四川省泸县第四中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省泸县第四中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算公式求解即可.
【详解】因为，所以，又，所以．
故选：C.
2. 圆的圆心为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.
【详解】由，得，
所以圆心为，
故选：A
3. 点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为 ,
故选B.
4. 盒中有4个大小相同的球，其中白球2个，黑球2个，从中任意摸出2个（摸出后不放回），则至少摸出一个黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】正难则反，计算摸出的球全为白球的概率，用1减去对应概率即可.
【详解】由题意知，若摸出的两球全为白球，则对应的概率为：，则至少摸出一个黑球的概率为.
故选：D
5. 某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用平均数和方差的公式即可求解.
【详解】设这个班有n个同学，分数分别是，，，…，，
第i个同学的成绩没录入，
第一次计算时，总分是，
方差；
第二次计算时，，
方差，
故.
故选：C.
6. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得
所以
选B.
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
7. 对于事件A与事件B，下列说法错误的是（ ）
A. 若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1
B. 若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）
C. 若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件
D. 若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
【答案】C
【解析】
【分析】根据对立事件和独立事件的定义和性质逐项分析.
【详解】对于A，事件A和事件B为对立事件，则A，B中必然有一个发生， ，正确；
对于B，根据独立事件的性质知 ，正确；
对于C，由 ，并不能得出A与B是对立事件，举例说有a，b，c，d4个小球，
选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则 ，事件B表示选中b，c两球，则 ，
，但A，B不是对立事件，错误；、
对于D，由独立事件的性质知：正确；
故选：C.
8. 已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，，，再根据列式求解即可
【详解】
由已知得：，，
所以，
由得：
所以
所以
由得：
所以
故选：C
二．多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
9. 如图，在边长为的正方体中，分别是棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 平面B.
C. 平面D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据空间位置关系的向量证明方法依次判断各个选项即可.
【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
对于A，，即，平面，A正确；
对于BD，，，B正确，D错误；
对于C，，，平面，C正确.
故选：ABC
10. 已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（ ）
A. 1B. C. ﹣2D. ﹣1
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形进行求解即可.
【详解】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.
当时，直线与横轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；
当时，直线的斜率为：.
当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，
故选：BCD
【点睛】本题考查了三条直线不构成三角形求参数取值范围问题，考查了直线平行与相交的判断，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.
11. 在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】先得到的轨迹方程为圆，与直线有交点，得到的范围，得到答案.
【详解】
所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形
即
在直线上，圆心距
计算得到
故答案选AB
【点睛】本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到的轨迹方程是解题的关键.
12. 已知过双曲线的左焦点F的直线l与双曲线左支交于点，过原点与弦的中点D的直线交直线于点E，若为等腰直角三角形，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】首先设出直线的方程，并代入双曲线方程得到一元二次方程，然后根据题意求出的坐标，进而利用斜率关系确定出直线与直线的垂直关系，得到，利用两点间的距离公式求出点的坐标，计算出的值,最后确定出直线的方程.
【详解】由题意知，设直线方程为，将方程与双曲线方程联立，整理得.
设，则，
由韦达定理得，
所以，，即，
故直线方程为.令，得，即，
所以直线斜率为，所以，因此，
即，解得.
又，所以，所以，
从而直线l方程或.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：本题涉及到双曲线的弦上的中点，可以利用点差法或者韦达定理，整理得到.
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产品进行检测，则3个产品中至多有1个次品的概率为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据组合数的计算公式、古典概型概率计算公式等知识求得正确答案.
【详解】3个产品中至多有1个次品的概率为：
.
故答案为：
14. 已知点，，，，过点P作平面OAB，H为垂足，则点H的坐标是_________.
【答案】
【解析】
【分析】设，先根据求出的关系，再根据四点共面，即可得出答案.
【详解】设，则，
，
因为平面OAB，平面OAB，
所以，
则，解得，
所以，
因为平面OAB，H为垂足，
所以四点共面，
则存在唯一实数对使得，
即，
所以，解得，
所以.
故答案为：
15. 已知点，，圆 ()上存在唯一的点，使，则实数的值是__________.
【答案】或
【解析】
【分析】求得点的轨迹方程，由点的轨迹与圆只有一个公共点，列出方程，即可求解.
【详解】设，则，
因为，整理得，即，
所以点的轨迹方程为，
又因为圆上存在唯一的点符合题意，所以两圆内相切，
因为圆，可得圆心，半径，
圆，可得圆心，半径，
可得或，解得或，又，
所以实数的值为或.
故答案：或.
16. 已知抛物线，焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别是，，已知线段的中点，则的值是__________.
【答案】17或44
【解析】
【分析】设切点，，利用导数的几何意义，写出两条切线方程，联立解方程组，并结合点和的坐标，推出的值，再利用抛物线的定义计算的值即可.
