北师大版九年级数学下册同步精品讲义 第08讲 二次函数的应用（原卷版）

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第08讲 二次函数的应用目标导航知识精讲知识点01 列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．知识点02 建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．注意：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.知识点03 利用二次函数求图形面积的最值问题一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时，可以用二次函数的最值求其最大面积。求矩形的最大面积时，通常用含有自变量x的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造关于x的二次函数，再结合二次函数的图象和性质，利用公式法或配方法求出二次函数的最大值，同时要注意自变量的取值范围。知识点04 利用二次函数求最大利润问题（1）利润问题是本节的重点问题之一，在日常生活中经常出现，是考试热点。对于这类问题，只要审清题意，记住利润问题中的几个公式，便可解决此类问题。①每件的利润=销售单价-成本单价；②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量。（2）利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入；②用含自变量的代数式表示销售商品的成本；③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式；④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。知识点05 利用二次函数解决抛物线型建筑物问题这类问题所给的问题情境常有一个抛物线型物体，比如拱桥或隧道这些问题都可以通过构造二次承数的表达式来解决，解决这类问题般是利用数形结合思想和函数思想。1．一般解题思路(1)在示意图中建立适当的平面直角坐标系，将题目中所给条件转化平面直角坐标系中的坐标。(2)根据图中坐标利用待定系数法求得二次函数的表达式。(3)由二次函数的性质去分析解决问题，检验问题的结果是否符合实标意义，并作答。2．卡车过拱桥(隧道)问题在问题中，抛物线的函数表达式是首要条件，有时函数表达式已经给出，有时需要先求出来，求出函数表达式后有两种方法可以判断卡车能否从桥下通过：(1)固定卡车的宽，看桥是否足够高（即相当于已知x的值，根据函数表达式求y的值，然后与限制的高的值比较大小）；(2)固定卡车的高，看桥是否足够宽（即相当于已知y的值，根据函数表达式求x的值，然后与限制的宽的值比较大小）能力拓展考法01 求几何图形面积的最值【典例1】如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（　　）A．8 B．15 C．16 D．64【答案】C【解析】解：∵矩形周长为16，∴设一条边长x，矩形面积为y，则另一边长为8-x，∴y=（8-x）x=-x2+8x=-（x-4）2+16，∴当x=4时，y有最大值是16．故选：C．【即学即练】有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为若平行于墙的一边长不小于则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（   ）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2由题意可得y=x（20－2x）=-2（x－5）2＋50，且8≤20－2x≤15解得：2.5≤x≤6∵-2＜0，二次函数图象的对称轴为直线x=5∴当x=5时，y取最大值，最大值为50 ；当x=2.5时，y取最小值，最小值为37.5 ；故选C．【典例2】用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，使矩形场地的一边靠墙，墙壁足够长，则围成的矩形场地的最大面积为（　　　）A．400 m2 B．450 m2 C．500 m2 D．900 m2【答案】B【解析】解：如图所示：设AB＝xm，∵AB+CD+BC＝60 m，且AB＝CD，∴BC＝60﹣2x（m），则S＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，∵60﹣2x＞0，∴x＜30，∵﹣2＜0，∴当x＝15时，S取得最大值450，故选：B．【即学即练】已知，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，矩形PQNM的四个．顶点分别在菱形的四边上，则矩形PMNQ的最大面积为（　　）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】解：如图：连接AC，BD交于点O，AC分别交PQ，MN于点E，F．∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠ABD＝30°，∴AC＝AB＝6．∵矩形MNQP，∴PQ∥BD，PM＝EF，PQ⊥AC．∴∠APE＝∠ABD＝30°，设AP＝a，AE＝CFa，∴EF＝PM＝6﹣a．由勾股定理得：PE．∴PQ＝2PEa．∴S矩形PMNQ＝PM•PQa×（6﹣a）（﹣a2+6a）（a﹣3）2+9．∵0，∴当a＝3时，矩形面积有最大值9．故选：D．考法02 利用二次函数解最大利润问题【典例3】某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：第2年的销售量为，第3年的销售量为，故选：B．【即学即练】商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　）A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）【答案】D【解析】解：设每件商品的售价上涨x元（x正整数），则每件商品的利润为（60-50+x）元，总销量为（200-10x）件，商品利润为y＝（10+x）（200﹣10x）．故选：D．【典例4】某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　）A．180 B．220 C．190 D．