湖北省部分学校2024届高三上学期12月联考数学试题（解析版）

这是一份湖北省部分学校2024届高三上学期12月联考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知是第一象限角，且，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合B，应用集合的补集，交集的运算即可.
【详解】，，.
故选：C
2. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的除法运算法则计算即可.
【详解】.
故选：B更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 3. 已知向量，满足，且，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直得到方程，求出，进而得到.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
解得，
.
故选：D
4. 直线关于轴对称的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点设是所求直线上任意一点，然后结合点的对称性与已知条件代入求解即可；
【详解】设是所求直线上任意一点，
则关于轴对称的点为，且在直线上，
代入可得，即.
故选：C.
5. 如图，在棱长都相等的正三棱柱中，为棱的中点，则直线与直线所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作直线与直线的平行线，然后解三角形即可得出答案.
【详解】
如图设E，F分别为棱，的中点，连接，，，，
E，F分别为棱，中点，所以，
因为为棱的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以（或其补角）为直线与直线所成的角.
设正三棱柱的棱长为，
则，，，
，，
所以，所以，.
故选：D.
6. 已知是第一象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正切求出正弦和余弦，进而由二倍角公式和正弦和角公式求出答案.
【详解】因为是第一象限角，且，
故，又，
所以，，
，，
.
故选：A
7. 已知数列的前项和为，且，若恒成立，则的最小值是（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】错位相减法求出，然后得出，即可得出答案.
【详解】，，
两式相减可得
，
所以，
因为，所以，即恒成立，故.
故选：B.
8. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.设函数，.若在区间上存在不动点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，在上有解，即有解，然后换元构造函数即可.
【详解】由题意可得，在上有解，
即有解，
令，，则，
令函数，，
当时，，所以在上单调递增，
，所以为偶函数，
所以在上单调递减.
，，
故，，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键是转化为有解问题，利用导数求出其值域，则得到关于的不等式，解出即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则（ ）
A. 我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为
B. 我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为
C. 我国今年3月份至10月份社会消费品零售总㲅同比增速的分位数为
D. 我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图形中给定数据从小到大排列，结合中位数，百分位数，平均数的定义计算即可.
【详解】我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为
2.5%，3.1%，4.6%，5.5%，7.6%，10.6%，12.7%，18.4%.
我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%，A正确.
我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为，B正确.
，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的分位数为，C错误.
我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速平均值为，D正确.
故选：ABD
10. 在椭圆中，为椭圆的右焦点，为椭圆的左顶点，为椭圆短轴上的顶点，若椭圆的离心率为，则（ ）
A. B.
C. 大于D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合离心率为黄金分割比例的性质即可求解.
【详解】因为，则，
所以，即，
所以，，.
因为，所以，即大于.
故选：ACD
11. 已知函数的定义域为，，则（ ）
A B.
C. 为奇函数D. 没有极值点
【答案】AC
【解析】
【分析】选项A：赋值法求解判断；选项B: 的值不确定；选项C：通过赋值解得，然后赋值，判断函数奇偶性；选项D：根据抽象函数结构利用对数函数求导验证极值点；
【详解】令，得，A正确；
令，得，
故的值不确定，B错误；
令，得，
令，得，则为奇函数，C正确；
由，可得，
根据函数结构举例，当时，可设，
则，
当时，，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，此时有极值点，D错误；
故选：AC.
12. 如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ）
A. 这两个球体的半径之和的最大值为
B. 这两个球体的半径之和的最大值为
C. 这两个球体的表面积之和的最大值为
D. 这两个球体的表面积之和的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意作出截面图，通过几何关系结合导数研究函数的单调性 从而研究两个球体的半径的最值，然后将两个球体的表面积之和表示成，结合二次函数的单调性求得最大值；
【详解】当这两个球体的表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，
如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
过点作，垂足为.
设圆的半径为，圆的半径为r，的最大值为，且取最大值时，，
所以，，，，.
因为，
所以①，
整理得，解得.
令函数，，.令函数，，所以是增函数.
又因为，，所以，，
所以，，，，
即，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，即这两个球体的半径之和的最大值为.
由①可得，
这两个球体的表面积之和为.
令，函数在上单调递增，
所以，即这两个球体的表面积之和的最大值为.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在的展开式中，的系数为_____________.
