2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（北师大版2019选择性必修第一册全部）01（Word版附解析）

这是一份2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（北师大版2019选择性必修第一册全部）01（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知过点的直线的方向向量，则的方程为（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【解析】由直线的方向向量可得该直线的斜率为，
又直线过点，所以直线方程为，即.
故选：A.
2．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线可知焦点在x轴上，由题意可得：，解得.
故选：C.
3．已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【解析】由点在圆外，可得，
求得圆心到直线的距离，故直线和圆C相交，
故选:A.
4．如图所示，空间四边形中，点分别为的中点，则等于（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【解析】因为点分别为的中点，所以
，
故选：B．
5．某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】结合题意：甲队战胜乙队包含两种情况：甲连胜2局，概率为，
前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为，则甲战胜乙的概率为．
故选：D．
6．已知展开式中的常数项为,且,则（ ）
(附：若随机变量,则,
)
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为展开式的通项公式为．
令，得，所以，又，
．
故选：B．
7．某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999-2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：

该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值y随年份x的变化情况，模型一：；模型二：，下列说法正确的是（ ）
A．变量y与x负相关
B．根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况
C．若选择模型二，的图象一定经过点
D．当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP的值为71，则残差为1
【答案】D
【解析】对于A，由散点图可知y随年份x的增大而增大，所以变量y与x正相关，所以A错误，
对于B，由散点图可知变量y与x的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年份的变化情况，所以B错误，
对于C，若选择模型二：，令，则的图象经过点，所以C错误，
对于D，当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP的值为71，则残差为，所以D正确，
故选：D
8．如图所示，双曲线与抛物线有公共焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，如图：
因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，
又到的距离，即，
又，所以点为线段的中点，则，
设点，由抛物线定义知，解得；由可得，
则由等面积可知：，解得，则，则，
又点在渐近线上，即，即，
又，联立得，即，解得，
故.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．对任意实数x，有则下列结论成立的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】BCD
【解析】由，
当时，，，A选项错误；
当时，，即，C选项正确；
当时，，即，D选项正确；
，由二项式定理，，B选项正确.
故选：BCD
10．已知直线：，为坐标原点，则（ ）
A．直线的倾斜角为 B．若到直线的距离为，则c＝2
C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为
【答案】CD
【解析】直线可化为：，
所以斜率，得倾斜角为，故错误；
由点到直线的距离公式得，得，
所以，故错误；
设与直线平行的直线方程为，
因为平行直线方程经过原点，所以，
即平行直线方程为，故正确；
设与直线垂直的直线方程为,
因为垂直直线方程经过原点，所以，
即垂直直线方程为，故正确.
故选：.
11．如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则以下结论正确的为（ ）

