天津外国语大学附属滨海外国语学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份天津外国语大学附属滨海外国语学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了下列说法等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
3．（3分）如图，AC与BD相交于点O，AB＝DC，要使△ABO≌△DCO，则需添加的一个条件可以是（ ）
A．OB＝OCB．∠A＝∠DC．OA＝ODD．AC⊥BD
4．（3分）若一个正n边形的内角和为720°，则它的每个外角度数是（ ）
A．36°B．45°C．72°D．60°
5．（3分）下列说法：
①等边三角形的三个内角都相等；
②等边三角形的每一个角都等于60°；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．其中，正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
7．（3分）等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则等腰三角形的周长（ ）
A．17B．22C．17或22D．18
8．（3分）如图，AD，CE是△ABC的两条中线，连接ED，若S△ABC＝10，则S阴影＝（ ）
A．1B．1.5C．2.5D．5
9．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm．则△ABC的周长为（ ）
A．16cmB．19cmC．22cmD．26cm
10．（3分）如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A在BC边上的点D位置．且ED⊥BC．则∠EFD＝（ ）
A．45°B．50°C．40°D．55°
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，BC⊥CD，∠1＝∠2＝∠3，∠4＝60°，∠5＝∠6，下列结论错误的是（ ）
A．CO是△BCD的高B．∠5＝30°
C．∠ABC＝100°D．DO＝OB
12．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④连接OC，OC平分∠AOE；⑤∠AOB＝60°．恒成立的结论有（ ）
A．①⑤B．①②⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）如图，点N是△ABC的AB边的延长线上一点，∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则∠C的大小＝ （度）．
14．（3分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ ．
15．（3分）如图，AB＝AC，EB＝EC，AE的延长线交BC于D，那么图中全等三角形有 对．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点E，CF平分∠ACD，且 EF∥BC交AC于点G，若CG＝5cm，则EF＝ cm．
17．（3分）如图，平面直角坐标系中，点A坐标为（3，3），在x轴上确定一点B，使△OAB是等腰三角形，这样的B点有 个．
18．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC，AD于点E，F，M为EF的中点，连接AM并延长交BC于点N，连接DM，下列结论：①AE＝EF；②DF＝DN；③AE＝CN； ④△ADM和△DMN的面积相等．其中正确的结论是 ．
三、解答题：（共6小题，共66分，解答题应写出解答过程.）
19．（10分）如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．求证：△AOB≌△COD．
20．（10分）如图，AD⊥BC，∠1＝∠B，∠C＝65°．求∠BAC的度数．
21．（10分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣3），B （﹣2，﹣1），C （﹣1，﹣2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.（点A1与点A是对称点，点B1与点B是对称点）；
（2）点B关于y轴对称的点的坐标为 ，点B关于直线x＝1对称的点的坐标为 ；
（3）平面内一点M（m，m+1）关于y轴对称的点的坐标为 ，点M关于直线x＝1对称的点的坐标为 ．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CE平分∠ACB，EC＝EA．
（1）求∠A的度数；
（2）若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
24．（12分）（1）已知：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，求证：DE＝AD+BE．
（2）如图2，若把直线l绕C点旋转到如图所示位置，其他条件不变，请直接写出DE、AD、BE三条线段之间的数量关系（不用说明理由）
（3）已知：如图3，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ECD＝90°，EC＝DC，连接AD、BE，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC交BE于点G，求证：AD＝2CG．
2023-2024学年天津外国语大学附属滨海外国语学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共36分.每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】根据全等三角形的判定可得答案．
【解答】解：由作图可知，OC＝O'C'＝OD＝O'D'，CD＝C'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS）．
故答案为：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定以及作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．
3．（3分）如图，AC与BD相交于点O，AB＝DC，要使△ABO≌△DCO，则需添加的一个条件可以是（ ）
A．OB＝OCB．∠A＝∠DC．OA＝ODD．AC⊥BD
【分析】根据角角边的判定方法即可求解．
【解答】解：根据题意，AB＝DC，∠AOB＝∠DOC，
A、OB＝OC，边边角不能判定△ABO≌△DCO，故错误，不符合题意；
B、∠A＝∠D，能根据角角边的判定方法证明△ABO≌△DCO，故正确，符合题意；
C、OA＝OD，边边角不能判定△ABO≌△DCO，故错误，不符合题意；
D、AC⊥BD，不能判定△ABO≌△DCO，故错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边（直角三角形）”是解题的关键．
