2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（上海专用，沪教版2020必修三选修一第1章）01（Word版附解析）

这是一份2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（上海专用，沪教版2020必修三选修一第1章）01（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了测试范围，有以下三个命题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
4．测试范围：（沪教版2020必修三+选修一第1章）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC＝4，E，F分别为棱BB1，DD1上一点，且，则过点C，E，F的平面截该长方体所得的面面积为 2 ．
【分析】连接A1E，A1F，EF，取C1G＝1，连接B1G，易得截面即为A1FCE且是平行四边形求解．
【解答】解：如图所示：
连接A1E，A1F，EF，取C1G＝1，连接B1G，
则由长方体的特征知：A1F∥B1G，B1G∥CE，
所以A1F∥CE，且A1F＝CE，
所以四边形A1FCE是平行四边形，即为所求截面，
因为A1F＝，A1E＝，EF＝2，
所以cs∠FA1E＝＝，
则sin∠FA1E＝，
所以截面的面积为S＝2＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查平面的基本性质及推论，是基础题．
2．（3分）已知正三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且PA＝2，则球O的表面积为 16π ．
【分析】根据题意，作出图形判断外接球球心的位置，先求出相关线段的长度，然后利用勾股定理求出外接球半径，代入球的表面积公式即可求解．
【解答】解：根据题意，如图，设点Q为△ABC的中心，则PQ⊥平面ABC，
三棱锥的侧棱与底面所成角为，即，
又由PA＝2，则AQ＝，PQ＝3．
则球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，
则OA＝OP＝r，OQ＝3﹣r，
在Rt△OAQ中，有r2＝（）2+（3﹣r）2，解可得r＝2，
故球O的表面积为4πr2＝16π．
故选：C．
【点评】本题考查三棱锥与球的接切问题，涉及球的表面积计算，属于中档题．
3．（3分）在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则“取出的球是白球”为 随机 现象（填“随机”或“确定性”）．
【分析】利用随机现象的定义直接求解．
【解答】解：在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，
有可能取出的球是红球，也有可能取出的球是白球，
则“取出的球是白球”为随机现象．
故答案为：随机．
【点评】本题考查随机现象的判断，考查随机现象的定义等基础知识，是基础题．
4．（3分）若A、B独立，P（A）＝0.68，P（B）＝0.36，则P（A﹣B）＝ 0.44 ．（答案用小数表示并保留两位小数）
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【解答】解：A、B独立，P（A）＝0.68，P（B）＝0.36，
则P（A﹣B）＝P（A）＝P（A）P（）
＝0.68×（1﹣0.36）≈0.44．
故答案为：0.44．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（3分）已知一组数据2ξ1+1，2ξ2+1，…，2ξn+1，的平均数为4.8，那么数据ξ1，ξ2，⋅⋅⋅，ξn的平均数为 1.9 ．
【分析】设出数据ξ1，ξ2，⋅⋅⋅，ξn的平均数，由此表示数据2ξ1+1，2ξ2+1，…，2ξn+1的平均数，列方程求出即可．
【解答】解：设数据ξ1，ξ2，⋅⋅⋅，ξn的平均数为，
则数据2ξ1+1，2ξ2+1，…，2ξn+1的平均数为2+1＝4.8，
解得＝1.9．
故答案为：1.9．
【点评】本题考查了平均数的定义与性质应用问题，是基础题．
6．（3分）有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线l在平面α内，可以用符号语言“l∈α”表示；
③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．
其中真命题的序号是 ①③ ．
【分析】由直线在平面外的定义判断①；写出直线在平面内的符号语言判断②；由已知可得两平面有交点判断③．
【解答】解：①若a为平面α外的一条直线，则a∥α或a与α相交，
若a∥α，则a与α无交点，若a与α相交，则a与α只有一个交点，
∴平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点，故①正确；
②直线l在平面α内，可以用符号语言“l⊂α”表示，故②错误；
③平面α与β不重合，则α与β平行或相交，
若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β有公共点，即α与β相交，故③正确．
∴其中真命题的序号是①③．
故答案为：①③．
【点评】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
7．（3分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，以1为半径作一个球，球面将正方体分割成两部分，则两部分几何体体积差的绝对值为 ．
【分析】求出两部分的体积，再求出差的绝对值，即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了几何体体积的运算，属于基础题．
8．（3分）若数据1，2，3，…，9，x的方差为7，则数据2，3，…，9，10，x+1的方差为 7 ．
【分析】根据方差公式求解．
【解答】解：设数据1，2，3，…，9，x的平均值为，方差为，数据2，3，…，9，10，x+1的平均值为+1，方差为，
∴＝＝7，
∴＝＝＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了方差的计算，属于基础题．
9．（3分）给出下列四个命题：
①平行于同一平面的两条直线互相平行；
②分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
③如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；
