41，江西省鹰潭市贵溪市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷

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本卷满分：150分 考试时间：120分钟
考试范围：选择性必修一 命题教师：黄小兰
一､单选题
1.设向量，若，则（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为.若该椭球横截面的最大直径为1.8米，则该椭球的高为（ ）
A.3.2米 B.3.4米 C.4米 D.3.6米
3.杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里.从和合公园出发，途经台州市图书馆､文化馆､体育中心等地标建筑.假设某段线路由甲､乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A.288种 B.360种 C.480种 D.504种
4.过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ）
A.或 B.或
C.或 D.或
5.在的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则展开式的常数项为（ ）
A.-3 B.3 C. D.
6.今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲､乙､丙､丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ）
A.18 B.24 C.32 D.64
7.如图，在四面体中，平面为的中点，为上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知分别为双曲线的左､右焦点，过向直线引垂线，垂足为点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A.3 B. C.2 D.
二､多选题
9.已知直线，直线，则（ ）
A.当时，与的交点为 B.直线恒过点
C.若，则 D.存在，使
10.已知点是双曲线上任意一点，是的左､右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.的离心率为
C. D.的渐近线方程为
11.有两个书架，第一个书架上有4本语文书，6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书.先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架上，分别以和表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一本书，以表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（ ）
A.事件与事件相互独立 B.
C. D.
12.如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则（ ）
A.存在点，使得平面
B.存在点，使得平面
C.当时，的最大值为1
D.当时，的最小值为0
三､填空题
13.已知点在抛物线上，则到焦点的距离为__________.
14.甲乙两人下棋，每局甲获胜的概率均为0.6，且没有和棋，在三局两胜制的规则下（即先胜两局者获得最终胜利），则甲获胜的概率为__________.
15.已知盒子中装有个一等品和2个二等品，从中任取2个产品（取到每个产品都是等可能的），用随机变量表示取到一等品的个数，的分布列如下表所示，则__________.
16.已知椭圆的左､右焦点分别为为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为__________.
四､解答题
17.在二项式的展开式中，.__________.给出下列条件：
①所有项的二项式系数的和为64；②若展开式中第2项系数为-12
试在上面二个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式的常数项；
（2）求的展开式中的系数.
18.学校组织甲､乙､丙､丁4名同学去个工厂进行社会实践活动，每名同学只能去1个工厂.
（1）问有多少种不同的分配方案？
（2）若每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？
（3）若同学甲､乙不能去工厂，且每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？（结果全部用数字作答）
19.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程.
20.某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向，两个目标投掷，先向目标郑一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品.已知小明每投掷一次，套中目标的概率为，套中目标的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为.
（1）求小明恰好套中2次的概率；
（2）求的分布列及数学期望.
21.四棱锥中，底面是矩形，平面.以的中点为球心为直径的球面交于点，交于点.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
22.已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
贵溪一中2025届高二上学期第二次月考数学试卷
参考答案
13.4 14./ 15. 16./
1.C 【详解】，即，解得.
2.D 【详解】由题意可知，，则，由该椭球横截面的最大直径为1.8米，可知米，所以米，米，该椭球的高为米.
3.C 【详解】先安排甲乙以外的4个人，然后插空安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有种.
4.B 【详解】圆化为标准方程为，得圆心，
半径为2，当直线的斜率不存在时，直线，此时直线与圆
相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，由相切得，
所以，平方化简得，求得直线方程为，
综上，直线的方程为或.
5.D 【详解】由题意知，，所以，所以，
令，所以展开式的常数项为.
6.A 【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有种，若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，则安排的方法有种，所以总的方法数有种.
7.D 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，过垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），设，
则，所以，，所以.
设直线与所成角的大小为，则.
8.D 【详解】易知，
因为直线与直线垂直，则直线的方程为
，联立可得，即点
，所以，，
则，所以，
，整理可得，故该双曲线的离心率为.
9.ABC 【详解】对于，当时，直线，直线，
联立解得所以两直线的交点为，故正确；
对于，直线，令解得即直线恒过点，故正确；
对于C：若，则，解得，故C正确；
对于，假设存在，使，则，解得或，
当时，，两直线重合，舍去，
当时，直线，直线，两直线重合，舍去，
所以不存在，使，故错误.
