初中苏科版6.3 相似图形课时练习

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知识精讲
知识点01 相似形
1.定义:形状相同的图形叫做相似形。
【即学即练1】把左图放大2倍，可以得到的图形是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】根据相似图形的性质即可得出结论．
【详解】设一个小正方格边长为1cm，
因为把左图放大2倍，即放大前后的图形对应边的比是1∶2，
所以得到的图形为宽4cm，长6cm．
所以选项D符合题意．
故选：D．
知识点02 相似多边形
1.相似多边形：对于两个边数相等的多边形，如果他们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
【微点拨】（1）所有的正多边形都是相似多边形，例如：等边三角形、正方形、正五边形等。
（2）相似多边形的对应边、对应角分别写在对应的位置上。
【即学即练2】下列两个图形一定相似的是（ ）
A．任意两个矩形B．任意两个等腰三角形
C．任意两个正方形D．任意两个菱形
【答案】C
【分析】根据相似多边形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，A错误，不符合题意；
B、任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，B错误，不符合题意；
C、任意两个正方形对应角对应相等、边的比相等，所以相似，C正确，符合题意；
D、任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，D错误，不符合题意，
故选：C．
2.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
【微点拨】用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
【即学即练3】如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【详解】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，

则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则，
设DF=xcm，得到：
解得：x=4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．
故选：A．
能力拓展
考法01 相似图形
【典例1】下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．
考法02 相似多边形
【典例2】如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）
A．2：1B．1：2
C．3：2D．：1
【答案】D
【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解即可．
【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y=y：，
解得x：y= ．
故选：D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．观察下列每组图形，是相似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据相似图形的定义进行判断即可．
【详解】A．两图形形状相同，是相似图形，故A正确；
B．两图形形状不同，不是相似图形，故B错误；
C．两图形形状不同，不是相似图形，故C错误；
D．两图形形状不同，不是相似图形，故D错误．
故选：A．
2．在下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
B．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
C．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
D．形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，此选项符合题意；
故选：D．
3．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据相似多边形的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
故选：A．
4．若两个相似多边形的面积比为4：9，则它们的对应边的比是（ ）
A．3：2B．2：3C．9：4D．4：94
【答案】B
【分析】根据“相似多边形的面积比等于相似比的平方”解决问题即可．
【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，
∴它们的对应边的比2：3．
故选：B．
5．下列与相似有关的命题中，正确的是（ ）
①所有的等腰三角形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的正六边形都相似．
A．①②③B．①C．②D．③
【答案】D
【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①所有的等腰三角形都不一定相似，故原说法错误，不符合题意；
②所有的矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不都相似，故原命题错误，不符合题意；
③所有的正六边形都相似，正确，符合题意，
故选：D．
6．古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线利用数学原理，来测量金字塔的高度．如图，在某一时刻，测得木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，同时测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是（ ）
A．图形的轴对称B．图形的平移
C．图形的旋转D．图形的相似
【答案】D
【分析】由题意依据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似即可得出答案．
【详解】解：因为同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，
所以在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是图形的相似.
故选：D.
7．两个相似三角形的相似比为4：3，周长之比为___
【答案】4∶3
【分析】根据相似多边形相似比的定义和性质解答即可；
【详解】解：两个相似三角形的相似比为4：3，由相似多边形的性质，
∴两个相似三角形周长之比为4：3
故答案为：4：3；
8．如图，矩形ABCD∽矩形BCEF，若AB=8，BC=6，则CE的值为______．
【答案】
【分析】利用相似多边形的性质求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD∽矩形BCEF，
∴，
∴，
故答案为：．
9．如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为______．
【答案】15cm
【分析】根据相似多边形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD与另一个四边形相似，
∴设另一个四边形的最短边的长度为x，
∴，解得：．
∴这个四边形的最短边的长度为15cm．
故答案为：15cm．
10．四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，它们的面积比为9︰4，四边形ABCD的周长是24，则四边形A1B1C1D1的周长 ______．
