广东省深圳市罗湖高级中学2023-2024学年高二上学期12月阶段性考试数学试题（解析版）

这是一份广东省深圳市罗湖高级中学2023-2024学年高二上学期12月阶段性考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列1，1，1，…，1，…必为（ ）
A. 等差数列，但不是等比数列B. 等比数列，但不是等差数列
C. 既是等差数列，又是等比数列D. 既不是等差数列，也不是等比数列
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列和等比数列的定义即可判断.
【详解】数列1，1，1，…，1，…是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列.
故选：C.
2. 在等差数列中，，则的公差是（ ）
A. 6B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质结合条件即得.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
所以，故，
即数列的公差为.
故选：C.
3. 已知在长方体中，，则（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的运算法则即可求解.
【详解】依题知，，
∴，
∴．
故选：C
4. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列前项和的性质进行求解即可.
【详解】因为是等比数列，所以成等比数列，即成等比数列，
显然，
故选：B
5. 已知数列满足，，则（ ）
A. 32B. 50C. 72D. 90
【答案】B
【解析】
【分析】由递推关系式，求得，，，，，然后相加可得．
【详解】由已知，，，，同理，，，
所以．
故选：B．
6. 已知圆经过点，则点到圆心的距离的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆心C的轨迹方程，再利用点到直线距离公式求解作答.
【详解】设，依题意，，则，
整理得，点到的距离，
所以点到圆心的距离的最小值．
故选：C
7. 已知椭圆E：(a＞b＞0)，直线x＝与椭圆E交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），则椭圆E的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将直线x＝代入椭圆方程，可以得到A，B两点的坐标，OA⊥OB并且直线x＝垂直于x轴，可知在三角形中，斜边的高等于斜边长度的二分之一，再结合可得离心率e。
【详解】将代入得，又因为OA⊥OB有.故离心率.
故选：D.
【点睛】本题考查了椭圆离心率的定义，属于容易题。
8. 某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件和分期付款公式列方程求解即可
【详解】由已知条件和分期付款公式，可得
，
∴．
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知数列，则下列说法正确的是（ ）
A. 此数列的通项公式是B. 是它的第项
C. 此数列的通项公式是D. 是它的第项
【答案】AB
【解析】
【分析】根据已知条件，结合数列中数字的规律，求出通项公式，即可依次求解.
【详解】数列，
即，
则此数列的通项公式为，A正确，C错，
令，解得，故B正确，D错.
故选：AB
10. 直线与圆的公共点的个数可能为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离的取值范围，即可判断得解.
【详解】圆的圆心，半径，
当时，点到直线的距离，
因此直线与圆相切或相交，所以直线与圆的公共点个数为1或2.
故选：BC
11. 方程表示的曲线中，可以是（ ）
A. 双曲线B. 椭圆C. 圆D. 抛物线
【答案】AB
【解析】
【分析】根据圆锥曲线方程的含义一一分析即可.
【详解】因为，则该曲线不表示圆，故C错误；
若，即时，方程表示的曲线是双曲线，故A正确；
若，即时，方程表示的曲线是椭圆，故B正确；
该方程为二元二次方程，则不可能表示抛物线，故D错误；
故选：AB.
12. 已知数列满足，且，则（ ）
A. 为递增数列
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】作差比较大小判断单调性判断A；推导得，计算判断B；利用裂项相消法求和判断C；借助基本不等式及等比数列前n项和公式计算判断D.
【详解】显然，而，则，，
又，即有与同号，而，则，
对于A，，即，为递增数列，A正确；
对于B，，则，
因此，B正确；
对于C，由，得，即，
因此，C正确；
对于D，，因此（当且仅当时取等号），
所以，D错误.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值为__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到及，求出答案.
【详解】由题意得，
因为成等比数列，设公比为，
则且，
解得，
故.
故答案为：
14. 双曲线的离心率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线等轴双曲线可得答案.
【详解】由得，
所以双曲线为等轴双曲线，所以离心率为.
故答案为：.
