专题05 二次函数图象信息与求线段、面积最值问题之五大题型-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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一次函数、二次函数与图象综合判断
例题：（2023上·山西运城·九年级统考期末）抛物线与直线同一坐标系的大致可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023上·河南新乡·九年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山西晋城·九年级校考期末）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是下图中的（ ）．

A． B． C． D．
二次函数图象与各项系数符号
例题：（2023下·陕西西安·九年级统考期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的为（ ）

A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
【变式训练】
1．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）已知二次函数的图象大致如图所示．下列说法正确的是（ ）

A．
B．当时，
C．
D．若在函数图象上，当时，
2．（2023上·四川广元·九年级统考期末）如图，已知抛物线（为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：；；；④无论取向值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
利用二次函数求线段最值问题
例题：（2023下·陕西西安·九年级统考期末）如图，抛物线经过、两点，点E是线段上一动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的最大值．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P：的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象与抛物线Q：的图象关于原点中心对称．

(1)求抛物线P的表达式；
(2)连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作轴，交抛物线P的图象于点E，求线段DE长度的最大值；
(3)如图②，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023上·河南信阳·九年级校考期末）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长．
(3)求出为何值时有最大值，最大值是多少？
利用二次函数求周长最值问题
例题：（2023上·四川广安·九年级统考期末）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，并与直线交于B，C两点，其中C是直线与y轴的交点，连接．
(1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式；
(2)求证：为直角三角形；
(3)在抛物线的对称轴上有一点P，当的周长最小时，求出点P的坐标．
【变式训练】
1．（2023上·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点坐标为，为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)为该抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标．
(3)当函数的自变量满足时，函数的最小值为3，求的值．
2．（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，以直线为对称轴的抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标是．
(1)点A的坐标为______；
(2)求抛物线的解析式；
(3)如图2，设抛物线的顶点为D，若将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E，若在y轴上存在一点F，连接，，，使得的周长最小，求F点的坐标．
利用二次函数求面积最值问题
例题：（2023上·河南·九年级校联考期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点．

(1)求的值及抛物线的解析式；
(2)若点P是位于直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值及此时点P的坐标．
【变式训练】
1．（2023上·云南昭通·九年级统考期末）已知二次函数的图象过点、．

(1)求b、c的值；
(2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，求P点的坐标；
(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标．
2．（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，且，对称轴交轴于点．直线经过，两点．

(1)求抛物线及直线的函数表达式；
(2)点是直线上方抛物线上一点，是否存在点F使的面积最大，若有则求出点F坐标及最大面积；
(3)连接，若点是抛物线上对称轴右侧一点，点是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）在抛物线上的一个点是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·辽宁大连·九年级统考期末）画二次函数的图象时，列表如下：
关于此函数有下列三个结论：①函数图象开口向上；②当时，y随x的增大而减小；③当时，；其中正确的结论个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（2023上·安徽滁州·九年级校考期末）已知抛物线（为整数）与轴交于点，与轴交于点，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·山西运城·九年级统考期末）二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·广西防城港·九年级统考期末）下列关于二次函数（m为常数）的结论：
①该函数的图象与函数的图象形状相同；
②该函数图象的顶点在函数的图象上；
③当时，y随x的增大而减小；
④该函数的图象一定经过点．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
二、填空题
6．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）二次函数的顶点坐标是 ．
7．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位，就得到抛物线 ．
8．（2023上·山西运城·九年级统考期末）点是抛物线：上一点，将抛物线平移，得到抛物线：，点P平移后的对应点为点，则点坐标为 ．
9．（2023上·河南洛阳·九年级统考期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴x=为且经过点（2，0)，下列说法：①abc<0；②-2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若（），（）；是抛物线上的两点，则⑤其中正确的结论有 ．
10．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中．
（1）此二次函数的对称轴为直线 ；
（2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是 ；
三、解答题
11．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，，点P是直线下方抛物线上的一个动点．过点P作轴，交直线于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值是________；
(3)求的最大值；
12．（2022上·山东青岛·九年级统考期中）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标．
13．（2023下·海南海口·八年级海师附中校考期末）如图，已知抛物线经过点和点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上的一动点（点在直线的下方），过点作轴，交直线于点．设点的横坐标为，求线段的长（用含的代数式表示）；
(3)在（2）的条件下，连接、，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．
14．（2023上·湖北咸宁·九年级统考期末）如图，已知抛物线经过、两点，其对称轴与x轴交于点C．
(1)求该抛物线和直线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，求出P点的坐标；
(3)设抛物线与直线相交于点D，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得的面积等于的面积？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2023上·湖南永州·九年级校考期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点．

(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)当抛物线上的点在上方运动时，求面积的最大值．
(3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点，，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
0
1
0
…