初中数学北师大版九年级下册1 锐角三角函数课时作业

这是一份初中数学北师大版九年级下册1 锐角三角函数课时作业，文件包含北师大版九年级数学下册同步精品讲义第01讲锐角三角函数和特殊角原卷版docx、北师大版九年级数学下册同步精品讲义第01讲锐角三角函数和特殊角解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。

知识精讲
知识点01 锐角的正切
1．正切的定义
如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的 的比便随之确定，这个比叫做的正切值。记作tanA，即tanA=。
2．注意事项
（1）tanA是一个完整的符号，它表示的正切，不能写成。
①对于用一个大写英文字母或希腊字母，等表示的角，表示正切时习惯省去角的符号“”，如tanA，tan等。
②对于用三个大写英文字母或阿拉伯数字表示的角，角的符号“”不能省略，如tan，tan等。
（2）tanA没有单位，它的值只与的大小有关，与所在的直角三角形的边长无关。
（3）tanA的平方用“”表示，的2倍用“2”表示。
提示：
①锐角A的大小确定之后，它所在的直角三角形的对边与邻边之比也随之确定，即锐角的正切值的大小只与锐角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关。
②对于锐角A来说，的取值范围是，的值随锐角A的增大而增大。
知识点02 坡度与坡角
1．定义
如图所示，我们通常把坡面的 的比叫做坡度（或坡比），坡度常用字母i表示。把坡面与水平面的夹角称为坡角。
2．两者之间的关系
坡度是坡角的 ，即。
知识点03 锐角的正弦、余弦
1．正弦
如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的 的比便随之确定，这个比叫做的正弦。记作sinA，即sinA=。
2．余弦
如图所示，在中，，如果锐角A确定，那么的 的比便随之确定，这个比叫做的余弦。记作csA，即csA=。
注意：
(1)正弦、余弦的定义与正切一样，是在直角三角形中对其锐角定义的，它们实质上是两条线段的长度之比，是一个数值，没有单位，其大小与角的大小有关，与所在的直角三角形的三条边长无关。
(2)对于用一个希腊字母或一个大写英文字母表示的角，角的符号“”习惯上省略不写，但对于用三个大写英文字母或一个阿拉伯数字表示的角，角的符号“”不能省略，如sinABC，sin1。
(3)sin，cs都是一个完整的符号，不能把sin写成sin，离开了的sin是没有意义的。
(4)sin²A表示sinA·sinA=(sinA)2，不能写成sinA2；cs2A表示csA·csA=(csA)2，不能写成cs A2。
知识点04 锐角三角函数的概念
（1）锐角A的 、 和 都是的三角函数。当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化。
（2）同角的正弦、余弦之间的关系（平方关系）：。
（3）同角的正弦、余弦与正切之间的关系（商的关系）：。
（4）互余两角的三角函数之间的关系：锐角A，B，且，则，，。
知识点05 梯子的倾斜程度与三角函数的关系
如图所示，若AB表示倾斜靠墙的梯子，则梯子的倾斜程度与它的倾斜角有关，倾斜角越大，梯子越陡。
tan的值 ，梯子越陡；
sin的值 ，梯子越陡；
cs的值 ，梯子越陡。
知识点06 ，，角的三角函数值
1．图示记忆法
根据正弦、余弦和正切的定义，结合下图，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。
2．表格记忆法
提示：锐角三角函数值的增减变化
（1）当角度在~之间变化时，正弦值随角度的增大而增大；余弦值随角度的增大而减小；正切值随角度的增大而增大。
（2）当锐角时，；
当锐角时，；
当锐角时，。
知识点07 特殊角的三角函数值的实际应用
利用三角函数解应用题的一般步骤：
（1）根据实际问题，构造出含有特殊角的直角三角形，建立三角函数模型；
（2）利用三角函数的定义表示题目中相关的量；
（3）找出各个量之间的关系；
（4）利用已知量与未知量的关系求出未知量；
（5）作答。
能力拓展
考法01 利用锐角三角函数求线段长或面积
【典例1】如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（ ）
A．msin40°B．mcs40°C．D．
【即学即练】已知在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=2，tan∠ABC=2.以AB为边向三角形外部作正方形，则该正方形的面积是（ ）
A．8B．12C．18D．20
考法02 求锐角三角函数值
【典例3】在中，，的余弦是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】在Rt△ABC中，，，，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例4】在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝1，以下正确的是（ ）
A．B．C．D．
考法03 应用坡度解决实际问题
【典例5】如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC=4m，则AB的长度为（ ）
A．2mB．4mC．4mD．6m
【即学即练】河堤横断面如图所示，堤高 米，迎水坡 的坡比为 ，则AB的长为（ ）
A． 米B． 米C．18米D．21米
【典例6】如图，在山坡上种树，坡度i＝1：2，AB＝5m，则相邻两树的水平距离AC为（ ）
A．5mB． mC．2 mD．10m
【即学即练】如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）都为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5mB．6mC．7mD．8m
考法04 特殊角的三角函数值
【典例7】计算 •tan 60°的值等于（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】4cs60°的值为（ ）
A．B．2C．D．2
