九年级下册1 二次函数同步练习题

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知识精讲
知识点01 二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。
注意：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数。这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
知识点02 二次函数的图象与性质
1．二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
2．抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点。
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3．抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4．用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
注意：
求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点03 二次函数与一元二次方程的关系
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
注意：
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根。
知识点04 利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义。
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
注意：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、桥梁、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
能力拓展
考法01 求二次函数的解析式
【典例1】已知抛物线的顶点坐标是，且与y轴交于点，这个抛物线的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】∵抛物线的顶点坐标是，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入解析式，得
，
解得ａ=1，
∴，
故选A．
【即学即练】已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是，
∴，
解得，
经检验均符合
∴该抛物线的解析式为.
故选D.
【典例2】如图，将二次函数的图像沿轴对折，得到的新的二次函数的表达式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴将二次函数的图象沿x轴对折后得到的图象解析式为，即．
故选：D．
【即学即练】若抛物线与抛物绒的顶点重合，且与轴的交点的坐标为，则抛物线的表达式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物绒y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），
∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物绒y=2x2-4x-1的顶点重合，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），
∴设此抛物线为y=a（x-1）2-3，
∵与y轴的交点的坐标为（0，1），
∴1=a-3，解得a=4，
∴此抛物线为y=4（x-1）2-3=4x2-8x+1，
故选B．
考法02 根据二次函数图象及性质判断代数式的符号
【典例3】在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A．由的图象可知，，，
由的图象可知，，，此选项错误；
B．由的图象可知，，，
由的图象可知，，，此选项错误；
C．由的图象可知，，，
由的图象可知，，，此选项正确；
D．由的图象可知，，，
由的图象可知，，，此选项错误．
故选：C．
【即学即练】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是( )．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：观察二次函数的图象得：，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：C
【典例4】如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确，
∵图象与y轴的交点为正半轴，
∴c＞0，则abc＜0，故①错误，
由图象可知当x=1时，函数取最大值，
将x=1，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0），
设函数解析式为：，
将交点坐标代入得：，
故化简得：，
将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确，
变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确，
则②③④正确，
故选C．
【即学即练】在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】解：①∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴为x＝＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②∵对称轴为x＝＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②错误；
③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，
∴9a＋3b+c＜0，
故③错误；
④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
故④正确；
⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴，
故⑤正确．
综上所述，正确的结论是：④⑤．
故选：B．
考法03 函数与一元二次方程
【典例5】已知抛物线（，，是常数，）经过点和，其对称轴在轴左侧．有下列结论：
①抛物线经过；
②有两个不相等的实数根；
③，
其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】解：抛物线（a，b，c为常数，a≠0）经过点(1，0)，其对称轴在y轴左侧，故抛物线不能经过点(-1，0)，因此①错误；
