初中数学苏科版九年级下册7.3 特殊角的三角函数课时练习

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知识精讲
知识点 特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
【微点拨】
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
【即学即练1】（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值直接求解即可．
【详解】解：，
故选A．
【即学即练2】计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将锐角三角函数值代入计算，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：
=
=
故选：D．
【即学即练3】在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．直角三角形
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值可判断，，从而可求出，即证明的形状是直角三角形．
【详解】∵，都是锐角，且，，
∴，，
∴，
∴的形状是直角三角形．
故选D．
能力拓展
考法01 求特殊角的三角函数值
【典例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点H是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD＝4，则线段BH的长度为（ ）
A．6B．C．8D．
【答案】C
【分析】结合题意，根据直角三角形两锐角互余、三角函数、分式方程的性质，得，再根据等腰三角形和三角函数的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，得
∴
∴
∵CD＝4
∴
∴
经检验，是的解
∵∠ABC＝45°，∠CAD＝30°，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
经检验，是的解
故选：C．
考法02 特殊角三角函数函数值的混合运算
【典例2】下列计算中错误的是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得．
【详解】A、，此项错误；
B、，此项正确；
C、，则，此项正确；
D、，则，此项正确；
故选：A．
分层提分
题组A 基础过关练
1．的值是（ ）．
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用特殊角的三角函数值来计算即可．
【详解】解：2sin30°
=2×
=1
故选：A
2．计算的值为（ ）
A．B．-2C．D．
【答案】A
【分析】将tan30°的值代入计算即可．
【详解】解：，
故选：A．
3．下列三角函数的值是的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】A、＝，符合题意；
B、＝，不符合题意；
C、＝，不符合题意；
D、＝，不符合题意；
故选A．
4．点关于y轴对称的点的坐标是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y轴对称的坐标即可．
【详解】解：∵sin60°＝，cs30°＝，
∴点（，）关于y轴对称的点的坐标是（，）．
故选：C．
5．计算的结果，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．
【详解】解：
＝
＝
＝．
故选：B
6．下列关于运用计算器的说法不正确的是（ ）．
A．用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键
B．要启动计算器的统计计算功能应按的键是
C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键
D．用计算器计算时，依次按键显示结果是0.5
【答案】D
【分析】根据计算器基础知识， 作用是某个键的功能即时转换为上方标注的功能；作用是启动计算器的统计计算功能；作用是将显示屏所显示的数字全部清除；用计算器计算锐角的三角函数值，即可判断选项正误，从而得到符合题意的选项．
【详解】解：A选项，用计算器计算时，在按、、这三种键之前应先按键，说法正确，不符合题意；
B选项，要启动计算器的统计计算功能应按的键是，说法正确，不符合题意；
C选项，启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键，说法正确，不符合题意；
D选项，用计算器计算时，依次按键显示结果是0.866025403，不是0.5，说法错误，符合题意．
故选：D．
7．计算 ＝_____．
【答案】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值化简，进而得出答案．
【详解】解：原式＝
＝1﹣
＝
故答案为：．
8．比较与的大小，结果为：______．
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值直接比较即可．
【详解】解：，，
∵，
∴，
故答案为：．
9．计算：______
【答案】
【分析】直接利用零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
=．
故答案为：．
10．计算 的结果是_______________．
【答案】
【分析】根据根式乘除法运算规则以及特殊角度三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
题组B 能力提升练
1．下列运算中，结果正确的的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据负整指数幂运算法则计算并判定A；根据零指数幂运算法则计算并判定B；根据合并同类项法则判定C；根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算并判定D．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
D．，故此选项符合题意；
故选：D．
2．下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、幂的乘方运算法则、二次根式的乘除法、整式的乘除法则分别判断得出答案．
【详解】解：A．，故此选项错误；
B．故此选项错误；
C．与无意义，故此选项错误；
D．，故此选项正确；
故选：D．
3．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接EA、EC，先证明∠AEC=90°，E、C、B共线，再根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题．
【详解】解：如图，连接EA，EC，
设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°，
∴∠ECB=180°，
∴E、C、B共线，
在Rt△AEB中，tan∠ABC===．
故选：A．
4．如图，，平分，交于，交于．若，则等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】过D点作DG⊥AC于G点，通过DF⊥AB，DE⊥DF，可得，进而有∠BAD=∠ADE，∠DAE=∠ADE=15°，即可得AE=DE=8，易证得，即可求解DF=DG=4．
【详解】过D点作DG⊥AC于G点，如图，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠CAD=15°，
又∵DF⊥AB，DE⊥DF，
∴，∠AFD=∠AGD=90°，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠DAE=∠ADE=15°，
∴△AED是等腰三角形，
∴AE=DE=8，∠DEC=∠EDA+∠EAD=30°，
在Rt△DEG中，有，
∴DG=4，
∵∠AFD=∠AGD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴，
∴DF=DG=4，
故选：B．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【答案】C
【分析】求出∠DAE的度数，再利用弧长计算公式求出即可．
【详解】解：由题意可知：AE＝AD＝BC＝2，
在Rt△ABE中，sin∠AEB＝＝＝，
∴∠AEB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
的长度为 ＝＝，
故选：C．
6．如图，是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，，过点作⊙O的切线交的延长线于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图，连接，，，，进而可求正弦值．
【详解】解：如图，连接，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7．计算的值为_____________.