详解】由题意知，，设，，
则，，，
所以，，
因为线段的中点，
所以，即，
所以，即，
因为，所以，则，
所以切线的方程为，即
因为，
所以可化为
同理切线的方程为，可化为.
联立方程，解得，
即，
因为，所以，，
即，，
又因为，
所以，
把和代入上式，可得，
化简得，解得或，
由抛物线定义可得，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
当时，，
当时，，
综上，的值为或.
故答案为：或.
四、解答题（本大题共6个大题，共70分）
17. 围棋是一种策略性两人棋类游戏，已知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机取出2粒，都是黑子的概率是，都是白子的概率是.
（1）求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率；
（2）求从中任意取出2粒恰好是不同色的概率.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据设事件“从中任意取出2粒都是黑子”，事件“从中任意取出2粒都是白子”，事件“任意取出2粒恰好是同一色”，因为与互斥，从而得到，得到答案；（2）设事件“从中任意取出2粒恰好是不同色”，
根据对立事件的概率和为1，结合（1）得到结论，得到答案.
【详解】（1）设事件“从中任意取出2粒都是黑子”，
事件“从中任意取出2粒都是白子”，
事件“任意取出2粒恰好是同一色”，
则，且事件与互斥，
则，
即任意取出2粒恰好是同一色的概率是.
（2）设事件“从中任意取出2粒恰好是不同色”，
由（1）知事件与事件是对立事件，且，
所以任意取出2粒恰好是不同色的概率.
【点睛】本题考查互斥事件的概率，利用对立事件的概率关系求概率，属于简单题.
18. 已知的三个顶点､､.
（1）求边所在直线的方程；
（2）边上中线的方程为，边上高线过原点，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两点式求得边所在直线方程；
（2）由题意可得，求出边上高线的方程，将点代入的方程，解关于的方程组即可求解.
【小问1详解】
由、可得，
所以边所在直线方程为，即.
【小问2详解】
因为边上中线的方程为，
所以点在直线上，可得，
因为，所以边上高线的斜率，
因为边上高线过原点，所以的方程为，可得，
由可得：，所以点的坐标为.
19. 已知直线过点和点．
（）求直线的方程．
（）若圆的圆心在直线上，且与轴相切于点，求圆的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由待定系数法，代入两点坐标求得直线方程．(2) 设圆心为，半径为，由待定系数法求得圆的方程．
【详解】（）设直线的方程为：，
将点和点代入得：，
解得：，，
故直线的方程为．
（）设圆心为，半径为，则由圆的圆心在直线上，且与轴相切于可得：
，解得，
故圆的方程为：．
【点睛】本题考查由待定系数法求直线方程与圆的方程．需把几何关系转化为代数关系，注意运算的正确性．
20. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， ，且底面，点分别在棱、上·
（1）若P是的中点，证明：；
（2）若平面，且平面PQD与平面AQD的夹角的余弦值为，求四面体的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算知，即可证得结论；
（2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得，再利用线面平行的已知条件求得，再将四面体视为以为底面的三棱锥，利用锥体的体积公式即可得解.
【小问1详解】
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，其中，，
若是的中点，则，，，
于是，∴，即．
【小问2详解】
由题设知，，，是平面内的两个不共线向量．
设是平面的一个法向量，
则，取，得．
又平面的一个法向量是，
∴，
而二面角的余弦值为，因此，
解得或（舍去），此时．
设，而，由此得点，，
∵PQ∥平面，且平面的一个法向量是，
∴，即，解得，从而．
将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，
故四面体的体积．
21. 已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.
（1）求C的方程；
（2）设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）可设双曲线的方程为，将点代入求出，即可得解；
（2）可设直线为，，联立，消，利用韦达定理求得，然后求出直线的方程，整理分析即可得出结论.
【小问1详解】
解：因为双曲线C的渐近线方程为，
则可设双曲线的方程为，
将点代入得，解得，
所以双曲线C的方程为；
【小问2详解】
解：显然直线的斜率不为零，
设直线为，，
联立，消整理得，
依题意得且，即且，
，
直线的方程为，
令，
得
所以直线过定点.
22. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，长轴长为4，椭圆C过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知x轴上存在一点E（点E在椭圆左顶点的左侧），过的直线与椭圆C交于点和点，且与互为补角，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件可得，然后将点代入椭圆方程求出即可；
（2）设直线l为，，，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，，由与互补可得，由此可算出，然后用表示出即可得出答案.
【小问1详解】
由已知得
将点代入椭圆方程，得，
∴椭圆C方程为.
【小问2详解】
设直线l为（），则E为（）
由得，
∴，可得 ①
设，，则，，
∵与互补，
∴，则，
∴，
∴，
∴，解得，
∴直线l的方程为，
且由①可得，，即，
由点到直线l的距离，
∴
令，，则，当且仅当时，等号成立，
所以面积S最大值为.