15. 已知平面经过原点，且法向量为，点，则点到平面的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积的几何意义，求出点P到平面的距离即可．
【详解】平面经过原点，且法向量为，，
则点到平面的距离为.
故答案为：.
16. 已知数列的前项和为，且满足，，，记，数列的前项和为，若对，恒成立，则的取值范围为__________．
【答案】.
【解析】
【分析】先利用得到为等比数列，求得通项公式，代入，利用裂项求和法求出，进而观察可得答案.
【详解】由，得，
两式作差得
又，，，得
则.
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
，
代入，
所以
而恒成立，所以，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知圆，求过点的圆的切线方程．
【答案】或
【解析】
【分析】若切线的斜率不存在，则切线方程为，若切线的斜率存在，则可利用圆心到切线的距离为半径可求斜率，从而得到切线方程.
【详解】若切线的斜率不存在，则切线方程为，
若切线的斜率存在，设该斜率为，
则切线方程为：即，
圆心到该直线，故，
故切线方程为或，填或.
【点睛】过一点作圆的切线，求其方程时，要注意该点是否在圆上，如果在圆上，则可以求出其与圆心的连线的斜率的负倒数后可求切线的方程，如果该点不在圆上，则可以利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率，注意不要遗漏斜率不存在的情形.
18. 已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值
【解析】
【分析】（1）利用公式，进行求解；
（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.
【详解】（1）由题意可知：，当时，，
当时，，
当时，显然成立，∴数列的通项公式；
（2），
由，则时，取得最大值28，
∴当为4时，取得最大值，最大值28．
【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.
19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面角.
【小问1详解】
证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，，，
，，，
∵∴，
∵，∴，
∵,且平面，∴平面.
（法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，，，
设是平面的一个法向量.
，.
取，有
∴，，
则，.
∴平面.
（法三）证明：连接
∵平面，平面,∴.
在中，，.
∵，∴，且，
∴平面，
又∵平面，∴.
∵，又∵，
∴，∴.
且，且平面，∴平面.
【小问2详解】
（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）.
平面的一个法向量为.
.
∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为.
（法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN.
∵，∴平面，∵，∴平面.
∴平面平面.
过D做于，连接.
∵平面，∴.
又，，
∴平面，又平面，∴.
又∵，，平面,
∴平面，∴，
∴为二面角的平面角.
中，，
∴.
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
20. 如果有穷数列（为正整数）满足条件,,…,,即 （）,我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．
（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且,．依次写出的每一项；
（2）设是49项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列，求各项的和S．
【答案】（1）数列为2，5，8，11，8，5，2；（2）．
【解析】
【分析】（1）由是等差数列，且,，先求出，然后由对称数列的特点可写出数列的各项；
（2）由是首项为1，公比为2的等比数列，先求出的通项，结合对称数列的对应项相等的特点，可知前面的各项，结合等比数列的求和公式可求出数列的和．
【详解】（1）设数列的公差为d，则,解得，
所以数列为2，5，8，11，8，5，2．
（2）．
21. 设数列是等差数列，数列是等比数列，公比大于零，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意求出数列的首项和公差及数列的首项与公比，进而得到通项公式；（2）由（1）可得，然后利用裂项相消法求出数列的和．
【详解】（1），
，解得，
∴．
,
，
．
【点睛】使用裂项相消法求和时，一是要注意数列满足的特征，二是要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
22. 已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，，且与抛物线的焦点重合.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且，求的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【解析】
【分析】（1）求出抛物线的焦点，即可得到，再根据离心率求出，最后根据，求出，即可得到椭圆方程；
（2）当直线的斜率存在且时，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再根据，得到，利用基本不等式求出的最小值，再计算直线的斜率不存在或等于零时，即可得解；
【详解】解（1）抛物线的焦点为，所以，
又因为，所以，又
所以，所以椭圆的标准方程为.
（2）（i）当直线的斜率存在且时，
直线的方程为，代入椭圆方程，
并化简得.
设，，则，，
.
易知的斜率为，
所以.
.
当，即时，上式取等号，故的最小值为.