广东省江门市广雅中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（B卷）（解析版）

这是一份广东省江门市广雅中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（B卷）（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得到集合，然后求交集即可.
【详解】，所以.
故选：A.
2. 已知函数，则的零点存在于下列哪个区间内（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用零点存在性定理，结合函数的单调性即可求解.
【详解】∵，
∴，
∴，
又与在上单调递增，所以在上单调递增，
∴函数的零点所在的一个区间为．
故选：B.
3. 函数的图象如下图所示，函数的解集是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象求出的范围，然后可得答案.
【详解】由图可知当或时，满足；
由可得，由可得，
综上的解集是.
故选：D.
4. 若，，，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.
【详解】∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
故选：C.
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可判断AC，举反例即可判断B，作差法比较即可判断D.
【详解】因为，且，所以，故A正确；
当时，满足，，此时，不满足，故B错误；
因为，所以，又，所以，故C正确；
，又，所以，
即，故D正确.
故选：B.
6. 若两个正实数x，y满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用均值不等式求解的最小值，转化存在这样的x，y使不等式有解为，求解二次不等式即可.
【详解】由题意，，
当且仅当，即时等号成立.
故若存在这样的x，y使不等式有解.
即或.
故选：A
7. 设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（ ）条件.
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】结合新定义，根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当，或，时，，
由时知，，
当时，根据定义可知，所以，故只要满足且即可，
显然不止，或，这种情况，
比如，等也满足，
所以“，或，”是“”的充分不必要条件.
故选：A
8. 定义在上的函数满足：＜0，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据＜0，得到在上递减，然后由，得到， 将不等式转化为求解.
【详解】因为定义在上的函数满足：＜0，
所以在上递减，
因为，
所以，
因为不等式，
所以，
所以，
所以，
即，
所以，
故选：B
【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知集合，，则下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C.
D. 有4个真子集
【答案】BCD
【解析】
【分析】先根据函数值域求出集合B，然后利用集合关系和集合运算逐项判断即可.
【详解】对于函数，因为，
所以，所以，
所以，又，所以，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，则的真子集为共3个真子集，错误.
故选：BCD
10. 以下判断正确的有（ ）
A. 函数的图象与直线x＝1的交点最多有1个
B. 与是不同函数
C. 函数的最小值为2
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数定义域与值域的关系即可对A项判断；根据函数与的定义域与对应关系是否相等可对B项判断；利用基本不等式及取等条件即可对C项判断；先求出，然后再求，即可对D项判断.
【详解】对于A：函数的图象与直线的交点可以为或，故A项正确；
对于B：，，两函数定义域和对应关系都相等是同一函数，故B项错误；
对于C：因为，所以，
当且仅当时取到等号，又因为无解，故等号取不到，故C项错误；
对于D：，，故D项正确.
故选：AD.
11. （多选）若，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】通过式子结构构造函数，利用条件及单调性得，从而利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性逐项判断大小即可.
【详解】因为，所以，设，
因为函数为增函数，函数为减函数，所以函数为增函数，
所以，故选项A正确；
因为不确定的正负号，所以选项BD中的式子不一定有意义，故选项BD错误；
因为函数为减函数，所以由得，故选项C正确.
故选：AC
12. 已知函数，令，则（ ）
A. 的值域是
B. 若有1个零点，则或
C. 若有2个零点，则或
D. 若存在实数a，b，c（）满足，则abc的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出函数的图象，由图象可得函数值域，判断A；将的零点问题转化为函数的图象的交点问题，数形结合，可判断B，C；结合图象确定的范围，集合函数解析式以及对数运算，可求得范围，判断D.
【详解】由题意，
将在上的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，
将的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位，取的部分，
即得到的图象，如图：
由图象可知的值域是，A正确；
的零点，即为的图象的交点的横坐标，
结合图象可知或时，的图象有一个交点，
即有1个零点，B错误；
当有2个零点时，即的图象有2个交点，
此时或，C正确；
若存在实数a，b，c（）满足，
此时的图象有3个交点，则，
结合图象可知，且，
故，，则，D正确，
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，且，则的最小值是______.
【答案】4
【解析】
【分析】判断出，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由于，即同号，则，故，
则，即，
当且仅当时，取得等号，
即的最小值是4，
故答案为：4
14. ________.
【答案】8
【解析】
【分析】直接利用对数的运算法则以及指数幂的运算法则化简即可.
【详解】
.
故答案为：8.
15. 已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据已知得出函数的周期为8，根据周期性以及对称性，依次得出，，.然后求出的值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，所以.
又是定义在R上的奇函数，
所以，
所以，所以，
所以，，
所以，的周期为8.
所以，.
令，代入可得，.