A．三棱锥体积为定值
B．异面直线成角为
C．直线与面所成角的正弦值
D．当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】因为，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，又为线段上动点，所以到平面距离为定值，故三棱锥体积为定值，当点与重合时，，故A正确；
因为，故与所成角等价于与所成角，为等边三角形，所以异面直线成角为，故B项错误；
以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，则，即，令，得，故，设直线与面所成角为，
则，故C项正确；
当点为中点时，，易得，平面，又平面，所以，，平面，所以平面，即平面，，，
所以，，的外接圆半径为，故所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积，设三棱锥的外接球半径为，则，故三棱锥的外接球表面积为，故D项正确.
故选：ACD
12．如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ）
A．椭圆的长轴长为4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程可以为
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为
【答案】ACD
【解析】设椭圆的长半轴长为，椭圆的长半轴长为，半焦距为，
由图象可得， ∴ ，
又，，
∴ ，
∴ 椭圆的长轴长为4，A对，
椭圆的离心率为，B错，
圆的方程可以为，C对，
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D对，
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线:，，当时，的值为 .
【答案】或
【分析】由一般式方程下两直线平行公式进行运算并检验即可.
【解析】∵:，，
∴当时，有，解得或，
当时，:，，∴满足题意；
当时，:，，∴满足题意.
∴当时，的值为或.
故答案为：或.
14．某学校在甲乙丙三个地区进行新生录取，三个地区的录取比例分别为，，．现从这三个地区等可能抽取一个人，此人被录取的概率是 ．
【答案】
【解析】记事件，，表示此人选自甲乙丙三个地区，事件：此人被录取；则，，，，．
故答案为：
15．某同学收集了具有线性相关关系的两个变量x，y的一组样本数据，经计算得到回归直线方程为，且，，则 .
【答案】
【解析】由题意知，，，因为样本中心点满足回归直线方程，所以.
故答案为：.
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 .
【答案】
【解析】由题意可得，，，，，
为双曲线右支上一点，，又 ，，
则的周长为．故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知圆
(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．
【答案】(1)或
(2)或
【解析】（1）圆
化为标准方程为，
所以圆C的圆心为，半径为
①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为即
由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，
所以，即，
解得，所以直线方程为
综上，所求直线的方程为或
（2）依题意，设
又已知圆C的圆心为，半径为2，
由两圆外切，可知，
所以，
解得或所以或，
所以所求圆D的方程为或
18．（12分）某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入个红球和个白球（球的取状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设此时袋中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元.
(1)求的分布列与数学期望；
(2)若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为万元，为数据的方差，计算结果为万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.
【答案】(1)分布列见解析，；(2)人，万元
【解析】（1）依题意可得的可能取值为，，，，
则，，
，，
∴的分布列为：
∴.
（2）由（1）可知给员工颁发奖金的总数为（万元），
设每位职工为企业的贡献利润数额为，则，
所以获得奖金的职工数约为
（人），
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.
19．（12分）2023年，5月18日至19日，中国－中亚峰会在陕西省西安市举办.多家外媒积极评价，认为这次峰会非常重要，中亚国家正在深化合作，共同致力于实现各国人民和平与繁荣.报道中指出“中国－中亚峰会致力于发展新能源绿色经济，符合中亚国家共同利益.”新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，得到表格如下：
(1)求电动汽车产值（亿元）关于（月份）的线性回归方程；
(2)该机构随机调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性45人，女性35人；购买电动汽车的男性5人，女性15人.请问是否有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.（参考公式如下）
①；②；③.
【答案】(1)；(2)有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.
【解析】（1）设所求回归直线方程为，
则，，
，
，
，
故所求回归直线方程为.
（2）根据题意，得2×2列联表如下：
，
故有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.
20．（12分）设抛物线：的焦点为，，在准线上，的纵坐标为，到点距离为4.
(1)求抛物线的方程；
(2)过且斜率为2的直线与交于、两点，求的面积
【答案】1．(1)；(2)
【解析】（1）由题意得，，
所以，解得或（舍去），
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）可得，，
所以直线的方程为，即，
设，，
联立可得，
所以，，
设点到直线的距离为，则，
所以.
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：如图所示：

取中点，连接，则，
又因为，所以四边形是平行四边形，
因为，，所以四边形是正方形，
所以，即是等腰三角形，
则，所以，即，
因为平面，平面，所以，
又因为平面，，所以平面.
（2）（2）因为平面，平面，所以，.
又因为四边形是正方形，所以，如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则.
设直线与平面所成的角为，，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
22．（12分）若双曲线的一个焦点是，且离心率为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过焦点的直线与双曲线的右支相交于两点（不重合），
①求直线的倾斜角的取值范围；
②在轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)①②存在，的坐标为
【解析】（1）由题意，，
又，则，，
所以，双曲线的方程为.
（2）①（i）当直线斜率存在时，
设直线：，，，
联立，
整理得：，
由题得：
解得或，
此时，直线的倾斜角的范围为.
（ii）当直线斜率不存在时，直线的倾斜角为.
综上可知，直线的倾斜角的范围为.
②（i）当直线斜率存在时，设直线和的斜率之积，，
由（2）①得：
，
又 ，
得：
，
上对于任意的都成立，
所以，
解得：或，
即当坐标为时，；
当坐标为时，.
（ii）当直线斜率不存在时，此时，.
当坐标为时，；
当坐标为时，.
综上所述，存在点，使得直线和的斜率之积为常数.
3
4
5
6
月份
6月
7月
8月
9月
10月
月份代码
1
2
3
4
5
产值（亿元）
16
20
23
31
40
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
合计
男性
45
5
50
女性
35
15
50
合计
80
20
100