2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（新高考地区专用，测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆、圆锥曲线、数列）02（Word版附解析）

这是一份2023-2024学年高二上学期期末数学模拟卷（新高考地区专用，测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆、圆锥曲线、数列）02（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，定义“等方差数列”等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线、数列。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的共线，垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法，模长定义即得.
【详解】因，
对于A选项，由可得：，易知的值不存在；
对于B选项，由可知不成立；
对于C选项，；
对于D选项，
故选：D.
2．抛物线的焦点到点的距离为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】B
【分析】首先求出焦点坐标，再利用距离公式计算可得.
【详解】抛物线的焦点为，
所以点到焦点的距离.
故选：B
3．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）．
参考数据：
A．17.9万亿B．19.1万亿C．20.3万亿D．21.6万亿
【答案】B
【分析】根据给定信息，构建等比数列，再求出其中的项即可.
【详解】依题意，从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列，
其中，公比，
所以2022年进出口累计总额为（万亿）.
故选：B
4．给出下列命题：
①直线的倾斜角不存在；
②若直线的方向向量，平面的法向量，则；
③已知为空间直角坐标的原点，且，则点到直线的距离是；
④如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线．
其中真命题的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】对于①④，可举出反例；对于②，计算向量数量积得到，从而得到或；对于③，变形后得到直线所过定点.
【详解】对于①，直线的倾斜角为，①错误；
对于②，因为，故，
则直线与垂直，则或，②错误；
对于③，由题意可知是直线的方向向量，在直线上的投影向量的模长为，所以点到直线的距离是，③正确；
对于④，如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，则向量与与任何向量均共面，那么一定共线，④正确．
故选：B
5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，动点满足，则点P的轨迹与圆的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据两点距离公式整理等式，可得动点的轨迹方程，明确两圆的圆心和半径，结合两圆的位置关系，可得答案.
【详解】由题意知，化简得，其圆心为，半径，
又圆C的圆心，半径，所以，且，
所以两圆相交，故其公切线的条数为2条.
故选：B.
6．在正方体中，若棱长为，，分别为线段，上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A．平面B．直线与平面所成角的正弦值为定值
C．平面平面D．点到平面的距离为定值
【答案】B
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的结构特征，利用空间向量逐个计算判断即可
【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，
令，得，
令，得，，
对于A，，显然，
即，，
而，平面，因此平面，A正确；
对于B，由平面，平面，得，
因为，，平面，则平面，
于是为平面的一个法向量，，
设直线与平面所成角为，
则不是定值，B错误；
对于C，由选项A知平面，即为平面的一个法向量，
而，则，
即有，
又，平面，因此平面，
则平面平面，C正确；
对于D，显然，
因此点到平面的距离为，为定值，D正确.
故选：B
7．已知双曲线，过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】先求出焦点到渐近线的距离为，由勾股定理求出的边长，再由面积得到的关系，从而求出离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为：
过的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，则
所以在中，，所以
则，即
所以，即，所以，故
故选：C
8．定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前33项的和为（ ）
A．3B．6C．2D．4
【答案】A
【分析】根据数列是等方差数列，且公方差为3，得到，再利用等差数列通项公式求得，从而得到求解.
【详解】解：因为数列是等方差数列，且公方差为3，
所以，又，
所以，
又数列的各项均为正数，所以，
所以，，
所以，
，
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．的长为
【答案】AC
【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长.
【详解】
∵，故A正确.
∵.故B错误.
又∵，.
，；
，
.
.
∴.故C正确.
∵，∴.故D错误.
故选：AC.
10.已知直线l：和圆O：，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线：垂直
C．直线l与圆O相交
D．直线l被圆O截得的最短弦长为
【答案】BC
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.
【详解】对A，由可得，，
令，即，此时，所以直线l恒过定点，A错误；
对B，因为直线：的斜率为，所以直线l的斜率为，即，
此时直线l与直线垂直，满足题意，B正确；
对C，因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线l与圆O相交，C正确；
对D，因为直线l恒过定点，圆心到直线l的最大距离为，
此时直线l被圆O截得的弦长最短为，D错误；
故选：BC.
11.已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等差数列B．
C．数列的前项和为D．数列的前项和为
【答案】ABC
【分析】先构造数列，知其前项和求通项，进而再求出，选项A，由定义证明为等差数列；选项B，利用等差数列前项和公式求解即可；选项C，两项并一项，并项为常数列求和；选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出.
【详解】由，
设，则，
所以当时，，
两式相减得，，
当时，也适合上式.
则，解得，，
所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，
故选项AB正确；
选项C，数列的前项和
，故C项正确；
选项D，，
则前项和为，
故D项错误.
故选：ABC.
12.已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ）
A．最大时，B．的最小值为
C．D．的取值范围为
【答案】BCD
【分析】根据焦点三角形的面积，可知其最大值，再根据内切圆半径公式可判断A选项，根据外心的概念及向量的线性运算可判断B选项，根据内切圆的性质可得，即可判断C选项，再根据外接圆半径与内切圆半径的求法可判断D选项.
【详解】由，得，，，
A选项：设，则，，，所以当点在短轴端点时，面积最大值为，
此时由内切圆性质可知，
则，A选项错误；
设，，则，
B选项：如图所示，设中点为，则，所以，
又，
同理，
所以，当且仅当时，等号成立，B选项正确；
C选项：设与交于点，由角分线定理可知，即，即，
所以，所以，C选项正确；
D选项：设，由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
则，且，即，当且仅当时取等号，
所以，
，
所以，
则，D选项正确；
故选：BCD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知，则向量在上的投影向量的坐标是 ．
【答案】
【分析】由已知得出的坐标，然后求出投影向量即可得出答案.
【详解】因为，，
所以，向量在上的投影向量是，
其坐标为.
故答案为：.
14.已知正项数列的前项和为，且满足，若，，则
【答案】
【解析】
【详解】因为，所以数列为等比数列，设公比为，
则，得，解得（舍去），
所以．
15.已知两点，，若直线上存在四个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】根据△MNP是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线y=k（x-3）相交，且k≠0，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可．
【详解】当P1M⊥x，P4M⊥x时，此时存在两个直角三角形，
当MN为直角三角形的斜边时，△MNP是直角三角形，
要使直线y=k（x-3）上存在四个点P（i=1，2，3，4），
使得△MNP是直角三角形，等价为以MN为直径的圆和直线y=k（x-3）相交，且k≠0，
圆心O到直线kx-y-3k=0的距离，
平方得9k2