10.AB 【详解】在中，，A正确；的离心率正确；
由双曲线的定义或错误；
的渐近线方程为，即错误.
11.BCD 【详解】对选项A：发生时发生的概率是不发生时发生的概率是，由事件的独立性概念知，事件与事件不相互独立，错误；
对选项B：，B正确；对选项C：，
C正确；对选项D：，D正确；
12.BC 【详解】对于：由题意得在正方形的内部（包括边界），
在正方体中，平面，若平面，则在直线
上，不符合题意，错误.对于：如图，当与重合时，连接.
是正方形，平面平面，
平面平面平面.
Q，是正方形，平面平面，
平面平面平面.
QI平面平面，正确.
对于：如图，当时，得，
则在平面内的轨迹是以为圆心，圆心角为，半径为1的圆弧，
设，则有，得
得，
由，得，
则正确，D错误.
13.4 【详解】因为在上，故到准线的距离为，故到焦点的距离为4.
14. 【详解】根据题意，甲获胜一种是前两局赢，另一种是前两局赢一局，第三局赢这两种情况，故分别计算这两种情况的概率，前两局赢的概率为，
前两局赢一局，第三局赢的概率为，
则甲获胜的概率为，故答案为：0.648
15. 【详解】由分布列可得，所以，
又，所以，
进而可得
故，
16. 【详解】如图，
由为椭圆上任意一点，则，
又为圆上任意一点，
则（当且仅当共线且在之间时取等号），
，
当且仅当共线且在之间时等号成立.
由题意知，，则，
的最小值为，
17.（1）（2）
【详解】（1）若选①，.若选②，.
所以展开式的常数项为.
（2）的展开式中含的项为，所以的系数-180.
18.（1）81（2）36（3）14
【详解】（1）每名同学都有3种分配方法，则不同的分配方案有（种）.
（2）先把4个同学分3组，有种方法；再把这3组同学分到个工厂，有种方法，则不同的分配方案有（种）.
（3）同学甲､乙不能去工厂，分配方案分两类：
①另外2名同学都去工厂，甲､乙去工厂，
有（种）情况；
②另外2名同学中有一名去工厂，有（种）情况.
所以不同的分配方案共有（种）.
19.（1）（2）
【详解】（1）点在抛物线上，由抛物线定义可得，解得，故抛物线的标准方程为.
（2）设，如下图所示：
则两式相减可得，
即
又线段的中点为，可得；
则，故直线的斜率为4，
所以直线的方程为，即直线的方程为.
20.（1）（2）分布列见解析，.
【详解】（1）记“小明恰好套中2次”为事件，
分3种情况第一次，第二次套中；第一次，第三次套中；第二次第三次套中；则：，小明恰好套中2次的概率为；
（2）由题意可得：的可能取值为，，，，
所以的分布列为
所以.
21.（1）证明见解析（2）
【详解】（1）证法一：依题设知，是所作球面的直径，则.
又因为平面平面，则，
又平面平面，
所以平面，因为平面，则，
由平面平面，
所以平面平面，所以平面平面；
证法二：因为平面，
所以，又以的中点为球心为直径的球面交于点，
所以，故为的中点，
建立空间直角坐标系如图，
则.
，
设平面的法向量为，则
即
取，则平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，则
即
取，则，所以平面的一个法向量为.
，即平面平面.
（2）设平面的一个法向量，又，
由，可得：，令，则，设所求角为，则，故所求角的正弦值为.
22.（1）（2）过定点，
【详解】（1）依题意，得
又，解得
所以椭圆方程为.
（2）因为，所以
，
又为线段的中点，所以，因此.
根据题意可知直线的斜率一定存在，设的方程为，
联立消去，得，
根据韦达定理可得，因为，
所以
，
所以，
整理得，解得或.又直线不经过点，所以舍去，于是0
1
2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
C
B
D
A
D
D
ABC
AB
BCD
BC
0
1
2
3
4
5