令代入可得，
又，所以，，
所以，.
故答案为：2.
16. 已知函数，若方程有5个不等实根，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，利用换元法，令，将方程有5个不等实根转化为方程有2个不等实数根，结合图象确定两根的范围，列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】作出函数的图象如图：
令，则方程有5个不等实根，
等价于方程有2个不等实数根，
且结合图象可知一个根在之间，一个根等于1，
或一个根在之间，一个根在内，不妨设，
当一个根等于1时，，则或，
当时，即，两根为，符合题意；
当时，即，两根为，不符合题意；
当一个根在之间，一个根在内时，
则，解得，故，
综合以上可知，
故答案为：
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）,（2）
【解析】
【分析】
（1）化简集合，求出，再根据并集的概念求出，根据交集的概念求出；
（2）由得，再按照和两种情况讨论可求得结果.
【详解】（1），或，
，
，
或.
（2）因为，所以，
当时，，即时，满足 ；
当，即时，由得，解得，
综上所述：.
【点睛】易错点点睛：第（2）问容易漏掉时的情况.
18. （1）已知，，求，取值范围
（2）已知，且，，试比较与的大小.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）根据不等式的性质，可得结果.
（2）利用作差法，即可得．
【详解】（1）∵，，
∴，.
∴，
即.
又，∴，
∴.
（2），
因为且，，
所以；
又因为，所以，，
所以．
19. 已知函数（）是定义在上的奇函数，且当时，的最大值为1.
（1）求m，n的值；
（2）判断在上的单调性并用定义证明.
【答案】19. ，
20. 在上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据得到方程，求出，再根据求出，得到解析式；
（2）利用定义法证明出单调性.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，此时（），
当时，任取，且，
则，
因为，所以，，
因为，所以，所以，故，
所以在上为增函数，所以的最大值为，解得，
所以；
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
任取，且，
则，
因为，所以，
因为，所以，所以，故，
所以在上单调递增.
20. 某公司生产一类新能源汽车零件，且该零件的年产量不超过35万件，每万件零件的计划售价为16万元.生产此类零件的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件零件需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的汽车零件全部售罄.
（1）求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）
（2）求该公司获得的年利润的最大值，并求此时该零件的年产量.
【答案】（1）
（2）该零件的年产量为万件时，该公司获得的年利润有最大值为24万元.
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【小问1详解】
根据题意得，
当时，，
当时，，
故.
【小问2详解】
当时，，且当时，单调递增，
当时，单调递减，此时.
当时，，当且仅当时，等号成立.
因为，故当时，取得最大值24，
所以该零件的年产量为万件时，该公司获得的年利润有最大值为24万元.
21. 已知函数.
（1）求的定义域，并求，的值；
（2）观察（1）中的函数值，请猜想具有的两个性质，并选择其中一个加以证明；
（3）解不等式：.
【答案】21.
22. 答案见解析 23.
【解析】
【分析】（1）根据函数的解析式，代入求值，即得答案；
（2）结合（1）的结果，猜测函数的奇偶性和单调性，结合定义，即可证明；
（3）利用函数的奇偶性以及单调性，将原不等式转化为关于t的不等式，结合指数函数性质以及解一元二次不等式，即得答案.
【小问1详解】
由，得，即函数定义域为，
则，
；
【小问2详解】
猜想性质1：为奇函数；
证明：函数定义域为，
则，故为奇函数；
猜想性质2：函数在定义域上单调递减，
证明：取，
则
，
因为，故，
则，故，
即，
故在定义域上单调递减.
【小问3详解】
由（2）知为奇函数，故即，
又在定义域上单调递减.，
故，解，即，
解，即，
解
得，
故的解集为.
22 已知函数.
（1）判断的奇偶性并求的单调区间；
（2）设函数（），若有唯一零点，求a的取值集合；
（3）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）为偶函数，增区间为，减区间为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性定义判断奇偶性，利用单调性定义结合偶函数性质求解单调区间；
（2）有唯一零点，即有唯一的解，可化为，由偶函数可知，化简计算可得结果；
（3）设，不等式等价为恒成立，构造函数，只需，求解即可得出结果.
【小问1详解】
由题意可知的定义域为，，则，
，所以，所以为偶函数；
任取，则，
因为
，
当时，，，，
所以，所以，
所以在上单调递增，
根据偶函数的性质知，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
函数的零点就是方程的解，
因为有唯一零点，所以方程有唯一的解，
因为函数为偶函数，所以方程变形为，
因为函数在上的单调递增，所以，
平方化简得，
当时，，经检验方程有唯一解，
当时，，解得，
综上可知，a的取值集合为.
【小问3详解】
设，则，
所以原命题等价于时，不等式恒成立，