200【答案】D【解析】设y=kx+b，由图象可知，，解得：，∴y=﹣2x+60；设销售利润为p，根据题意得，p=（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣2x+60）=﹣2x2+80x﹣600，∵a=﹣2＜0，∴p有最大值，当x=﹣=20时，p最大值=200．即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元，故选：D．【即学即练】某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（       ）A．30万元 B．40万元C．45万元 D．46万元【答案】D【解析】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）辆，根据题意得出：W＝y1+y2＝﹣x2+10x+2(15﹣x)＝﹣x2+8x+30，∴最大利润为：＝＝46（万元），故选D．考法03 利用二次函数解拱桥问题【典例5】如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：∴设抛物线解析式为：，∵观察图形可知抛物线经过点，∴，∴，∴抛物线解析式为：，∴当水位下降米后，即当时，有，∴，，∴水面的宽度为：．故选：B．【即学即练】如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离是2m．这时，离开水面1.5m处，涵洞的宽DE为（       ）A． B． C．0.4 D．0.8【答案】D【解析】解：抛物线顶点为原点，设抛物线y＝ax2，点B在抛物线上，将B（0.8，﹣2），它的坐标代入y＝ax2得，，求得a＝，所求解析式为y＝x2．再由条件设D点坐标为（x，﹣0.5），则有：﹣0.5＝x2．，解得：x＝±0.4，负值舍去，所以DE宽度为0.8米，故选：D．【典例6】如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　） A．1 B．1.5C．2 D．3【答案】D【解析】如图建立坐标系：抛物线的顶点坐标是（1，4），设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4，把（0，3）代入解析式得：a+4=3，解得：a=-1，则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4，当y=0时，-（x-1）2+4=0，解得：x1=3，x2=-1（舍去），则水池的最小半径是3米．故选：D．【即学即练】三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）A．4米 B．5米 C．2米 D．7米【答案】B【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+，∴a=-，∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为（-7，-），       ∴-=m（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b，∴MN=4，∴|+b-（-+b）|=4∴m=-，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-，∴-=-（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b，∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米），故选：B．考法04 利用二次函数求喷水、投球等实际问题【典例7】某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（　　）．A．9m B．10m C．11m D．12m【答案】A【解析】解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，∴当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，故选：A．【典例8】如图，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为20cm，如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为．如果想通过垫高水桶，使射出水的最大射程增加10cm，则小孔离水面的距离是（       ）A．14cm B．15cm C．16cm D．18cm【答案】B【解析】解：设垫高的高度为m，则，变形得：s2=4h（20+m-h）=-4(h−)2+（20+m）2，∴当h=cm时，smax=20+m=20+10，∴m=10cm，此时h==15cm，∴垫高的高度为10cm，小孔离水面的竖直距离为15cm，故选B．【典例9】板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动．如图，是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其表达式为y＝-x2＋x＋1，则板球运行中离地面的最大高度为（       ）A．1m B．m C．m D．4m【答案】B【解析】解：y＝-x2＋x＋1=-(x-4)2+，抛物线开口朝下，当x=4时，y有最大值，最大值为，板球运行中离地面的最大高度为．故答案选：B．【典例10】一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（       ）A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m【答案】C【解析】解：如图，以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），设函数解析式为y=ax2+3.5，代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05解得，a=-0.2，因此函数解析式为：y=-0.2x2+3.5，当x=-2.5时，y==2.25；所以，球出手时离地面2.25米时才能投中．故选C．分层提分题组A 基础过关练1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与小球运动的时间秒之间的关系式为若小球在第秒与第秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是（     ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒【答案】B【解析】解：由题意可得，当时，取得最大值，当时，取得最大值，故选：B．