【答案】1
【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】
，
故答案为：1．
8．_________．
【答案】
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】
．
9．计算：_____．
【答案】
【分析】先计算特殊角三角函数值，然后根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)0；(2)．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
题组C 培优拔尖练
1．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若，则的长为（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】D
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，设AB=AC=x，则AD=x-2，根据等腰Rt△ABC中，，得到∠C=45°，根据BD为△ABC的角平分线，∠A=90°，DE⊥BC，推出DE=AD=x-2，运用∠C的正弦即可求得．
【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，则∠DEB=∠DEC=90°，
设AB=AC=x，则AD=x-2，
∵等腰Rt△ABC中，，∠A=90°，AB=AC，，
∴∠C=（180°-∠A）=45°，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴DE=AD=x-2，
∵，
∴，
∴，即．
故选D．
2．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过E点作EM⊥BC于M点，作EN⊥AB于N点，利用解含特殊角的直角三角形，得到MC=、BM=，根据BM+MC=BC=4，求出EM，进而求出BM，依据NE⊥AB，EM⊥BC，且∠ABC=90°，可知四边形BMEN是矩形，则有NE=BM=1，根据即可求解．
【详解】过E点作EM⊥BC于M点，作EN⊥AB于N点，如图，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∵∠BCE=30°，
∴∠EBC=60°，
∵EM⊥BC，
∴在Rt△EMC中，
∴tan∠ECM==tan30°=，
∴MC=，
∴∴在Rt△EBM中，
∴tan∠EBM==tan60°=，
∴BM=，
∵BM+MC=BC=4，
∴+=4，
∴，
∴BM=，
∵NE⊥AB，EM⊥BC，且∠ABC=90°，
∴四边形BMEN是矩形，
∴NE=BM=1，
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴，，
∴，
故选：C．
3．如图，在菱形ABCD中，AC＝CD，则csB的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据菱形的性质可得AB=CD=BC，再根据AC=CD，可证得△ABC是等边三角形，可得∠B＝60°，最后根据特殊角的三角函数值即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC，
∵AC=CD，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴．
故选：D．
4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝30°，AB＝6，则BD的长为（ ）
A．3B．3C．5D．5
【答案】B
【分析】根据圆的切线性质，圆的基本性质，特殊角的函数值计算选择即可．
【详解】解：∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝60°，
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，
∴BD＝AB•sin60°＝6×＝3，
故选：B．
5．如图，已知的两条弦，相交于点，，，连接OE，若E为AC中点，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由圆周角定理可知，再在中求出；因为E为AC中点，由垂径定理的逆定理可知，即，进而计算出，然后求的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵E为AC中点，
∴，即，
∴，
∴．
故选：A．
6．如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点B(，2)．D是边BC上一点(不与点B重合)，过点D作DE∥OB交OC于点E．将该纸片沿DE折叠，得点C的对应点C′．当点C′落在OB上时，点C′的坐标为________．
【答案】
【分析】根据B点坐标可求出AB、OB，得到，所以，，再利用折叠与平行的性质，证明△OEC′是等边三角形，OE=CD=，然后可利用三角函数求出点C′的坐标．
【详解】∵点B坐标为(，2)，
∴AB=2，OA=，
∴
∴
∴，
∵C′是C关于DE的对称点
∴， EC=EC′
∵DE∥OB
∴=60°
∴∠OE C′=180°-2×60°=60°
∴△OE C′是等边三角形
∴OE= EC=EC′==
∴C′横坐标=，纵坐标=
∴C′坐标为
7．两块全等的等腰直角三角形如图放置，交于点P，E在斜边上移动，斜边交于点Q，，当是等腰三角形时，则的长为___________．
【答案】或或
【分析】解答时，分BE=PE，PB=PE和BP=BE三种情况求解即可．
【详解】解：当BE=PE时，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠BPE=45°，∠BEP=90°，∠QEC=45°，∠EQC=90°，
∴PE=BE=BPsin45°=，EQ=CQ=ECsin45°=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=．
当PB=PE时，
根据前面计算，得到BH=PH=3，
∴BH=HE=3，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠EQC=45°，∠CEQ=90°，EC=EQ=BC-BE=10-6=4，
∴CQ=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=．
当BP=BE时，
∵∠B=∠C=∠DEF=∠DFE=45°，
∴∠BPE=∠BEP=∠QEC=∠EQC，
∴PE=BE=，EQ=CQ=BC-BE=，
∵ BC=10，
∴AC=BCsin45°=，
∴AQ=AC-QC=，
综上所述AQ的长为或或，
故答案为：或或．
8．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积______．
【答案】
【分析】首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB的面积，继而求得阴影部分面积．
【详解】解：如图，连接OD，
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴OC=OB•tan∠CBO=6，
∴S△BDC=S△OBC=×OB×OC=×6×=6，
S扇形AOB=π×62=9π，
∴整个阴影部分的面积为：S扇形AOB-S△BDC-S△OBC=9π-6-6=9π-12，
故答案为：.