④一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
其中真命题为 ③④ ．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．
【解答】解：对于①，平行于同一平面的两条直线相交、平行或异面，故①错误；
对于②，分别与两条异面直线都相交的两条直线不一定是异面直线，
如图，直线AD与BC都是异面直线，AB，AC都与AD，BC相交，
但AB，AC是共面直线，故②错误；
对于③，如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，
由线面垂直的判定理得这条直线与这个平面垂直，故③正确；
对于④，一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，故④正确．
故答案为：③④．
【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
10．（3分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是 16 个．
【分析】由题意：“小明通过多次摸球试验后发现”知所得频率可以近似地认为是概率，再由概率之和为1计算出白球的频率，最后由数据总数×频率＝频数计算白球的个数即可．
【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%＝40%，
故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个；
故答案为16．
【点评】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
11．（3分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为4，且∠ABC＝120°，点E是棱BC的中点，则过点E且与BD1垂直的平面截该四棱柱所得截面的面积为 ．
【分析】取BB1靠近点B的四等分点G，取AB的中点F，连接EF，EG，FG，先证出AC⊥BD1，进而BD1⊥EF，取A1B1的中点P，连接D1P，BP，由△PB1B∽△GBF可得PB⊥GF，由D1P⊥A1B1可证得D1P⊥平面A1B1BA，所以D1P⊥GF，进而证出GF⊥平面D1PB，所以BD1⊥GF，BD1⊥平面GEF，△EFG为过点E且与BD1垂直的平面截该四棱柱所得的截面，再利用边长条件求出△EFG的面积即可．
【解答】解：取BB1靠近点B的四等分点G，取AB的中点F，连接EF，EG，FG，如图所示，
∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，∴D1D⊥底面ABCD，∴D1D⊥AC，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又∵DD1∩BD＝D，
∴AC⊥平面D1DB，∴AC⊥BD1，
∵点E是棱BC的中点，点F是AB的中点，∴EF∥AC，
∴BD1⊥EF，
取A1B1的中点P，连接D1P，BP，
则△PB1B∽△GBF，∴PB⊥GF，
∵△D1A1B1为等边三角形，∴D1P⊥A1B1，
又∵平面A1B1C1D1⊥平面A1B1BA，且平面A1B1C1D1∩平面A1B1BA＝A1B1，
∴D1P⊥平面A1B1BA，∴D1P⊥GF，
又∵PB∩D1P＝P，
∴GF⊥平面D1PB，
∴BD1⊥GF，
又∵EF∩GF＝F，
∴BD1⊥平面GEF，
∴△EFG为过点E且与BD1垂直的平面截该四棱柱所得的截面，
易求GE＝GF＝，
∵底面ABCD为边长是4的菱形，且∠ABC＝120°，
∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cs120°＝48，∴AC＝4，
∴EF＝＝2，
∴S△EFG＝＝．
即过点E且与BD1垂直的平面截该四棱柱所得截面的面积为．
【点评】本题主要考查了空间中直线与平面垂直的位置关系，考查了平面与平面平行的位置关系，是中档题．
12．（3分）如图，二面角a﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝，则CD的长等于 2 ．
【分析】构造二面角的平面角，把问题转化为解直角三角问题．
【解答】解：过B作BE⊥l，使BE＝AC，连接CE、DE，
因为BD⊥l，所以∠DBE是二面角a﹣l﹣β的平面角，于是∠DBE＝120°，
又因为AC⊥l，AB＝AC，所以四边形ACEB为正方形，
又因为BD＝AC＝BE＝，所以DE＝2•BE•sin60°＝3，
所以CD＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角及其平面角问题，属于中档题．
二．选择题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．（3分）下列调查方式合适的是（ ）
A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式
B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式
C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式
D．为了了解一个寝室的学生（共5个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式
【分析】利用抽样调查和普查的定义、性质直接求解．
【解答】解：对于A，为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用抽样调查的方式，故A错误；
对于B，为了了解一批玉米种子的发芽率，采用抽样调查的方式，故B错误；
对于C，为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式，故C正确；
对于D，为了了解一个寝室的学生（共5个人）每周体育锻炼的时间，采用普查的方式，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查调查方式的判断，考查抽样调查和普查的定义、性质等基础知识，是基础题．
14．（3分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，AB＝3，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，过BF的平面α与直线C1E平行，则平面α截该长方体所得截面的面积为（ ）