抛物线（a，b，c为常数，a≠0）经过点(1，0)，(0，-3)，其对称轴在y轴左侧，可知抛物线开口向上，与直线y=-1有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故②正确；
∵对称轴在y轴左侧，
∴，
∵a>0，
∴b>0，
∵经过点(1，0)，
∴a+b+c=0
∵经过点(0，-3)，
∴c=-3
∴a+b=3
∴b=3-a，
∵3-a<3+a，即b<3+a，
∴a-b>-3，
∵抛物线（a，b，c为常数，a≠0）经过点(1，0)，(0，-3)，其对称轴在y轴左侧，
∴当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，
∴a-b<3，
∴-3故选C．
【即学即练】已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴左侧．有下列结论：
①；
②抛物线经过点；
③方程有两个不相等的实数根；
④．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】∵对称轴在 y 轴左侧
∴ − ＜0
∴ a、b同号，即ab＞0
∵ y=ax2+bx+c 经过点 (0,3)
∴c=3＞0
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线 y=ax2+bx+c （ a ，b ， c 为常数， a≠0 ）经过点 (1,0) ，其对称轴在 y 轴左侧，故抛物线不能经过点 (,0) ，因此②错误；
抛物线 y=ax2+bx+c （ a ，b ， c 为常数， a≠0 ）经过点 (1,0) ， (0,3) ，其对称轴在 y 轴左侧，可知抛物线开口向下，即a＜0，与直线y=2有两个交点，因此方程ax2+bx+c=2 有两个不相等的实数根，故③正确；
∵对称轴在 y 轴左侧，
∴ − ＜0
∵a＜0
∴b＜0
∵ y=ax2+bx+c 经过点 (1,0)
∴a＋b+c=0
∵ y=ax2+bx+c 经过点 (0,3)
∴c=3
∴a＋b=-3
∴b=-a-3，a=-b-3
∴-3故选C．
【典例6】已知抛物线经过点，，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0），（3，0），
∴a-b+c=0，，
∴b=-2a，c=-3a，
∵a（x+1）2-cx=a+2b，
∴a（x+1）2+3ax=-3a，
∴a（x+1）2+3a（x+1）=0，
∴a（x+1）（x+1+3）=0，
解得x=-1或x=-4．
故选：A．
【即学即练】如图，抛物线过点（1，0）和点（0，－2），且顶点在第三象限，设p＝a－b＋c，则下列判断错误的是（ ）
A．a＋b＝2B．方程有两个不相等的实数根
C．0＜b＜2D．－1＜p＜0
【答案】D
【解析】解：根据题意可知：，抛物线的对称轴：，．
把点（1，0）和点（0，－2）代入抛物线解析式得，解得．
A选项正确，不符合题意；
由知，，
∴，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故B选项正确，不符合题意；
∵，，
∴，
解得．
∴，
∴，即．
故C选项正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴．
故D选项错误，符合题意．
故选：D．
考法04 二次函数与实际问题
【典例7】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（ ）
A．小球在空中经过的路程是40mB．小球运动的时间为6s
C．小球抛出3s时，速度为0D．当s时，小球的高度m
【答案】A
【解析】解：A、由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故选项A错误；
B、由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故选项B正确；
C、小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故选项C正确；
D、设函数解析式为，将（0，0）代入得：
，
解得，
∴函数解析式为，
∴当t＝1.5s时，，
∴选项D正确．
故选：A．
【即学即练】如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（ ）
A．小球落地点距O点水平距离为7米
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m
D．小球距斜坡的最大铅直高度为
【答案】C
【解析】解：联立两函数解析式，得
，解得：或，
则小球落地点距O点水平距离为7米，
故A选项不符合题意；
∵，
则抛物线的对称轴为x=4，
∵<0，
∴当x＞4时，y随x的增大而减小，
即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，
故B选项不符合题意；
当y=7.5时，7.5=4x-x2，
整理得x2-8x+15=0，
解得，x1=3，x2=5，
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，故此选项符合题意；
如图，设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，
∴B(x,)，
∴AB=4x-x2-=-x2x=-(x-)2+，
∵<0，
∴当x=时，AB有最大值，最大值=，
即小球距斜坡的最大铅直高度为，
故D选项不符合题意．
故选：C．
【典例8】如图，矩形中，，动点P沿着的路径匀速运动，过点P作，垂足为Q，设点P的运动路程为x，以B，C，P，Q为顶点的四边形的面积为y，则y与x的大致函数图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：∵由勾股定理得，
分类讨论如下：
（1）如图1，当点P在上移动时（四点围图为梯形），
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，当点P在上移动时（四点围图为矩形），
∵点P的运动路程为x，
∴PC=x-5，
∵，
∴；
故依据函数解析式得图象如图3，
故选：A．
【即学即练】某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为（ ）
A．45.51万元B．45.56万元C．45.6万元D．45.606万元
【答案】C
【解析】解：设甲种品牌车x量，则乙地销售品牌车15-x量，
由题意可得：
总利润，
根据二次函数的性质和x为非负整数可得，
当时，获得利润最大，
（万元）
故选：C．
分层提分
题组A 基础过关练
1．抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解：抛物线y=－2x2的顶点坐标为（0，0），
向左平移1个单位，再向下平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为（－1，－3），