2．为响应国家的惠民政策，某种口罩原价每箱100元，经过两次降价后每箱81元．设平均每次降价的百分率都为x，则x满足（       ）A．81（1＋2x）＝ 100 B．100（1－2x）＝81C．81（1＋x）＝100 D．100（1－x）＝81【答案】D【解析】解：由题意得：，故选：D．3．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润（元）与降价金额（元）之间的关系是，则获利最多为（）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】D【解析】解：对于抛物线，，时，有最大值，最大值为，故选：D．4．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（　　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y＝ax2，且抛物线过（2，﹣2）点，故﹣2＝a×22，解得：a＝﹣0.5，故选：A．5．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（       ）．A．12 B．18 C．20 D．24【答案】B【解析】解：设AC=x，BC=12-x，则四边形ABCD的面积的面积为：．所以，当x=6时，四边形ABCD的面积最大，为18．故答案为：B．6．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：①当0＜x≤4时，y=x2，②当4＜x≤8时，y=×4×4-2××（4-x）2=x2+4x-8，③当x＞8时，y=8，故选：B．7．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．【答案】2【解析】根据题意，有，当时，有最大值．故答案为：2．8．某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了_______米．【答案】45【解析】解：，，时，s取得最大值45，汽车刹车后到停下来前进了45米，故答案为：45．9．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．(1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；(2)若苗圃的面积为，求x的值；(3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？【答案】(1)（36-3x）(2)8(3)当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米【解析】（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，BC的长为32-3x+4=（36-3x）米，故答案为：（36-3x）；（2）根据题意得，，解得，x=4或x=8，∵当x=4时，36-3x=24>14，∴x=4舍去，∴x的值为8；（3）设苗圃的面积为w，，∵4<36-3x14，∴，∵-3<0，图象开口向下，∴当时，w取得最大值，w最大为；答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．10．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为．(1)求落水点C、D之间的距离；(2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．【答案】(1)22米(2)雕塑EF的高为米【解析】(1)解：当y＝0时，，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴点D的坐标为（11，0），∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．(2)解：∵，，当x＝10时，，∴点F（10，）∴雕塑EF的高为米．题组B 能力提升练1．据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)2【答案】C【解析】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，由题意可得：y关于x的函数表达式是：y=6（1+x）2，故选：C．2．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．点P的坐标为，则△PMN的面积为（       ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】解：∵抛物线的对称轴为x＝−3，点N（−1，1）是抛物线上的一点，∴，，解得：，，∴，∴，∵，，∴PN∥y轴，且PN＝1，∴△PMN的面积为：，故选：A．3．如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y=，则该同学此次投掷实心球的成绩是（       ）A．2m B．6m C．8m D．10m【答案】D【解析】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，∴令y=0，则=0，整理得：x2-8x-20=0，解得：x1=10，x2=-2（舍去），∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，故选：D．4．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（       ）A．4 B．5 C．7 D．9【答案】C【解析】解：设该抛物线的对称轴为x，由图象可得，解得6＜x＜9，故选：C．5．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（       ）A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元【答案】D【解析】解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250∵－2＜0故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D．6．