2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（天津专用，范围：空间向量与立体几何、直线与圆、圆锥曲线、数列）01（Word版附解析）

这是一份2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（天津专用，范围：空间向量与立体几何、直线与圆、圆锥曲线、数列）01（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+数列。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意有，解得倾斜角，故选C.
2．已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第21项B．第22项C．第23项D．第24项
【答案】B
【解析】由题意可得数列的通项公式为，
又，解得，所以是这个数列的第22项．故选：B．
3．过，两点的直线与直线垂直，则（ ）
A．B．2C．D．-2
【答案】B
【解析】因为过，两点的直线与直线垂直，
所以直线的斜率存在，且，解得，故选B
4．已知在等差数列中，，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】由等差数列中，因为，可得，所以，
又由，且，可得，故选C.
5．已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【解析】因为，，共面，所以存在唯一实数，，使，
即，
则，解得，，故选C.
6．抛物线上与焦点的距离等于9的点的横坐标是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】B
【解析】设所求点的坐标为，由抛物线方程得，
所以由焦半径公式得到焦点的距离为，解得，故选B
7．中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台．大剧院的平面投影是椭圆，其长轴长度约为，短轴长度约为．若直线平行于长轴且的中心到的距离是，则被截得的线段长度约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设该椭圆焦点在轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示，设椭圆的方程为：，，由题意可得，，
将，代入方程，得，
因为直线平行于长轴且的中心到的距离是，
令，得(m)，故选C．
8．若直线分别与轴，轴交于，两点，动点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，

因为直线与坐标轴的交点，，则，
圆的圆心C为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点P到直线的距离的最小值为，最大距离为，
所以面积的最小值为，最大值为，
即面积的取值范围为，故选C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．直线过定点，直线过定点
D．当平行时，两直线的距离为
【答案】ACD
【解析】对于，当时，那么直线为，
直线为，此时两直线的斜率分别为和，
所以有，所以，故A选项正确；
对于，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误；
对于，由直线，整理可得：，故直线过定点，
直线：，整理可得：
，故直线过定点，故C选项正确；
对于，当平行时，两直线的斜率相等，即
，解得：或，当时，两直
线重合，舍去；当时，直线为为
，此时两直线的距离，故D选项正确.
故选：ACD.
10．已知正项等比数列的公比为，前项和为，则（ ）
A．B．
C．数列是递减数列D．
【答案】AC
【解析】由正项等比数列的公比为可得：，，.
因为
所以，解得
则.
故选项A 正确；
对于选项B，，故选项B错误；
对于选项C，因为，所以，即，
故数列是递减数列，故选项C正确；
对于选项D，，故选项D错误.
故选：AC
11．双曲线，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则（ ）
A．双曲线的离心率为2
B．双曲线的渐近线方程为
C．的最小值为2
D．过的直线交双曲线于两点，
【答案】AB
【解析】由题知双曲线的标准方程为，即，
所以对于A选项，双曲线的离心率为，故正确；
对于B选项，双曲线的渐近线方程为，故正确；
对于C选项，设点，则，由于，点到渐近线的距离为，所以的最小值为，故错误；
对于D选项，当过的直线为轴时，弦为实轴长，此时，故错误.
故选：AB
12．如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（ ）
A．
B．点E到直线的距离为
C．直线与平面所成的角的余弦值为
D．点到平面的距离为
【答案】ABCD
【解析】连接，在正方体中，可得证得平面，
因为平面，所以，所以A正确；
取的中点，过作，垂足为，连接，则，
因为正方体的棱长为1，可得，
在直角中，可得，所以B正确；
连接，因为的中点，可得，
又因为平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，设为，
在直角中，可得，则，
所以，所以C正确；
连接，可得，
又由，
设点到平面的距离为，可得，解得，所以D正确.
故选：ABCD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列满足，且，则 .
【答案】
【解析】因为数列满足，
所以数列是等比数列，公比为，
因为，即，解得，
所以
14．圆关于直线对称的圆的标准方程为 ．
【答案】
【解析】由，则，即，半径为，
设关于直线的对称点，可得，解得，
即，故圆的标准方程为.
15．在正六棱柱中，若底面边长为1，高为3，则BC到平面的距离为 ．
【答案】
【解析】在正六棱柱中，取的中点，连接，如图，
，平面，平面，则平面，
平面，则平面，平面，
即，而，即有，，平面，
则平面，又平面，因此平面平面，
在平面内过作于，而平面平面，
于是平面，线段长即为BC到平面的距离，
，，中，，
所以BC到平面的距离.
16．去掉正整数中被4整除以及被4除余1的数，剩下的正整数按自小到大的顺序排成数列，再将数列中所有序号为的项去掉，中剩余的项按自小到大的顺序排成数列，则的值为 .
【答案】153
【解析】由题意可知，数列所有的奇数项为被除余的数，所有的偶数项为被除余的数，
则当为奇数时，；当为偶数时，.
即，，，，，，
显然数列是数列从第二项开始去掉两项、保留两项所组成的
对于，由，则；
对于，由，则，
故.
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知圆C经过A(0,-1)和B(2,3)两点,圆心在直线上.
(1)求圆C的方程;
(2)点P在圆C上,若,求直线AP的方程.
【解析】（1）由题知,圆心在线段AB的垂直平分线上
线段AB的中点为,直线AB的斜率
则线段AB的垂直平分线方程为,即
联立,解得.
所以圆半径
所以圆的方程为
（2）设,因为点在圆上,所以①
因为,所以②
(1)-(2)得③
联立②③得
所以或
即或
由两点式得直线AP的方程为或
18．在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________
(1)求数列的通项公式；
(2)令，其中表示不超过的最大整数，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）解：选①
设等差数列中，公差为，因为，，
所以，解得，
所以，
选②
因为等差数列中，公差为1，且成等比数列，
所以，即，解得
所以.
选③
因为等差数列中，，，
所以，即，解得
所以
（2）解：由（1）知，
因为，，，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以
19．已知数列满足，.
(1)证明：数列为等差数列.
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）在两边同时除以，得：，，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）得：，，
①
②
①②得：
所以.
20．已知抛物线经过点，为抛物线的焦点，且．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值（为坐标原点）
【解析】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
由抛物线经过点，，
可得，即，
又，可得，
解得，，
故抛物线的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，
由，解得，此时，所以的面积．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由得，．
设，，由根与系数的关系得，，
所以
，
综上所述，面积的最小值为．
21．如图,在四棱锥中,底面ABCD满足,,底面ABCD且,.
(1)若E是SD的中点,求直线AE到平面SBC的距离;
(2)求平面SDC与平面SBC的夹角的余弦值.
【解析】（1）如图建立空间直角坐标系,则
设平面SBC的法向量
则由,得
取
因为,所以平面SBC
所以直线AE到平面SBC的距离即点到平面SBC的距离
（2）
设平面SDC的法向量
则由,得,取
所以平面SDC与平面SBC的夹角的余弦值为
22．已知动直线l垂直于x轴，与椭圆交于两点，点在直线l上，且满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作直线交曲线于两点，若点，求证：直线的斜率之和为定值.
【解析】（1）解：设，则由题知，
，即
由点在椭圆上，故
所以，即
所以动点的轨迹C的方程为.
（2）证明：设，
当直线的斜率不存在时，与椭圆有且只有一个交点，不合题意，
当直线的斜率存在时，设的方程为，
所以联立方程整理得，、
所以，
由韦达定理得，
则
所以
，
所以.
即直线的斜率之和为定值.