专题06 实际问题与二次函数之五大题型-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

这是一份专题06 实际问题与二次函数之五大题型-【备考期末】2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版），文件包含专题06实际问题与二次函数之五大题型原卷版docx、专题06实际问题与二次函数之五大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。


图形问题
例题：（2023下·广西·八年级南宁十四中校考期末）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长的砖墙，然后打算用长的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于）的长方形施工区域．

(1)设施工区域的一边为，施工区域的面积为．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当围成的施工区域面积为时，的长是多少？
(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用．
【变式训练】
1．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）如图，利用一面墙（墙长20米），用总长43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门．设篱笆长为x米．
(1)______米（用含x的代数式表示）；
(2)矩形鸡舍的面积的最大值是多少？说明理由．
2．（2023上·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形绿化带，一边靠墙，另三边用总长为40米的栅栏围住．设长为x米，绿化带面积为．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大是多少？
(3)若墙长是18米，当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大？
拱桥问题
例题：（2023上·江苏泰州·九年级统考期末）苏北里下河水乡溱潼镇，过去有着“出门就过河”的历史，随着经济的发展，桥梁逐渐增多，其中以新读书址大桥最为壮观．现测得其中一钢架跨径为24m，拱高14.4m，每隔3m有一根立柱．
(1)该钢架可以看作一个二次函数的图像，如右图所示，请建立适当的平面直角坐标系，并写出这个二次函数的表达式；
(2)求制作右图中这七根立柱共需要多长的不锈钢管．
【变式训练】
1．（2023上·安徽池州·九年级统考期末）某段公路上有一条双向线隧道（可双向行驶，车辆不能行驶在中间线上）隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成．以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，已知隧道宽度米，隧道最高处距路面米，矩形的宽米．
(1)求这条抛物线的表达式．
(2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5米，问该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为多少米？
2．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为8米．上的点E到点A的距离米，点E到拱桥顶面的垂直距离米．他们以点A为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式．
(2)求拱桥顶面离水面的最大高度．
(3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米．请通过计算说明该游船是否能安全通过．
销售问题
例题：（2023上·四川泸州·九年级校考期末）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出10台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
(1)求出月销售量（单位：台）与售价（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
(2)当售价定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润（单位：元）最大？最大利润是多少？
【变式训练】
1．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）为了振兴乡村经济，大力发展绿色乡村建设，某乡镇在重点旅游道路边上建设一个小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用 y（元/m2） 与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为20元/m2．花卉布局要求是：甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍．

(1)当时，甲种花卉的种植费用_________元/m2，种植总费用__________元；
(2)如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？
2．（2023下·河南安阳·九年级统考期末）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个．
(1)求第二批每个挂件的进价；
(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
投球问题
例题：（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）小马同学在体育课上积极练习掷实心球，在练习过程中善于观察的他发现，实心球掷出后在空中的轨迹是一条抛物线，每个同学掷实心球的出手高度是一个固定值（身高米）．如图，小马身高1.75米，设他抛出的实心球（记为点）到投掷点的水平距离为（单位：米），实心球（点）在空中的高度为（单位：米），与之间满足的函数表达式为．
(1)的值为________；
(2)当时，
①若实心球落地点为，此时，求小丁本次掷实心球的水平距离；
②落地点要超过，则的取值范围为________；
(3)已知男生掷实心球项目满分为10.30米，小马通过反复练习，使得自己掷出的实心球到投掷点的水平距离为4米时，恰好达到最大高度4米，你认为他能取得满分吗？请说明理由．（参考数据：，，，，）
【变式训练】
1．（2023上·山东淄博·九年级校考期末）如图，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时铅球距地面m，铅球落在点B处，铅球运行中在运动员前方4m处（即达到最高点，最高点距地面的OC=4m)距离为3m，已知铅球经过的路线是抛物线，根据图中的直角坐标系，求该运动员的成绩．
2．（2023上·河南周口·九年级校考期末）掷实心球是河南高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1所示的是一名女生在投实心球，实心球行进路线可近似地看作一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)根据河南高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，当实心球从起点到落地点的水平距离大于等于m时，此项考试得分为满分分.该女生在此项考试中是否得满分？请说明理由.（）
喷水问题
例题：（2023上·浙江杭州·九年级期末）要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
(1)求喷出的水流最高处距离地面多少米？
(2)若喷水池的半径为，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
【变式训练】
1．（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心点竖直安装一根高的水管，在水管的顶端处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高．以池中心为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴建立直角坐标系（如图）．求水柱落地处到池中心的距离．
2．（2023上·江苏盐城·九年级统考期末）城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地竖直高度为．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，
(1)求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
(3)当时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由．
一、单选题
1．（2022上·吉林长春·九年级长春市第四十五中学校考期末）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·安徽芜湖·九年级统考期末）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：）．有下列结论：
①；
②池底所在抛物线的解析式为；
③池塘最深处到水面的距离为；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为．
其中结论错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
二、填空题
4．（2023上·辽宁朝阳·九年级校联考期末）如图是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为米，则水面下降 米．
5．（2023上·广东东莞·九年级校联考期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示．现以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应的函数解析式是，则水管长为 ．
6．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）图1是一座三拱悬索桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点，处．从桥头点处的碑文得知桥面长为270米，小张从桥头点出发到桥尾点的微信步数（步长视为定值）统计如下表：
根据上述数据信息得小张的步长为 米，中间两桥墩的距离 米．
三、解答题
7．（2023上·广西柳州·九年级统考期末）某网店销售一款市场上畅销的电子产品，每个进价为元，当这款电子产品按每个元出售时，一天可售出个．经过市场调查，发现这款电子产品的销售单价每降低元，其日销售量可增加个．设该电子产品每个降价元，网店一天可通过该电子产品获利润元．
(1)求与的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）．
(2)当这款电子产品销售单价为多少元时，该网店每天的销售利润最大?最大利润是多少元？
8．（2023上·陕西延安·九年级统考期末）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为8m，宽为2m，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
(1)求抛物线的解析式．
(2)现有一辆货运卡车，高为5.6m，宽为2.8m，它能从正中间通过该隧道吗？
9．（2023下·山东滨州·八年级统考期末）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料）．设，矩形的面积为．

(1)请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围：
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为？
(3)能否使所围矩形场地的面积为，若能，请算出此时矩形的长与宽，若不能，请说明理由．
10．（2023上·广西玉林·九年级统考期末）如图，一位跳水运动员在进行某次跳台跳水训练时，测得身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线（图中标出的数据为已知条件）．

(1)运动员在空中运动的最大高度离水面为多少m？
(2)如果运动员在距水面高度为以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在一次试跳中，运动员在空中调整好入水姿势时，测得距池边的水平距离为，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
11．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）某超市经销甲、乙两种商品．商品甲每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系，商品乙的成本为4元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有80千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品甲，免费送1千克的商品乙．

(1)直接写出销售量y与销售单价x之间的函数表达式______；
(2)设这两种商品的每天销售总额为S元，求出S（元）与x（元/千克）的函数关系式：（注：商品的销售额销售单价销售量）
(3)设这两种商品销售总利润为W，若商品甲的售价不低于成本，不超过成本的，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？
（注：销售总利润两种商品的销售总额两种商品的总成本）
12．（2023下·北京海淀·八年级清华附中校考期末）排球场的长度为，球网在场地中央且高度为，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．

(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下：
①根据上述数据，求抛物线解析式；
②判断该运动员第一次发球能否过网______ 填“能”或“不能”．
(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
计数位置
点
点
点
点
点
点
步数/步
0
140
180
360
400
540
水平距离
竖直高度