【典例8】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+csB的值为（ ）
A．1B．C．D．
【即学即练】已知∠A，∠B均为锐角，且csA=，sinB=，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠A=∠B=60°B．∠A=∠B=30°
C．∠A=30°，∠B=60° D．∠A=60°，∠B=30°
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．对角线长为的正方形，边长是多少（ ）
A．B．C．D．
4．的值等于（ ）
A．B．C．1D．
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则csA等于（ ）
A．B．C．D．1
6．市防控办准备制作一批如图所示的核酸检测点指示牌，若指示牌的倾斜角为，铅直高度为h，则指示牌的边AB的长等于（ ）
A．B．C．D．
7．比较大小：_________（选填“＞”、“＝”或“＜”）．
8．有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为20m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC= ，则此斜坡的水平距离AC=_____m
9．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
10．如图，在中，，，．求的三个三角函数值．
题组B 能力提升练
1．在中，，则= ( )
A．B．C．D．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，则csB的值为（ ）
A．B．C．D．2
3．如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
4．图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin∠CEF=，则△AEF的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．如图，在中，，，以为斜边向外作，、分别为、的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点H是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD＝4，则线段BH的长度为（ ）
A．6B．C．8D．
7．计算：__________．
8．如图，在矩形中，为上的点，，，则______．
9．如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．
(1)求CE的长；
(2)求∠ADE的余弦．
10．如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为，请解决下列问题：
(1)若点P在边AC上，当为何值时，APQ为直角三角形？
(2)是否存在这样的值，使APQ的面积为cm2 ？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
题组C 培优拔尖练
1．Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC旋转得到△ADE，且点D恰好在AC上，sin∠DCE的值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，B，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
3．中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ）
A．2B．C．D．
4．在RtABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E为AC上一点，且CE＝5AE，点D为BC中点，把CDE沿ED翻折到FDE，且EG＝，则DF的长度为（ ）
A．B．C．D．2
5．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若，则的长为（ ）
A．3B．C．4D．
6．如图，洋洋一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向，则下列说法正确的是（ ）
A．B地在C地的北偏西40°方向上B．A地在B地的南偏西30°方向上
C．D．
7．两块全等的等腰直角三角形如图放置，交于点P，E在斜边上移动，斜边交于点Q，，当是等腰三角形时，则的长为___________．
8．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是_______．
9．已知中，，、是的两条高，直线与直线交于点．
(1)如图，当为锐角时，
①求证：；
②如果，求的正切值；
(2)如果，，求的面积．
10．在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，tan∠ACB=，点E是AD延长线上的一点，点F是射线AB上的一点，且∠CED=∠CDF．
(1)如图1，如果点F与点B重合，则∠AFD的余弦值=______；
(2)如图2，若四边形ABCD的周长是16，设AE=x，BF=y，
①求y关于x的函数关系式并写出自变量x取值范围；
②若BF:FA=1:2，求△CDE的面积．
课程标准
1.理解锐角三角形（正切、正弦、余弦）的意义，会表述正切（正弦、余弦）与梯子倾斜程度的关系。
2.能够运用tanA，sinA和csA表示直角三角形中两边的比。
3.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算。
4.知道坡度的意义，并能进行简单的计算。
5.会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值。
6．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”。
7.利用特殊角的三角函数值解决简单的问题。
角
sin
cs
tan
1