A．3B．C．D．
【分析】由过BF的平面α与直线C1E平行，得平面α是矩形BCFE，由此能求出平面α截该正方体所得截面的面积．
【解答】解：在ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，
∵过BF的平面α与直线C1E平行，又AF∥C1E，
∴平面α是平面ABF，
取DD1中点G，连结GF，AG，∴平面α截该正方体所得截面为矩形ABFG，
∵AB＝3，BF＝＝，
∴平面α截该正方体所得截面的面积为S矩形ABFG＝3．
故选：D．
【点评】本题考查平面截正方体所得平面面积的求法，考查线面平行的判定定理、线面平行的判定定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（3分）为了解青少年视力情况，统计得到10名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十位数，则该组数据的中位数是（ ）
A．4.6B．4.5C．4.3D．4.2
【分析】将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，由此即可得解．
【解答】解：由题意，10名青少年的视力测量值（五分记录法）按大小依次排列，可得5.3，5.2，5.1，5.0，4.6，4.4，4.2，4.0，3.9，3.8，
则该组数据的中位数是＝4.5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了茎叶图的用法，考查了中位数的求法，属于基础题．
16．（3分）甲、乙、丙三人向一敌机射击，射中的概率分别为0.4，0.5，0.7．若一人射中敌机，则敌机被击落的概率为0.2；若两人射中，则敌机被击落的概率是0.6；若三人都射中，则敌机一定被击落．则敌机被击落的概率为（ ）
A．0.364B．0.416C．0.458D．0.617
【分析】设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中“，设Hi＝“飞机被第i人击中“，i＝1，2，3，先由独立互斥概率公式求得P（Ai），i＝1，2，3，然后利用全概率公式P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3），能求出P（B）．
【解答】解：设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中“，i＝1，2，3，
则B＝A1B+A2B+A3B，
依题意，P（B|A1）＝0.2，P（B|A2）＝0.6，P（B|A3）＝1，
由全概率公式：
P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3），
为求P（Ai），设Hi＝“飞机被第i人击中“，i＝1，2，3，
则P（A1）＝P（++）＝0.36，
P（A2）＝P（++）＝0.41，
P（A3）＝P（H1H2H3）＝0.14，
∴P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
＝0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1＝0.458，
∴飞机被击落的概率为0.458．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．解答题（共5小题，满分52分）
17．（10分）甲、乙、丙三台机床加工同一种零件，零件由甲、乙、丙三台机床加工的概率分别是0.5，0.3，0.2，合格率分别为0.94，0.9，0.95．求加工此种零件的合格率．
【分析】设“从全部产品中随机取出一个零件，这个零件是第i个机床加工的”为事件Ai（i＝1，2，3），“从第i个机床随机取一个零件，这个零件为合格品”为事件Bi（i＝1，2，3），“从全部产品中随机取出一个零件，这个零件为合格品”为事件C，利用全概率计算公式即可得出所求的答案．
【解答】解：设“从全部产品中随机取出一个零件，这个零件是第i个机床加工的”为事件Ai（i＝1，2，3），
“从第i个机床随机取一个零件，这个零件为合格品”为事件Bi（i＝1，2，3），
“从全部产品中随机取出一个零件，这个零件为合格品”为事件C，
由题意可知：P（A1）＝0.5，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.2，P（B1）＝0.94，P（B2）＝0.9，P（B3）＝0.95，
P（C）＝P（A1B1+A2B2+A3B3）＝P（A1B1）+P（A2B2+P（A3B3）＝0.5×0.94+0.3×0.9+0.2×0.95＝0.93．
所以加工此种零件的合格率为0.93．
【点评】本题考查全概率计算，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
18．（10分）如图，已知底面边长为a的正四棱锥P﹣ABCD，高与斜高的夹角为30°，若截面PAC的面积为4．
（1）求a的值；
（2）求正四棱锥P﹣ABCD的表面积．
【分析】（1）根据题意，设AC的中点为O，BC的中点为E，连接PO、PE、OE，解△POE可得PO和PE的长，由截面PAC的面积可得关于a的方程，解可得答案；
（2）根据题意，由a的值，分别求出正四棱锥P﹣ABCD的侧面积和底面积，进而相加可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设AC的中点为O，BC的中点为E，连接PO、PE、OE，
则正四棱锥P﹣ABCD的高为PO，其中一条斜高为PE，底面ABCD的边长为a，则OE＝，
又由∠OPE＝30°，则PE＝a，PO＝，
又由截面PAC的面积为4，即PO•AC＝××a＝4，
解可得a＝4或﹣4（舍），故a＝4；
（2）由（1）的结论，斜高PE＝a＝4，
则该四棱锥的侧面积S1＝4S△PBC＝4×（×4×4）＝32，
底面积S2＝4×4＝16，
故正四棱锥P﹣ABCD的表面积S＝32+16＝48．
【点评】本题考查四棱锥的表面积计算，涉及四棱锥的结构特征，属于基础题．
19．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝BC＝AC＝2，AB＝2，D是AB的中点．
（1）求异面直线AC1与BC所成角的大小；
（2）在线段A1C上是否存在点E，使得DE∥平面BCC1B1？如果存在，请在图中作出点E，（不写作法，但保留作图痕迹）并加以证明；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由AC∥A1C1，得异面直线AC1与BC所成角的大小为∠AC1B1或其补角，由此能求出异面直线AC1与BC所成角．