【答案】16
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，根据相似多边形的周长之比等于相似比计算即可．
【详解】解：设四边形A1B1C1D1的周长为x，
∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，它们的面积比为9：4，
∴四边形ABCD的周长：四边形A1B1C1D1的周长=3：2，
∴24：x=3：2，
解得，x=16，
故答案为：16．
题组B 能力提升练
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．任意两个正方形都相似B．三点确定一个圆
C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于6D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】A
【分析】根据相似多边形的判定、概率的意义、确定圆的条件以及随机事件的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A.∵正方形的四条边都相等，四个角都是直角，∴任意两个正方形都相似是必然事件，故选项符合题意；
B.∵不在同一直线上的三点确定一个圆，∴三点确定一个圆是随机事件，故选项不符合题意；
C.∵抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于或等于6，∴抛掷一枚骰子，朝上面的点数小于6是随机事件，故选项不符合题意；
D.∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，∴相等的圆心角所对的弧相等是随机事件，故选项不符合题意；
故选：A．
2．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．两个菱形一定相似B．两个等腰直角三角形一定相似
C．两个矩形一定相似D．两个周长相等的三角形一定相似
【答案】B
【分析】两个边数相同的多边形，如果对应边成比例，对应角相等，则称这两个多边形是相似多边形，根据相似多边形概念即可得出答案．
【详解】A：两个菱形不一定相似，因为不能保证对应角相等，故A不正确；
B：两个等腰直角三角形一定相似，因为两边成比例及其夹角相等，故B正确；
C：两个矩形不一定相似，因为不能保证对应边成比例，故C不正确；
D：两个周长相等的三角形不一定相似，因为不能保证对应边成比例、对应角相等，故D不正确；
故选：B．
3．如图，四边形四边形，，，
，则∠D的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】C
【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形， ，
∴．
∵四边形ABCD的内角和为，，，
∴ ．
故选：C．
4．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论．
【详解】解∶∵，，，，
∴，
∴B选项不符合标准，
故选∶B．
5．对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．
甲方案：如图1所示，最大值为16；
乙方案：如图2所示，最大值为16．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．甲方案正确，周长和的最大值错误
B．乙方案错误，周长和的最大值正确
C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确
D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
【答案】D
【分析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可．
【详解】解：∵6：2=3：1，
∴三个矩形的长宽比为3：1，
甲方案：如图1所示，
3a+3b=6，
∴a+b=2，
周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
乙方案：如图2所示，
a+b=2，
周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
如图3所示，
矩形①的长为2，则宽为2÷3=；
则矩形②的长为6-=，宽为÷3=；
∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+)+2(+)=；
∵16，
∴周长和的最大值为；
故选：D．
6．如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）
A．2：1B．3：1C．3：2D．
【答案】D
【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，根据得到的两个矩形都和原矩形相似，有，计算求解即可．
【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，
∴对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴，
∴，
解得．
故选D．
7．有一块多边形的草坪，在市政建设设计图纸上的面积为100平方厘米，图纸上某条边的长度为5厘米.经测量，这条边的实际长度为20米，则这块草坪的实际面积为________平方米.
【答案】160
【分析】首先设这块草坪的实际面积是xcm2，根据比例尺的性质，即可得方程，解此方程即可求解．
【详解】解：设这块草坪的实际面积是xcm2．
根据题意得：，
解得：x=1600000，
经检验，x=1600000是方程的根，且符合题意，
∴这块草坪的实际面积为：1600000cm2=160m2，
故答案为：160．
8．图，方桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影（正方形）示意图，已知方桌边长，桌面离地面，灯泡离地面，则地面上阴影部分的面积为__________．
【答案】
【分析】将四棱锥中高的比转化为相似比解答．，再利用面积比等于相似比的平方，求地面上阴影部分的面积即可.
【详解】
解：根据题意由图可知，
，
由于面积比等于相似比的平方，
故地面上阴影部分的面积为，
故答案为：．
9．某公司举办“建党100周年”文艺汇演，舞台AB长为24米，主持人小军主持节目时，站在离点A最长__________米处，主持节目效果最佳．
【答案】（12 －12）
【分析】直接将24乘以黄金分割比即可求解．
【详解】解：；
故答案为：．
10．如图，六个含30°角的直角三角板拼出两个正六边形，若大正六边形的面积为6，则中间小正六边形的面积为______________．
【答案】
【分析】利用△ABG≌△BCH得到AG=BH，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到BG=2AG，AB=AG，接着证明HG=AG，所以AB=HG．再利用相似多边形的性质求解即可．
【详解】解：∵△ABG≌△BCH，
∴AG=BH，
∵∠ABG=30°，
∴BG=2AG，AB=AG，
即BH+HG=2AG，
∴HG=AG，
∵AB=HG，
∴大小两个正六边形的边长比AB：GH的值为．即相似比为．
∵大正六边形的面积为6，
∴小正六边形的面积为6÷=
故答案为：．
题组C 培优拔尖练
1．下列命题中，假命题的是( )
A．顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形
B．各边对应成比例的两个多边形相似
C．反比例函数的图象既是轴对轴图形，也是中心对称图形
D．三角形的外心到三个顶点的距离相等