∴平移后的抛物线的解析式为y=－2（x+1）2－3．
故选：B．
2．抛物线与y轴的交点坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：当x=0时，y=-3，
所以抛物线与y轴的交点坐标为：（0，-3）．
故选：B．
3．由二次函数y＝2（x﹣3）2＋1，可知（ ）
A．其图象的开口向下B．其图象的顶点坐标为（3，1）
C．其图象的对称轴为直线x＝﹣3D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【答案】B
【解析】解：∵y=2 (x－3) 2 ＋1是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为(3，1)，
A、∵a>0，∴图象的开口向上，故此选项错误，不合题意；
B、顶点坐标为(3，1)，故此选项正确，符合题意；
C、对称轴为直线x=3，故此选项错误，不合题意；
D、当x>3时，y随x增大而增大，故此选项错误，不合题意；
故选：B．
4．在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=，由此可知该生此次实心球训练的成绩为( )
A．6米B．10米C．12米D．15米
【答案】B
【解析】铅球落地时高度为0，即当y=0时，
=0，
解得x1=10，x2=-2（舍去），
所以该生此次实心球训练的成绩为10米，
故选：B．
5．已知抛物线过点(2，2)，则m的值为( )
A．1B．4C．3D．0
【答案】B
【解析】将点(2，2)代入，得：，
解得：．
故选B．
6．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②若(−3，y1)，(4，y2)在抛物线上，则y10．其中正确的有（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②④
【答案】B
【解析】解：①抛物线开口向上，则a＞0，抛物线与y交于负半轴，则c＜0，
x=-=1，即b=-2a，则b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵（-3，y1）离对称直线x=1的距离为1-（-3）=4，
（4，y2）离对称直线x=1的距离为4-1=3，
∴点（-3，y1）离对称轴要比点（4，y2）离对称轴要远，
又∵抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，4＞3，
∴y1＞y2，故②错误；
③观察图象，抛物线与x轴的一个交点为−1∴当−1④当x=-2时，y＞0，则4a-2b+c＞0，
∵b=-2a，
∴8a+c＞0，所以④正确；
综上，正确的有①④，
故选：B．
7．二次函数的图象的对称轴是直线_________________；
【答案】x=-3
【解析】解：二次函数的图象的对称轴是直线x=-3，
故答案为x=-3．
8．二次函数的图象如图，对称轴为直线．
（1）_________；
（2）若直线与抛物线在的范围内有两个交点，则t的取值范围是___________．
【答案】 -2 0 ≤t＜4
【解析】（1）二次函数对称轴为，
则，
故．
（2）由（1）知，，
故函数的最大值为4；
又时，，
时，，
要使直线与抛物线在的范围内有两个交点，
则．
故答案为：-2；0 ≤t＜4．
9．一条抛物线由抛物线平移得到，对称轴为直线，并且经过点．
(1)求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标；
(2)该抛物线由抛物线经过怎样平移得到？
【答案】(1)抛物线为y =2（x+1）2-7，顶点坐标是（-1，-7）；
(2)向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度
【解析】(1)解：设所求抛物线为y =2（x+1）2+k过（1,1）
则1 =2（1+1）2+k ，
解得k=-7，
∴所求抛物线为y =2（x+1）2-7.
顶点坐标是（-1，-7）
(2)解：所求抛物线y =2（x+1）2-7是由抛物线y =2x2
向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度得到
10．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；
(3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．
【答案】(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）
(2)能飞越，理由见解析
(3)8.1米
【解析】(1)解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10．
把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）．
(2)解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5．
∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB．
(3)解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）．
把（30，3）代入，得3＝30k，
∴k＝．
故直线OA的解析式为y＝x．
设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）．
过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）．
∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1．
∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1．
答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米．
题组B 能力提升练
1．已知点，在抛物线上，且与x轴的交点为和．当时，则，应满足的关系式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：∵抛物线与x轴的交点为和
∴抛物线的对称轴为：，
∵点，在抛物线上，且，
∴点比点到直线的距离要大，
∴．
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C．当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【答案】C
【解析】解：二次函数y=x2-4x+5=（x-2）2+1，a=1＞0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点为（2，1），当x=2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，y= x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y=（x-2）2+1，