（2）连接AC1交A1C于点E，连接DE和BC1，推导出DE∥BC1，由此能证明DE∥平面BCC1B1．
【解答】解：（1）连接AB1，
∵AC∥A1C1
∴异面直线AC1与BC所成角的大小为∠AC1B1或其补角，
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
AA1＝BC＝AC＝2，AB＝2，
∴AC1＝＝＝2，B1C1＝2，AB1＝＝＝2，
∴＝AB12，∴AC1⊥B1C1，
∴异面直线AC1与BC所成角∠AC1B1＝90°．
（2）存在．连接AC1交A1C于点E，点E即为所求．
证明：连接DE和BC1，
∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴E为AC1的中点，
∵D为AB的中点，
∴在△ABC中，DE∥BC1，
又DE⊄平面BCC1B1，BC1⊄平面BCC1B1，
∴DE∥平面BCC1B1．
【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（10分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中a的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．
【分析】（1）根据频率分布直方图的特点：高×组距＝频率，计算出每组的频率，根据所有频率之和为1，求解即可得出答案；
（2）由（1）得100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02＝0.12，即可得出答案；
（3）分别计算前6组的频率之和，前5组的频率之和，可得2.5≤x＜3，列出关于x的方程，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得月平均用水量在[0，0.5）中的频率为0.08×0.5＝0.04，
同理可得在[0.5，1），[1，1.5），[1.5，2），[2.5，3），[3.5，4），[4，4.5）中的频率分别为0.08，0.15，0.5a，0.26，0.15，0.06，0.04，0.02，
∴0.04+0.08+0.15+0.5a+0.26+0.15+0.06+0.04+0.02＝1，解得a＝0.40；
（2）由（1）得100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02＝0.12，
根据样本估计总体，则该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000人；
（3）由（1）得前6组的频率之和为0.04++0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88＞0.85，
而前5组的频率之和为0.04++0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73＜0.85，
∴2.5≤x＜3，∴0.3（x﹣2.5）＝0.85﹣0.73，解得x＝2.9，
∴该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准2.9吨．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
21．（12分）材料1：三棱锥有4个顶点，6条棱，4个面；正方体有8个顶点，12条棱，6个面；三棱柱有个6顶点，9条棱，5个面；...，通过观察发现：这些几何体的顶点数、棱数及面数都满足简单的规律：4+4﹣6＝8+6﹣12＝6+5﹣9＝2；在此基础上瑞士数学家欧拉证明了对于任意简单多面体，其顶点数、棱数及面数都满足多面体欧拉公式．所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体（同胚可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气，它能膨胀变为一个球，那么可以认为它与球同胚）．正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角（多面角是指有公共端点且两两不共线的n（n≥3）条射线，以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形，例如日常生活中我们看到的墙角就是一个特殊的三面角）都是全等的多面角．例如，正四面体的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的．正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体分别如图1所示．
我们可以看到，正多面体每个顶点处有相同数量的棱相交，每一条棱处有两个面相交．
材料2：1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家，C60是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形（图2）；
（1）阅读上述材料，请用数学符号表示简单多面体的顶点数、棱数及面数，并用相应的数学符号写出多面体欧拉公式（不需要证明）；
（2）请结合上述材料，在下面两个问题中选择一个回答，并写出解答过程．（ 选择问题1分，解答过程正确5分；两个问题都选择，不给分 ）
问题1：请问C60的分子结构模型中，有几个五边形？
问题2：简单多面体中是否存在正16面体？如果存在请作出它的大致图形并指出面的形状；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题中的定义设变量写出等式即可；
（2）根据欧拉公式列方程，最后讨论取值可得出结果．
【解答】解：（1）设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，
则多面体欧拉公式为V+F﹣E＝2；
（2）问题1：设C60的分子机构模型中，有m个五边形，n个五边形，
则：⇒，所以有12个五边形；
问题2：设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，
每个面都是正n（n≥3）边形，每个顶点为端点都有m（m≥3）条棱，
则⇒，
∴m，n中必有一个小于4，即必有一个等于3，
m＝3时，n＝3，4，5得正四面体，正六面体，正十二面体，
n＝3时，m＝3，4，5得正四面体，正八面体，正二十面体，
所以简单正多面体中不存在正十六面体．