4．（3分）若一个正n边形的内角和为720°，则它的每个外角度数是（ ）
A．36°B．45°C．72°D．60°
【分析】根据正多边形的内角和公式可算出n的值，由多边形外角和的定义和性质即可求解．
【解答】解：一个正n边形的内角和为720°，
∴180°（n﹣2）＝720°，解得，n＝6，
∵正六边形的外角和为360°，
∴每个外角的度数为360°÷6＝60°，
故选：D．
【点评】本题主要考查多边形内角和、外角和的综合运用，掌握内角和公式180°（n﹣2），正多边形外角和为360°的计算方法是解题的关键．
5．（3分）下列说法：
①等边三角形的三个内角都相等；
②等边三角形的每一个角都等于60°；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．其中，正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据等边三角形的性质和判定即可判断；
【解答】解：①等边三角形的三个内角都相等；正确；
②等边三角形的每一个角都等于60°；正确；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；正确；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．正确；
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
【分析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．
【解答】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭应在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别是解题的关键．
7．（3分）等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则等腰三角形的周长（ ）
A．17B．22C．17或22D．18
【分析】等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，所以能构成三角形，
周长是：22．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，解题的关键还应验证是否能构成三角形进行解答．
8．（3分）如图，AD，CE是△ABC的两条中线，连接ED，若S△ABC＝10，则S阴影＝（ ）
A．1B．1.5C．2.5D．5
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的两条中线，S△ABC＝10，
∴S△ABD＝S△ABC＝×10＝5，
∵E是AB的中点，
∴S△BED＝S△ABD＝2.5，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm．则△ABC的周长为（ ）
A．16cmB．19cmC．22cmD．26cm
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得AC＝2AE＝6cm，DA＝DC，然后根据△ABD的周长为13cm，可得AB+BC＝13cm，然后利用三角形的周长公式进行计算即可解答．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴AC＝2AE＝6cm，DA＝DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+DC＝13cm，
∴AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A在BC边上的点D位置．且ED⊥BC．则∠EFD＝（ ）
A．45°B．50°C．40°D．55°
【分析】由翻折的性质可知∠AFE＝∠EFD，在Rt△EDC中，由三角形内角和求解即可．
【解答】解：由翻折的性质可知；∠AFE＝∠EFD．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°．
∵ED⊥BC，
∴△EDC为直角三角形，
∴∠FDB＝30°，
∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，
∴∠EFD＝45°．
故选：A．
【点评】本题主要考查是翻折的性质，关键是根据等边三角形的性质和翻折的性质解答．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，BC⊥CD，∠1＝∠2＝∠3，∠4＝60°，∠5＝∠6，下列结论错误的是（ ）
A．CO是△BCD的高B．∠5＝30°
C．∠ABC＝100°D．DO＝OB
【分析】根据等腰三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在△BDC中，∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵∠2＝∠3，
∴∠1+∠3＝90°，
∴CO⊥DB，
∴CO是△BCD的高；故A选项不符合题意；
∵CO⊥DB，
∴∠5＝90°﹣∠4＝90°﹣60°＝30°故B选项不符合题意；
∵∠1＝∠2，
∴CD＝BC，
∵OC⊥BD，
∴OD＝OB，故D选项不符合题意；
∵∠CDA＝∠1+∠4＝45°+60°＝105°，
∵∠5＝∠6＝30°
∴∠DAB＝∠5+∠6＝30°+30°＝60°，
∴∠ABC＝105°，故C选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和．
12．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④连接OC，OC平分∠AOE；⑤∠AOB＝60°．恒成立的结论有（ ）
A．①⑤B．①②⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
【分析】①证△ADC≌△BEC（SAS），得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，故①正确；
②证△CDP≌△CEQ（ASA），得CP＝CQ，则∠CPQ＝∠CQP＝60°，得∠QPC＝∠BCA，即可得出PQ∥AE，故②正确；
③由全等三角形的性质得DP＝QE，再①可知，AD＝BE，则AP＝BQ，故③正确；
④过点C作CM⊥BE于点M，CN⊥AD于点N，由全等三角形的性质得AD＝BE，S△ADC＝S△BEC，再由三角形面积得CN＝CM，即可得出OC平分∠AOE，故④正确；
⑤由全等三角形的性质得∠DAC＝∠EBC，再由三角形的外角性质得∠AOB＝∠DAC+∠AEO＝∠EBC+∠AEO＝∠ACB＝60°，故⑤正确；即可得出结论．
【解答】解：①∵△ABC和△CDE都是正三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠DCP＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，故①正确；
②在△CDP和△CEQ中，
，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP＝CQ，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，