9．在平面直角坐标系中，过O点的直线分别交函数，的图象于点A，B，作轴于点C，作交的图象于点D，连接．若的面积为2，则k的值等于______．
【答案】
【分析】先作DE⊥x轴，设点A的坐标，可表示AC，OC，再根据，表示出EO，然后根据四边形AOFC是平行四边形，得FO，∠A=∠CFO=∠DFE，可知EF，再表示出DE，最后根据三角函数值相等求出答案．
【详解】如图，过点D作DE⊥x轴于点E．
设点，则，．
∵，
∴，
解得EO=-4a．
由题意可知四边形AOFC是平行四边形，
∴FO=-a，∠A=∠CFO=∠DFE，
∴EF=-3a．
令x=-4a，得，
∴．
∴，
即，
解得k=-12．
故答案为：-12．
10．计算：
【答案】2+3
【分析】利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值
【详解】解：原式＝
＝
＝2+3．
11．计算：．
【答案】＋
【分析】先代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算即可．
【详解】解：原式＝2×＋×＋×－1
＝＋＋－1
＝＋
12．如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为，请解决下列问题：
(1)若点P在边AC上，当为何值时，APQ为直角三角形？
(2)是否存在这样的值，使APQ的面积为cm2 ？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1.2或3
(2)存在，或4
【分析】（1）当APQ为直角三角形时，∠A=60度，所以可能只有∠APQ=90°或∠AQP=90°，当∠APQ=90°时，∠AQP=30°，AP=AQ，求出t=1.2秒；当∠AQP=90°时，∠APQ=30°，AQ=AP，求得t=3秒；
（2）当点P在AC上时，边AQ=6-t，算出AQ上的高PD=，即可写出（6-）●=，求得t=3-；当点P在BC上时，算出AQ边上的高PF=，即可写出（6-）●=，求得t=4．
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA=6，∠A=∠B=∠C=60°，
当点P在边AC上时，由题意知，AP=2，AQ=6-，
当∠APQ=90°时，AP=AQ，即2=（6-），解得=1.2，
当∠AQP=90°时，AQ=AP，即6-=×2，解得=3，
所以，点P在边AC上，当为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；
（2）存在
①当点P在边AC上时，此时0≤≤3，
过点P作PD⊥AB于点D，
在Rt△APD中，∠A=60°，AP=2，
∴sinA=，即sin60°==，
∴PD=，S△APQ=AQ●PD=（6-）●，
由（6-）●=，得（不合题意，舍去），；
②当点P在边BC上时，此时3≤≤6，
如图，过点P作PF⊥AB于点F，
在Rt△BPF中，∠B=60°，BP=12-2，
∴sinB=，即sin60°==，
∴PF=，S△APQ=AQ●PF=（6-）●，
由（6-）●=得
因此，当t为s或4s时，△APQ的面积为．
课程标准
课标解读
1.知道特殊锐角30°、45°、60°三角函数值。
2.了解特殊角与其三角函数之间的对应关系。
3.学会利用特殊角的三角函数值进行求值和化简。
能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义。
会计算含有30°、45°、60°角的三角函数的值。
能根据30°、45°、60°角的三角函数值，求出相应锐角的大小.
锐角α
30°
45°
1
60°