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8 m，在两侧距地面3.5 m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（       ）．（建筑物厚度忽略不计）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由函数图象可知，抛物线与轴的两个交点坐标为和，且经过点，设抛物线的解析式为，将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为，即为，故选：A．7．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行______秒才能停下来．【答案】16【解析】解：∵，∴当时，Ｓ取得最大值64，即飞机着陆后滑行16秒才能停下来．故答案为：168．跳台滑雪是2022年北京冬奥会比赛项目之一．一名参赛运动员起跳后，他的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图所示），则这名运动员起跳后的最大飞行高度是______m．【答案】45【解析】解：抛物线，∴抛物线顶点C的坐标为（15，45），∴这名运动员起跳后的最大飞行高度是45m．故答案为：45．9．某运动品牌销售商发现某种运动鞋市场需求量较大，经过市场调查发现月销售量y（双）与销售单价x（元）之间的函数关系为，而该种运动鞋的进价z（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为，已知销售商每月支付员工工资和场地租金等费用总计20000元（注：月获利=月销售总额-月进货总价-工资和租金费用）(1)求月获利W（元）与x之间的函数关系式；(2)当销售单价x为何值时，月获利最大，最大值为多少？(3)若该销售商销售这种品牌运动鞋的月获利不低于2.2万元，请确定销售单价的范围，在此情况下，要使销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？【答案】(1)(2)当销售单价为550元时，月获利最大，最大值为30000元(3)450元【解析】(1)解：根据题意得∶；(2)解：，∵，∴当销售单价为550元时，月获利最大，最大值为30000元；(3)解：当月获利为2.2万元时，即，解得，．画出W关于x的函数图象的草图，如图，利用图象可知要使月获利不低于2.2万元，销售单价应在450元到650元之间．∵销售单价越低，销售量越大，又要使月获利不低于2.2万元，∴销售单价应定为450元． 10．图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．根据相关信息解答下列问题．(1)求小球的飞行高度（单位：）关于飞行时间（单位：）的二次函数关系式；(2)小球从飞出到落地要用多少时间？(3)小球的飞行高度能否达到？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)不能，理由见解析【解析】(1)由题意可设关于的二次函数关系式为，因为当，2时，，20，∴，解得：．∴关于的二次函数关系式为．(2)当，，解得：，．∴小球从飞出到落地所用的时间为．(3)小球的飞行高度不能达到．理由如下：当时，，方程即为，∵，∴此方程无实数根．即小球飞行的高度不能达到．题组C 培优拔尖练1．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PO，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图像中能大致表示y与x的函数关系的是（     ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；②当2＜x≤4时，y＝S△APQ＝，＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）＝﹣x2+2x，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图像表示，根据各选项，只有A选项图像符合．故选：A．2．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（       ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】解：当y=14时，，解得，，∴A（，14），C（，14），∴AC=．故选：C．3．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1 cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为y cm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论错误的是（            ）A．AB=4 cm B．当时，△BPQ的面积是定值C．当时， D．当秒时，【答案】C【解析】解：由函数图象得，当t＝5时，点Q到达点C，5＜t＜7时，y＝10cm2，当t＝7时，点P到达点D，故选项B正确，不符合题意；∴BC＝5cm，5＜t＜7时，S△PBQ＝BQ•AB＝×5×AB＝10，BE＋ED＝7cm，∴AB＝4cm，故选项A正确，不符合题意；设DE＝x（cm），则EB＝7−x（cm），AE＝5−x（cm），在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋（5−x）2＝（7−x）2，解得：x＝2，∴BE＝5cm，ED＝2cm，AE＝3cm，∴当0＜t≤5时，点P在线段BE上，则BP＝BQ＝t（cm），如图①，过点P作PH⊥BC于点H，则∠PHB＝90°，∴∠PBH＋∠BPH＝90°，∵∠PBH＋∠ABE＝90°，∴∠BPH＝∠ABE，∵∠PHB＝∠BAE＝90°，∴△PBH∽△BEA，∴，即，∴PH＝（cm），∴y＝BQ•PH＝×t×＝，故选项C错误，符合题意；∵BE＋ED＝7cm，∴当t＝秒时，点P在线段CD上，如图②，此时，BQ＝BC＝5cm，PQ＝BE＋ED＋CD−＝7＋4−＝，∴，故选项D正确，不符合题意；故选：C．4．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m             ②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0                           ④小球的高度时，其中正确的是（       ）A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③【答案】D【解析】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：，把代入得，解得，∴函数解析式为，把代入解析式得，，解得：或，∴小球的高度时，或，故④错误；故选D．