初中数学苏科版九年级下册7.6 用锐角三角函数解决问题同步训练题

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知识精讲
知识点01 坡度的概念，坡度与坡角的关系
如图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作
坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角．从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
【微点拨】在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
【即学即练1】已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（ ）
A．米B．20米C．米D．米
【即学即练2】如图，一斜坡上栽树，相邻在坡面上的距离m，水平距离为12m，则该斜坡坡度为（ ）
A．5∶12B．12∶13C．12∶5D．
知识点02 仰角、俯角的定义
如图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。图中的∠β就是俯角， ∠α就是仰角。
【即学即练3】如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光线刚好不能直接射人室内，则m的值是（ ）
A．m=+0.8B．m=+0.2C．m=-0.2D．m=-0.8
【即学即练4】如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A．B．C．D．
能力拓展
考法 方位角问题
【典例】如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处．然后右转40°再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（ ）
A．北偏东20°B．北偏东30°C．北偏东35°D．北偏东40°
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．mB．mC．8mD．4m
2．如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5米B．米C．米D．米
4．如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )
A．B．C．D．
6．如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，若在AC上取一点B，使∠ABD＝145°，BD＝500米，∠D＝55°．要使A、C、E成一条直线，开挖点E与点D的距离是（ ）米．
A．500sin55°B．500cs55°C．500tan55°D．500cs35°
7．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为________．（sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37° ≈0.75）
8．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m．
9．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC为4米，，则梯子的长是__________ 米．
10．某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：）
题组B 能力提升练
1．如图，在一艘小船A上测得海岸上高为的灯塔的顶部处的仰角是，则船离灯塔的水平距离等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为海里．观测站B到AC的距离BP是（ ）
A．B．1C．2D．
3．河堤横断面如图所示，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AC的长是（ ）
A．5米B．10米C．15米D．10米
4．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点之间的距离为35米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．35sin米B．米C．35cs米D．米
5．如图，武汉起义门城楼BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆AB的高度约为____________m．（结果保留小点后一位，参考数据：，，，≈1.41）．
6．如图，小明利用一个锐角是的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为，为（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是________．
7．北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为50m，坡AB的坡比为3：4，则铅直高度AH为________m．
8．如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°方向以34海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿北偏西45°方向出发，2小时后两船在P处相遇，则乙货船每小时航行___________海里（结果保留根号）．
9．如图，从气球A上测得正前方的河流两岸B、C的俯角分别为60°和37°，此时气球的高是60m，求河流的宽度BC．（精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
10．小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据（tan60°=≈1．73）
(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太阳照射到室内区域面积为___________．（结果保留根号）
(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内此时的CD，并求此时CD的长．（结果保留根号）
题组C 培优拔尖练
1．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为．已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i=5：12，求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程（ ）米.（结果精确到0.1米）（测倾器的高度忽略不计，参考数据：，）
A．B．C．D．
2．如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点A的高AE＝a米，水平赛道BC＝b米，赛道AB，CD的坡角均为θ，则点D与点A的水平距离DE为( )
A．米B．( b)米C．(a-b)sinθ米D．(a﹣b)csθ米
3．如图，已知楼高AB为50m，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD为50m，塔高DC为m，下列结论中，正确的是（ ）
A．由楼顶望塔顶仰角为60°
B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30°
D．由楼顶望塔基俯角为30°
4．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，则大楼AB的高度为( )
（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
A．30.4B．36.4C．39.4D．45.4
5．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则风车叶片转动时，叶片外端离地面的最大高度等于____米．
6．东太湖风景区美丽怡人，如意桥似浮在太湖之上富有灵动起飞的光环．小亮在如意桥上看到一艘游艇迎面驶来，他在高出水面的A处测得在C处的游艇俯角为；他登高到正上方的B处测得驶至D处的游艇俯角为，则两次观测期间游艇前进了___________米．（结果精确到，参考数据：）
7．如图1，是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．如图2，是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝28°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
（1）闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离为______．
（参考数据：，，）；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的1.5倍，120人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约2分钟，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为______人．
8．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为320cm，AB坡度i＝1：，BE＝CA＝60cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢EF的长度是___________cm.（结果保留根号）
9．如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得，求的长度．(结果精确到)（参考数据：）
10．小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）
11．某项目学习小组用测倾仪、皮尺测量小山的高度，他们设计了如下方案（如图）：①在点A处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角的度数；②在点A与小山之间的B处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角的度数（点A，B与N在同一水平直线上）；③量出测点A，B之间的距离．已知测倾仪的高度米，为减小误差，他们按方案测量了两次，测量数据如下表（不完整）：
(1)写出的度数的平均值．
(2)根据表中的平均值，求小山的高度．（参考数据：）
(3)该小组没有利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）
12．如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：，，．
(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？
课程标准
课标解读
1.通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。
2.了解测量中坡度、坡角的概念。
3.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题。
比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，提高把实际问题转化为数学问题的能力。
测量项目
第一次
第二次
平均值
的度数
（度）
的度数
A，B之间的距离
150.2米
149.8米
150米