故选项D的说法正确，
故选：C．
3．若两个不相交的函数图像在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．则抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣2的“和谐值”为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【解析】解：由x2﹣2x+3＝ x﹣2，整理得，
x2﹣3x+5＝0，
∵，
∴x2﹣3x+5＝0没有实数根，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣2不相交，
∵抛物线开口向上，
∴抛物线在直线上方，
设m＝x2﹣2x+3﹣（x﹣2）＝x2﹣3x+5，
∵m＝x2﹣3x+5＝（x）2，
∴该函数最小值为，即抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣2的“和谐值”为．
故选：D．
4．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足( )
A．a＝B．a≤C．a＝0或a＝﹣D．a＝0或a＝
【答案】D
【解析】解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0），
∴Δ=1﹣4a=0，
∴a=；
②函数为一次函数，
∴a=0，
∴a的值为或0；
故选：D．
5．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）2
【答案】D
【解析】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
6．如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：如图所示，
∵中，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
即：．
故选：B．
7．已知二次函数的图像顶点在x轴上，则_________
【答案】2
【解析】解：由题意得，顶点纵坐标为：，
即：，
解得：．
故答案为：2．
8．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是_________．
【答案】x1＝﹣3，x2＝1
【解析】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），
∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，
∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
9．某件产品的成本是每件10元，试销售阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表所示．
(1)观察以上数据，根据我们所学到的一次函数、二次函数，回答：y是x的什么函数？并求出解析式．
(2)要使得每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少？此时每日的销售利润是多少？
【答案】(1)y是x的一次函数，
(2)产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润最大，为225元
【解析】（1）解：由表中数据可知，y是x的一次函数． 设此一次函数关系式为，则，解得，，故一次函数的关系式为；
（2）解：设所获利润为W元，则，所以产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润最大，为225元．
10．在平面直角坐标系内，二次函数的图象经过点和．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求出二次函数的顶点坐标；
(3)将该二次函数的图象向右平移几个单位，可使平移后所得的图象经过坐标原点，请在图中直接画出平移后的二次函数的大致图象，并写出平移后的图象与轴的另一个交点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)图见解析，
【解析】（1）
解：把点和的坐标代入，
得
解这个方程组，得
∴二次函数表达式为．
（2）解∶．
∴二次函数的顶点坐标是．
（3）解：当时，
∴如图，抛物线与轴的交点坐标为，
∴将二次函数图象向右平移一个单位，可以使图象经过原点，平移后的图象如图．此时的坐标是．
题组C 培优拔尖练
1．若A(，)，B(，)，C(1，)为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：∵二次函数，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=2，
∵点A(，)，B(，)，C(1，)是二次函数图象上的三点，
而三点横坐标离对称轴x=2的距离按由远到近为：A、B、C，
∴．
故选：B．
2．如图，点A是抛物线图象在第一象限内的一个动点，且点A的横坐标大于1，点E的坐标是（0，1），过点A作AB轴交抛物线于点B，过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，设阴影部分的面积为，点A的横坐标为，则关于的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：由题意可知，，，E（0，1），，
又AB轴，且过A、B作直线AE、BE分别交轴于点D、C，所以由
；
故选：C．
3．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（ ）
A．x＞3B．x＜﹣1C．﹣1＜x＜3D．x＞3或x＜﹣1
【答案】C
【解析】解：∵抛物线经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵ax2＋bx＋c＞0，
∴y＞0，
∴对应抛物线在x轴上方，即在（﹣1，0）与（3，0）之间．
∴﹣1＜x＜3．
故选：C．
4．已知二次函数的y与x的部分对应值如表：
以下结论，①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④若是抛物线上两点，则，其中正确的是 （ ）
A．①②B．②③④C．①③D．①②④
【答案】A
【解析】解：根据表格画出二次函数的图象如图，
由图可知：抛物线的开口向上，故①正确；
抛物线的对称轴为直线，故②正确；
当时，，故③错误；
若是抛物线对称轴右侧的两点，则；若是抛物线对称轴左侧的两点，；若是抛物线对称轴异侧的两点，则或，故④错误，
故选：Ａ．
5．抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【解析】抛物线解析式变形为：，
即抛物线对称轴为，
当x=m-1时，有，
当x=m+1时，有，
