点，且不重合，即，
又为中点，
所以，
即，，整理可得，，
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点．
(1)求C的方程；
(2)求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程．
【解析】（1）依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得，
所以C的方程为．
（2）由（1）知，抛物线C的准线方程为，设，，AB的中点为，
由消去y得，则，有，，即，
因此线段AB的中垂线方程为，即，
令，得，设所求圆的圆心为E，则，
又AB过C的焦点F，则有，
设所求圆的半径为r，则，
故所求圆的方程为．
18．（本小题满分12分）已知等差数列的前三项分别为
(1)求的通项公式
(2)若，求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列公差为，由已知，
所以，解得，则，
所以公差，所以.
（2）由题意可得，
所以
.
19．（本小题满分12分）如图，在正四棱锥P－ABCD中，，点M，N分别在PA，BD上，且．
(1)求证：；
(2)求证：平面PBC，并求直线MN到平面PBC的距离．
【解析】1）连接AN并延长交BC于E，连接PE，
，即
，
，即，
，
，
又，故E为BC中点，
又在正四棱锥中PA=AB，则，
，即PE⊥AD，
；
（2）由（1）得，且面PBC，面PBC，
平面PBC，
故直线MN到平面PBC的距离即为点N到平面PBC的距离，设为
，
，
点P到面ABCD的距离，
由，得，
，
得.
20．（本小题满分12分）歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体的底面ABCD为一个矩形，，，，棱，M，N分别是AD，BC的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【解析】（1）因为，为的中点，所以．
在矩形中，，分别是，的中点，所以．
又，，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）在平面中，过作，为垂足．
因为平面平面ABCD，平面平面，
平面，所以平面．
过作的平行线，交于点，则，，，
以为坐标原点，以，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，．
设平面EFCD的一个法向量为，则，所以，
取，解得，所以，
同理可得平面的一个法向量为．
设平面与平面夹角为．则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
21．（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，是等差数列，且，，是，的等差中项．
(1)求，的通项公式；
(2)记，求证：．
【解析】（1）因为，所以当时，得，
两式作差得，当时，，即时，．
又，，得，解得，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以．
设等差数列的公差为d，因为是，的等差中项，所以，
又，所以，解得，
所以，
故，．
（2）由（1）知，①
，②
①②，得．
所以．
所以，即．
22．（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值，并求出该定值．
【解析】（1）因椭圆：的离心率为，则，即，
又点在上，则有，联立解得，
所以椭圆的方程为.
（2）因直线不过原点且不平行于坐标轴，则设直线：，，，
将代入得，
，即，，
于是得，，
因此，直线的斜率，则有，
所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.