【答案】15
【解析】
【分析】写出展开式的通项，令的幂指数等于7，求出的值，即可求得展开式中的系数.
【详解】，
令，解得，
故的系数为.
故答案为：15
14. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为__________.
【答案】5
【解析】
【分析】利用抛物线定义将点P到该抛物线准线的距离转化为到焦点距离，再利用三点共线距离最小求值.
【详解】设抛物线的焦点为，则，由抛物线的定义可得到该抛物线准线的距离等于，
所以，当且仅当P、M、F三点共线时成立.
故答案为：5.
15. 已知函数，的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据正弦函数的对称性可求出的一个范围，再根据函数在上单调，可得，再求出的一个范围，进而可得出答案.
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以，，解得，，
因为在上单调，所以，
即，解得，
当时，，
当时，，
所以当时，单调递减，
故的最大值为.
故答案为：.
16. 已知函数，若函数有4个零点，且其4个零点，，，成等差数列，则_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出，判断其为偶函数，作出图像，得出，，，的关系，即可求解.
【详解】，
因为，
所以是偶函数，如图，
所以，，
又成等差数列，所以，则，
因为，所以，所以，.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数奇偶性得，，再利用等差数列性质得到，最后代入计算即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据已知条件结合余弦定理求解.
（2）由第一问知，再运用正弦定理求得.
【小问1详解】
因为，所以.
因，所以，解得.
【小问2详解】
由（1）可得.因为，所以，解得.
18. 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，，，，.
（1）证明：.
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积证明垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，以向量法去求平面与平面的夹角的余弦值即可解决.
【小问1详解】
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，所以，，
因为，所以.
【小问2详解】
由（1），，
设平面的法向量为，则，
即，不妨取，则.
易得平面，所以是平面的一个法向量，且.
设平面设与平面的夹角为，
所以.
故平面与平面的夹角的余弦值为.
19. 已知数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）若，记数列的前99项和为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先通过累加法求解，然后解得；
（2）首先通过分析判断出数列是周期数列，然后通过平方差公式分解求得，最后代入求解即可；
【小问1详解】
因为，
所以，，
累加得，
所以.
【小问2详解】
因为，所以.
当时，；
当时，；
当时，.
所以数列是以3为周期的数列.
故.
20. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程，
（2）证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导解得，然后求得切线方程；
（2）结合函数导数研究函数的单调性，从而求得函数的最小值；
【小问1详解】
，，.
故曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
由（1）得.
令函数，则，所以是增函数.
，，
所以存在，使得，即.
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
.
因为，所以，
所以.
故.
21. 已知双曲线的焦距为，点在上.
（1）求的方程；
（2），分别为的左、右焦点，过外一点作的两条切线，切点分别为A，B，若直线，互相垂直，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，即可得到结果；
（2）根据题意，设过且与相切的直线，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，由斜率乘积为，列出方程，即可得到结果.
【小问1详解】
由题可知，解得，
故的方程为.
【小问2详解】
由题可知，直线，的斜率均存在，
设，过且与相切的直线，
联立方程组，整理得，
则，整理得.
将代入，得，则，
从而.
因为切线，互相垂直，所以，即.
所以，，
当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.
22. 有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.（取）
（1）若，，求；
（2）若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
【答案】（1）
（2）的最大值为，此时的值为.
【解析】
【分析】（1）由题意可知，要摘到那颗最大的麦穗，有两种情况，最大的麦穗是第3颗和最大的麦穗是最后1颗，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果；
（2）记事件表示最大的麦穗被摘到，根据条件概率和全概率公式求出，再利用导数求出最值即可.
【小问1详解】
这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有种情况.
要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况：
①最大的麦穗是第3颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.
②最大的麦穗是最后1颗，第二大的麦穗是第1颗或第2颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.
故所求概率为.
【小问2详解】
记事件表示最大的麦穗被摘到，事件表示最大的麦穗在麦穗中排在第颗.
因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以.
以给定所在位置的序号作为条件，.
当时，最大的麦穗在前颗麦穗之中，不会被摘到，此时.
当时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前颗麦穗中的最大的一颗在前颗麦穗中时，
此时.
由全概率公式知.