设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，
即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有，
∴C点坐标为，
当x=m时，有，
∴抛物线顶点坐标为，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，
由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时符合题意；
此时由图可知：，
解得，
综上所述：m的取值范围为：，
故选：D．
6．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中正确的个数有（ ）
A．5个B．1个C．3个D．2个
【答案】C
【解析】由二次函数的开口方向可知a<0
∵对称轴为x=-1，得
∴b=2a<0
∴ab>0
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上
∴c>0
故①错误．
∵对称轴为x=-1
∴x=-2与x=0时y的值相等都大于0
即4a-2b+c>0
故②正确．
由图知x=2时y<0
∴4a+2b+c<0
∵b=2a
∴4a+4a+c<0
即8a+c<0
故③错误．
∵抛物线过(1，0)点
∴a+b+c=0
∴a+2a+c=0
∴c=-3a
又∵3a-3b=3a-6a=-3a
∴c=3a-3b
故④正确．
∵b=2a，c=-3a
∴抛物线的表达式为：y=ax2+2ax-3a
联立
得ax2+bx+c=2x+2，
即ax2+2ax-3a=2x+2
ax2+(2a-2)x-3a-2=0
∴
∴=+
=-5
故⑤正确．
故正确的个数有3个
故选：C
7．已知一次函数和二次函数部分自变量与对应的函数值如下表
当时，自变量x的取值是______，当时，自变量x的取值范围是______．
【答案】 ﹣1或4 或
【解析】由表可知，当x=-1时，=0，
当x=4时，当x=-1时，=5，
∴当x=-1或4时，当x=-1时，；
故答案为：-1或4．
∵当-1∴当时，x的取值范围应是：x<-1或x>4；
故答案为：x<-1或x>4．
8．在平面直角坐标系中，已知抛物线恰好经过和两点．
（1）求a的值___________；
（2）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值___________．
【答案】 -1
【解析】（1）将A，C两点的坐标代入，
得
解得：，；
故a的值为-1
故答案为：-1．
（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+1，
设平移后所得抛物线对应的表达式为，
∵顶点在直线上，
∴．
令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为．
设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z
∵z=，
∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为．
故答案为：
9．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现：若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．
(1)求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)y＝﹣2x＋180
(2)w＝﹣2x2＋260x﹣7200
(3)55元，1050元
【解析】（1）
解：由题意得：y＝80﹣2（x﹣50）
化简得：y＝﹣2x＋180；
（2）解：由题意得：w＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣2x＋180）
＝﹣2x2＋260x﹣7200；
（3）解：w＝﹣2x2＋260x﹣7200=-2（x-65）2+1250
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下．当x＝65时，w有最大值．
又∵x＜65，w随x的增大而增大．
∵40∴当x＝55元时，w的最大值为1050元．
∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1050元的最大利润．
10．如图，抛物线与x轴交于A（1，0），B（，0）两点，C是抛物线与y轴的交点，P是该抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在（1）中抛物线的对称轴上求一点M，使得△MAC是以AM为底的等腰三角形，求出点M的坐标；
(3)设（1）中的抛物线顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，过抛物线上的动点P作x轴的垂线交线段BC于点Q，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)M（−1，0）或（−1，6）
(3)存在，P点坐标为（，）或（，）或（，3）
【解析】（1）解：将A（1，0），B（−3，0）代入，∴，解得：．，∴；
（2）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，令x=0，则y=3，∴C（0，3），设M（−1，m），∵△MAC是以AM为底的等腰三角形，∴CM=CA，∴1+（m−3）2=1+9，解得m=0或m=6，∴M（−1，0）或（−1，6）；
（3）解：存在P点，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）知D（-1，4），设直线BC的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴y=x+3，∴E（-1，2），设P（t，-t2-2t+3），Q（t，t+3），当DE为平行四边形的对角线时，，∴t=-1，∴P（-1，4）（舍）；②当DP为平行四边形的对角线时，4-t2-2t+3=2+t+3，解得t=，∴P（，）或（，）；③当DQ为平行四边形的对角线时，4+t+3=2-t2-2t+3，解得t=-1（舍）或t=-2，∴P（-2，3）；综上所述：P点坐标为（，）或（，）或（，3）．
课程标准
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际
问题；
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0，0)
(轴)
(0，)
(，0)
(，)
()
的图象
的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解
方程没有实数解
x/元
15
20
30
35
y/件
25
20
10
5
x
－1
0
2
3
4
y
5
0
－4
－3
0
x
…
0
2
4
5
…
…
0
1
3
5
6
…
…
0
0
5
9
…