∴∠QPC＝∠BCA，
∴PQ∥AE，故②正确；
③由②可知，△CDP≌△CEQ，
∴DP＝QE，
由①可知，AD＝BE，
∴AD﹣DP＝BE﹣QE，
∴AP＝BQ，故③正确；
④如图，过点C作CM⊥BE于点M，CN⊥AD于点N，
由①可知，△ADC≌△BEC，
∴AD＝BE，S△ADC＝S△BEC，
∴AD•CN＝BE•CM，
∴CN＝CM，
∵CM⊥BE，CN⊥AD，
∴OC平分∠AOE，故④正确；
⑤由①可知，△ADC≌△BEC，
∴∠DAC＝∠EBC，
∴∠AOB＝∠DAC+∠AEO＝∠EBC+∠AEO＝∠ACB＝60°，故⑤正确；
综上所述，恒成立的结论有：①②③④⑤．
故选：D．
【点评】本题是考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、角平分线的判定、三角形面积以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）如图，点N是△ABC的AB边的延长线上一点，∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则∠C的大小＝ 42 （度）．
【分析】∠ABC和∠NBC之和为平角180°，从而求出∠ABC的度数，根据三角形的内角和为180°，得到∠C+∠ABC+∠NAC＝180°，从而求出∠C的大小．
【解答】解：∠ABC＝180°﹣∠NBC
＝180°﹣84°
＝96°，
∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠NAC
＝180°﹣96°﹣42°
＝42°，
故答案为：42
【点评】本题考查了三角形内角和定理，正确掌握三角形的内角和为180°是解题的关键．
14．（3分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ 6 ．
【分析】根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得AC＝DF＝6．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
15．（3分）如图，AB＝AC，EB＝EC，AE的延长线交BC于D，那么图中全等三角形有 3 对．
【分析】由SSS推出△ABE≌△ACE（SSS）得到∠BAD＝∠CAD，由SAS推出△ABD≌△ACD，得到BD＝CD，由SSS推出△EBD≌△ECD（SSS），
【解答】解：∵AB＝AC，EB＝EC，AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SSS）；
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
∴BD＝CD，
∵EB＝EC，ED＝ED，
∴△EBD≌△ECD（SSS），
∴图中全等三角形有3对．
故答案为：3．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点E，CF平分∠ACD，且 EF∥BC交AC于点G，若CG＝5cm，则EF＝ 10 cm．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△ECG和△GCF是等腰三角形，从而可得GE＝GC＝5cm，GC＝GF＝5cm，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECB，∠ACF＝∠FCD，
∵EF∥BD，
∴∠GEC＝∠ECB，∠F＝∠FCD，
∴∠ACE＝∠GEC，∠ACF＝∠F，
∴GE＝GC＝5cm，GC＝GF＝5cm，
∴EF＝EG+FG＝10（cm），
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
17．（3分）如图，平面直角坐标系中，点A坐标为（3，3），在x轴上确定一点B，使△OAB是等腰三角形，这样的B点有 4 个．
【分析】分别从当OB＝AB时、当OA＝OB时、当OA＝AB时去分析求解即可求得答案．
【解答】解：如图，
当OB＝AB时，B1（3，0），
当OA＝OB时，OB＝OA＝3，此时B2（3，0），B3（﹣3，0），
当OA＝AB时，B4（6，0），
故符合条件的点B共有4个．
故答案为：4．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
18．（3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC，AD于点E，F，M为EF的中点，连接AM并延长交BC于点N，连接DM，下列结论：①AE＝EF；②DF＝DN；③AE＝CN； ④△ADM和△DMN的面积相等．其中正确的结论是 ②③④ ．
【分析】根据题意可得：AB＝AC，∠BCA＝∠ABC＝45°＝∠DAC＝∠DAB，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，即可证AE＝AF，△ADN≌△BFD，△ABF≌△ANC，AM＝MN；即可得结论．
【解答】解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，
∴AB＝AC，∠BCA＝∠ABC＝45°＝∠DAC＝∠DAB，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∵BE是平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEB＝67.5°，∠AFD＝67.5°＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠AEB，
∴AF＝AE≠EF，
故①不符合题意，
∵M是EF的中点，AE＝AF，
∴AM⊥BE，∠DAM＝∠CAM＝22.5°，
∴∠DAN＝∠CBE＝22.5°，
∵∠ADB＝∠ADN，AD＝BD，
∴△ADN≌△BDF（ASA），
∴DF＝DN，
故②符合题意，
∵AB＝AC，∠ACB＝∠DAB＝45°，∠ABF＝∠CAN＝22.5°，
∴△ABF≌△ACN（ASA），
∴AF＝CN，
∵AE＝AF，
∴AE＝CN；
故③符合题意，
∵∠BAN＝∠BAD+∠DAN＝67.5°，∠BNA＝∠ACB+∠NAC＝67.5°，
∴∠BAN＝∠BNA，
∴BA＝BN，
∵AM⊥BE，
∴AM＝MN，
∴△AMD和△DMN的面积相等．
故④符合题意，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定解决问题是本题的关键．
三、解答题：（共6小题，共66分，解答题应写出解答过程.）
19．（10分）如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．求证：△AOB≌△COD．
【分析】根据边角边定理求证△AOB≌△COD．
【解答】证明：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．（10分）如图，AD⊥BC，∠1＝∠B，∠C＝65°．求∠BAC的度数．
