北师大版九年级数学下册同步精品讲义 第09讲 二次函数与一元二次方程（原卷版）

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第09讲 二次函数与一元二次方程目标导航知识精讲知识点01 二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：注意：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.2．抛物线与直线的交点问题抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；当方程组无解时两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．知识点02 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解1．用图象法解一元二次方程的步骤(1)作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；(2)确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；(3)在(2)确定的范围内，用计算器进行探索。即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．(4)确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．2．求一元二次方程的近似解的方法（图象法）(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根。知识点03 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，。∴ 即 （△＞0）知识点04 抛物线与不等式的关系二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：注意：抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号。能力拓展考法01 二次函数的图象与坐标轴交点【典例1】在平面直角坐标系内，抛物线与轴的一个交点是，另一交点为，则的长为（       ）A．2 B．3 C．6 D．8【典例2】二次函数的图象与x轴的交点是（       ）A．和 B．和C．和 D．和【典例3】抛物线与轴的交点坐标是（       ）A． B． C． D．【典例4】下列抛物线经过原点的是（       ）．A． B．C． D．考法02 利用图象法求一元二次方程的近似解【典例5】根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（     ）A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2【即学即练】如表，是二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值．那么方程的一个近似解是（　　　）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3【典例6】如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（       ）A．的解集是B．的解集是C．的解集是D．的解是或【即学即练】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，已知顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．有下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1．其中正确结论的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4考法03 判断二次函数的图象与x轴交点的情况【典例7】从-1、0、3、5、7五个数中任意选取一个数，记为m，则使二次函数y=mx2+6x+2与x轴有交点时的m的值有（       ）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【即学即练】抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（       ）A． B． C． D．4【典例8】在平面直角坐标系中，已知点M，N的坐标分别为，，若抛物线与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（       ）A．或 B．或C． D．或【即学即练】已知二次函数y=ax2−4ax−5a+1(a>0)下列结论正确的是（       ）①已知点M(4，y1)，点N(−2，y2)在二次函数的图象上，则y1>y2；②该图象一定过定点（5，1）和（－1，1）；③直线y=x−1与抛物线y=ax2−4ax−5a+1一定存在两个交点；④当−3≤x≤1时，y的最小值是a，则a=A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③④考法04 求x轴与抛物线的截线长【典例9】抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　）A．6 B．7 C．8 D．9【即学即练】已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4【典例10】抛物线在轴上截得的线段长度是（       ）A． B．2 C． D．【典例11】将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（       ）A．1 B． C． D．分层提分题组A 基础过关练1．二次函数的部分图像如图所示，可知方程的所有解的积为（       ）A．－4 B．4 C．5 D．－52．抛物线与轴的交点坐标为（       ）A．(-3，0) B．(0，-3) C． D．3．二次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（       ）A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根C．有两个同号的实数根 D．有两个无法确定符号的实数根4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，甲、乙、丙、丁得出如下结论：甲：abc＞0；乙：方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不等实数根；丙：3a+c＞0；丁：当x≥0时，抛物线y＝ax2+bx+c既有最大值，也有最小值．则以上正确的是（　　）A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丁 D．乙、丙、丁5．已知关于x的方程的两个根分别是-1和3，若抛物线与y轴交于点A，过A作轴，交抛物线于另一交点B，则AB的长为（       ）A．2 B．3 C．1 D．1.56．下表是一组二次函数的自变量x与函数值y的对应值：那么方程的一个近似根（精确到0.1）是（       ）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.37．已知抛物线与x轴的公共点坐标是，则_______．8．已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是___________9．已知二次函数． （1）求抛物线开口方向及对称轴．（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．10．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出方程的根；（2）写出不等式的解集；（3）若方程无实数根，写出的取值范围．题组B 能力提升练1．抛物线y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n与x轴只有一个交点(x1，0)．下列式子中正确的是（       ）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m(x1﹣x2)＝n D．m(x1+x2)＝n2．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A(m，n)，B(4﹣m，n)，且抛物线与x轴有交点，则c的最大值为（       ）A．0 B．2 C．4 D．83．如图，抛物线的对称轴是，关于x的方程的一个根为，则另一个根为（       ）A． B． C． D．04．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+1的值为(     )A．0 B．1 C． D．25．已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为，下列结论中，正确的是（            ）A． B． C． D．6．已知抛物线与x轴的一个交点是，另一个交点是B，则AB的长为（       ）A．2 B．3 C．4 D．67．根据表格确定一元二次方程x2+2x-9= 0的一个解的范围是____8．已知二次函数的图像的顶点为，与x轴交于点，根据图像回答下列问题：当x_______时，y随x的增大而减小：方程的两个根是___________．9．已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．10．已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为．(1)填空：b=________；（用含a的代数式表示）(2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值；(3)若抛物线过点（−2，−2），当时，二次函数的最值是−2，求k的取值范围；(4)当a=−1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围．题组C 培优拔尖练1．已知抛物线与轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为，则抛物线的顶点关于轴对称的点的坐标是（       ）A． B． C． D．2．抛物线的对称轴为，若关于的二次方程在范围内有实数根，则的取值范围是（        ）A． B．C． D．3．对于二次函数y＝ax2+bx+c，x与y的部分对应值如表，下列结论正确的是（　　）A．该函数图象顶点坐标是（1，﹣2）B．无论x取何值，y恒小于0C．当x＞2时，y随着x的增大而增大D．该函数图象与x轴有两个公共点4．关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣1）+b＝0（a＜0，b＜0）的解为x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是(     )A．﹣2＜x1＜x2＜1 B．﹣2＜x1＜1＜x2 C．x1＜﹣2＜x2＜1 D．x1＜﹣2＜1＜x25．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如上表，以下结论正确的是（       ）A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x增大而增大C．当时，x的取值范围是 D．方程的根为0和26．如图，顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（       ）A．B．若点都在抛物线上，则C．当时，y随x的增大而减小D．关于x的一元二次方程有两个不等的实数根7．已知二次函数，当＝______时，图象的顶点在轴上；当＝_________时，图象过原点．8．已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图像如图所示，m，是关于x的一元二次方程的两根，则下列结论正确的有______．（填序号即可）．①②③存在实数x，使得④若时，，则9．已知抛物线．(1)求证：抛物线与x轴有两个交点；(2)设抛物线与x轴交于B，D两点（点D在点B左侧），与y轴交于点C，顶点坐标为A．①求证：△ABD是等边三角形；②当时，求△ABC面积的最大值．10．已知二次函数y＝﹣x2＋2mx﹣m2﹣m＋2（m是常数）．(1)若该函数图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围：(2)求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x＋2的图象上：(3)P（x1，y1），Q（x2，y2）是该二次函数图象上的点，当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，则m的取值范围是 　 　．课程标准1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题． 判别式二次函数一元二次方程图象与x轴的交点坐标根的情况△＞0抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛物线与x轴相交一元二次方程有两个不相等的实数根△＝0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两个相等的实数根△＜0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）判别式抛物线与x轴的交点不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）无解△＜0全体实数无解x00.511.52y＝ax2+bx+c  13.57x0.911.11.21.31.4y-1.49-1-0.490.040.591.16x…11.11.21.31.4…y…-1-0.490.040.591.16…x01234x2+2x-919-6-1615x…﹣1013…y…﹣1353…