5．根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．某校要建一个长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，但要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料10米搭建的隔离区的面积最大为（       ）平方米．A． B．25 C． D．15【答案】C【解析】设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（10-x+1）米，依题意，隔离区的面积为S=x•（10-x+1）=-x2+x=-（x-）2+，∵-＜0，∴当x=时，隔离区有最大面积，最大面积为平方米，故选：C．6．如图，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行的时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m），和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2=56t2-2t22滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了26s，则滑坡AB的长度为（       ）A．374米 B．384米 C．375米 D．385米【答案】B【解析】由滑行时间为0时，滑行距离为0可得c=0，设，取两组数据代入可得：，解得：，，滑雪者在缓冲带BC上滑行时间为：s，滑雪者在滑坡AB上滑行时间为：26－14=12s，令t1=12，，滑坡AB的长度为384米．故选：B．7．如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．【答案】【解析】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），∴x＝4时，y＝0，∴BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，∵3＝2FH，∴FH＝，∵∠ABC＝60°，∴BF＝＝，∵DE∥AB，∴AB＝2BF＝，故答案为：．8．距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．【答案】          【解析】根据题意，得-45+3m+n=0，，∴ ，∴ ，解得m=50，m=10，当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴n＞0，∴，∵对称轴为t==1，a=-5＜0，∴时，h随t的增大而增大，当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；∴w=，∴w的取值范围是，故答案为：．当时，的取值范围是∵对称轴为t==1，a=-5＜0，∴时，h随t的增大而减小，当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；∴w=，w=，∴w的取值范围是，故答案为：．9．年广西雨水增多，种植荔枝的果农损失严重，为了增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行荔枝种植和销售，已知荔枝的种植成本为元，经市场调查发现，今年端午节期间荔枝的销售量（单位：）与销售单价（单位：元/）满足的函数图象如图所示．(1)根据图象信息，求与的函数关系式；(2)当销售单价为元时，销售荔枝获得的利润是多少元？(3)求端午节期间销售荔枝获得的最大利润．【答案】(1)(2)126千克(3)3840元【解析】（1）解：当时，设，则，解得：，当时，，当时，，（2）当时，，当荔枝的销售单价定为元千克时，荔枝的销售量为千克；（3）设利润为，则：当时，，开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，时，，当时，，随的增大而增大，时，，，最大利润为元．10．如图为函数F1：的图象，若F1和F2的图象关于坐标原点O（0，0）对称，F1的顶点A关于点O的对称点为点B．(1)求F2的解析式；(2)在F1的图象和直线AB围成的封闭图形上，求平行于y轴的线段的长度的最大值；(3)若F＝在F的图象上是否存在点C，使∠ABC＝45°，若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)yx2﹣x(2)2(3)存在C点，符合条件的C点坐标为（，）或（7，16）【解析】(1)设F1与x轴的交点为C和D，当（x+1）2+2＝0时，解得x1＝1，x2＝﹣3，∴C（1，0），D（﹣3，0），∴C点关于原点的对称点C'（﹣1，0），D点关于原点的对称点D'（3，0），∵A（﹣1，2），∴A点关于原点的对称点B（1，﹣2），设抛物线F2的解析式为y＝ax2+bx+c，代入B点，C'点，D'点坐标得，，解得，∴F2的解析式为yx2﹣x；(2)设AB上一点M，过M作y轴的平行线MN，交F1于点N，设直线AB的解析式为y＝sx，代入A点坐标得s＝﹣2∴直线AB的解析式为y＝﹣2x，设M（m，﹣2m），则N（m，（m+1）2+2），∴MN（m+1）2+2﹣（﹣2m）m2+m（m﹣1）2+2，∴当m＝1时，MN有最大值为2，即平行于y轴的线段的长度的最大值为2；(3)存在C点，分C点在F1图象段和在F2图象段两种情况：①当C点在F1图象段时，作线段AB的垂直平分线PQ，且OP＝OB＝OQ，∴Q（2，1），P（﹣2，﹣1），连接PB并延长交F于点C，连接BQ并延长与F交于点C1设直线PB的解析式为y＝rx+t，∴，解得，即直线PB的解析式为yx，∴，解得（舍去），∴此时C（，），②当C点在F2图象段时，同理可得直线BQ的解析式为y＝3x﹣5，∴，解得（舍去），∴此时C（7，16），综上，符合条件的C点坐标为（，）或（7，16）．课程标准1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，提高解决问题的能力。2.通过求最大面积、最大利润等问题，体会二次函数是一类解决最优化问题的数学模型。飞行时间012飞行高度01520滑行时间01234滑行距离04.51428.548