【分析】先根据AD⊥BC可知∠ADB＝∠ADC＝90°，再根据直角三角形的性质求出∠1与∠DAC的度数，由∠BAC＝∠1+∠DAC即可得出结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣65°＝25°，∠1＝∠B＝45°，
∴∠BAC＝∠1+∠DAC＝45°+25°＝70°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
21．（10分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣3），B （﹣2，﹣1），C （﹣1，﹣2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.（点A1与点A是对称点，点B1与点B是对称点）；
（2）点B关于y轴对称的点的坐标为 （2，﹣1） ，点B关于直线x＝1对称的点的坐标为 （4，﹣1） ；
（3）平面内一点M（m，m+1）关于y轴对称的点的坐标为 （﹣m，m+1） ，点M关于直线x＝1对称的点的坐标为 （2﹣m，m+1） ．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案；点B关于直线x＝1对称的点的纵坐标相同，横坐标为2×1﹣（﹣2）＝4，即可得出答案．
（3）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案；点（a，b）关于直线x＝m对称的点的坐标为（2m﹣a，b），由此可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）点B关于y轴对称的点的坐标为（2，﹣1）．
点B关于直线x＝1对称的点的纵坐标﹣1，横坐标为2×1﹣（﹣2）＝4，
∴点B关于直线x＝1对称的点的坐标为（4，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）；（4，﹣1）．
（3）平面内一点M（m，m+1）关于y轴对称的点的坐标为（﹣m，m+1）．
点M关于直线x＝1对称的点的纵坐标为m+1，横坐标为2×1﹣m＝2﹣m，
∴点M关于直线x＝1对称的点的坐标为（2﹣m，m+1）．
故答案为：（﹣m，m+1）；（2﹣m，m+1）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CE平分∠ACB，EC＝EA．
（1）求∠A的度数；
（2）若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵EA＝EC，
∴设∠A＝∠2＝x，
∵EC 平分∠ACB，
∴∠ACB＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2x，
在△ABC 中，∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°；
（2）∵∠A＝∠2，
∴∠2＝36°，
∵BD⊥AC，
∴∠DFC＝90°﹣36°＝54°，
∴∠1＝∠DFC＝54°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
【分析】（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代换得到∠GDF＝∠BFE，利用等角对等边得到GF＝GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，
∵E为AB的中点，∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）解：EG与DF的位置关系是EG垂直DF，
理由为：连接EG，
∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE，即GE为DF上的中线，
∴GE垂直DF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
24．（12分）（1）已知：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，求证：DE＝AD+BE．
（2）如图2，若把直线l绕C点旋转到如图所示位置，其他条件不变，请直接写出DE、AD、BE三条线段之间的数量关系（不用说明理由）
（3）已知：如图3，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ECD＝90°，EC＝DC，连接AD、BE，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC交BE于点G，求证：AD＝2CG．
【分析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，由全等三角形的性质可得AD＝CE，BE＝CD，即可求解；
（2）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，可得AD＝CE，BE＝CD，即可求解；
（3）延长CG到R，使得CG＝GR，连接BR．过点B作BM⊥CR于点M，过点E作EN⊥CR于点N，证明△BGM≌△EGN（AAS），由全等三角形的性质得出BG＝EG，证明△BGR≌△EGC（SAS），由全等三角形的性质得出∠R＝∠GCE，证明△ACD≌△CBR（ASA），由全等三角形的性质得出AD＝CR，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．
∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°＝∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，BE＝CD，
∴DE＝DC+CE＝BE+AD；
（2）解：DE＝AD﹣BE，理由如下：
∵AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．
∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°＝∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．
（3）证明：延长CG到R，使得CG＝GR，连接BR．过点B作BM⊥CR于点M，过点E作EN⊥CR于点N，
由（1）可知，△AFC≌△CMB，△FDC≌△NCE，
∴CF＝BM，CF＝NE，∠CAF＝∠BCM，
∴BM＝NE，
∵∠BMG＝∠ENG，∠BGM＝∠EGN，
∴△BGM≌△EGN（AAS），
∴BG＝EG，
∵∠BGR＝∠CGE，CG＝RG，
∴△BGR≌△EGC（SAS），
∴∠R＝∠GCE，
∴BR∥CE，
∴∠RBC+∠BCE＝180°，
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CE＝CD，
∴∠BCE+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝∠RBC，
∴△ACD≌△CBR（ASA），
∴AD＝CR＝2CG．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．