【答案】B
【分析】根据菱形的判定定理、相似多边形的定义、轴对称和中心对称图形的判别、三角形的外心的性质，即可一一判定
【详解】A．顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形，故此命题是真命题，不符合题意；
B．各边对应成比例、各角对应相等的两个多边形相似，故此命题是假命题，符合题意；
C．反比例函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此命题是真命题，不符合题意；
D．三角形的外心到三个顶点的距离相等，故此命题是真命题，不符合题意．
故选：B．
2．下列各组图形中，能够相似的一组图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、对应边的比值不相等，对应角不对应相等，不符合相似形的定义，故错误；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故正确;
C、形状不同，不符合相似形的定义，故错误；
D、形状不同，不符合相似形的定义，故错误．
故选：B．
3．如图，在矩形ABCD中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，，的长，从而可发现规律，根据规律即可求得．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，，，
∴，
∴．
∵按逆时针方向作矩形ADCB的相似矩形，
∴矩形的边长和矩形ADCB的边长的比为，
即，
∴，
∴ ，
依此类推，．
故选：A．
4．两张全等的矩形（非正方形）纸片按如图呈中心对称方式放置在一个大正方形内，记重叠部分为①，不重叠部分为②和③；若已知正方形面积，且图形①和图形③相似，则下列可求的是（ ）
A．矩形的面积B．矩形的周长C．图形①的面积D．图形②的面积
【答案】B
【分析】设正方形的边长为c，矩形的长、宽分别为a、b，得到，进而求解．
【详解】解：设正方形的边长为c，矩形的长、宽分别为a、b，
则，
化简后得到，
，
，
，
即矩形的周长为．
故选：B．
5．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，且，则四边形与四边形的面积之比等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据位似的性质得到四边形ABCD和四边形AEFG的相似比为2：3，然后根据相似多边形的性质求解．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG是以点A为位似中心的位似图形AC：AF=2：3，
∴四边形ABCD和四边形AEFG的相似比为2：3，
∴四边形ABCD与四边形AEFG的面积比为4：9．
故选：B．
6．将一张长方形纸片对折，若得到的小长方形与原长方形相似，则原长方形的长与宽的比是_________．
【答案】∶1
【分析】设AE＝ED＝a，AB＝b，根据每一个小长方形与原长方形相似，可知，再由a，b均为正数可知b＝a，由此即可得出结论．
【详解】解：设AE＝ED＝a，AB＝b，
∵每一个小长方形与原长方形相似，
∴ ，
∴b2＝2a2，
∵a，b均为正数，
∴b＝a，
∴，
∴原长方形的长与宽之比为：1．
故答案为：：1．
7．将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若AB=2AD，则的值为________.
【答案】
【分析】如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先证明x=3b-2a，利用相似三角形的性质构建关系式，即可解决问题．
【详解】解：如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，
∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，
∴CD=2a-b，
∵KQ=PF，
∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，
∴x=3b-2a，
∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，
∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，
∴∠EFH=∠FTP，
∴△EHF∽△FPT，
∴，
∴，
整理得，3b2-15ab+14a2=0，
∴b=a，
∵4a-2b＞0，
∴＜2，
∴=．
故答案为：．
8．四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．若∠D=90°，∠B'=108°，∠C'=92°，则∠A=________°．
【答案】70
【分析】根据相似四边形的对应角相等，得到，利用四边形内角和360°，求得的度数即可．
【详解】∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴，
∵∠D=90°，∠B'=108°，∠C'=92°，
∴∠A=360°-90°-108°-92°=70°，
故答案为：70．
9．如图，已知矩形矩形BCFE，，则AB的长为______．
【答案】
【分析】根据矩形的性质求出BC，利用相似的性质得到，代入数值求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=1，
∵矩形矩形BCFE，
∴，
∵，
∴，
解得AB=（负值舍去），
故答案为：．
10．完成下列各题：
(1)如图，一个矩形的长，宽，按照图中所示的方式将它分割成相同的三个矩形，且每个小矩形与原矩形相似，求的值．
(2)如图，正方形的对角线交于点，正方形与正方形的边长相等．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形的面积有什么关系？请证明你的结论．
(3)一名跳水运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度满足关系：，那么他最多有多长时间完成规定动作？
【答案】(1)
(2)重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的，证明见解析
(3)
【分析】（1）由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可；
（2）根据正方形的性质得出OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，推出∠A'OB＝∠COC'，证出△OBM≌△OCN；
（3）运动员必须在起跳做完动作t（s）后刚好距离水面h等于5m或大于5m，所以满足的关系，首先求出h＝5时的时间t的值，即运动员用的最多的时间．
【解析】（1）解：∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
解得或（舍去）
∴；
（2）解：重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的．
理由如下：如图，
∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，
∴∠A'OB＝∠COC'．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积，
即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的．
（3）解：依题意：，
整理，得，即
解得（舍去）
所以运动员最多有约s的时间完成规定动作．
课程标准
课标解读
掌握相似多边形的概念及性质运用
1.了解形状相同的图形是相似的图形，能在诸多图形中找出相似图形；
2.理解相似多边形、相似比的概念；