2023-2024学年广东省深圳市南山区深圳市深中南山创新学校九年级上册月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市南山区深圳市深中南山创新学校九年级上册月考数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，在中，，劣弧的度数是（ ）

A．B．C．D．
2．如图，是的外接圆，，若的半径为6，则弦的长为（ ）

A．6B．C．D．
3．如图，在中，，是的内切圆，则阴影部分面积是（ ）
A．2B．πC．D．
4．如图，已知二次函数 、、为常数，且的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而减小；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有( )

A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①④⑤
5．如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
6．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为（ ）

A． B． C． D．
7．下列四个命题中不正确的是（ ）
A．直径是弦B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
C．顶点在圆周上的角是圆周角D．半径相等的两个半圆是等弧
8．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点的坐标分别为，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
9．如图，是等边三角形的内切圆，半径为r，的内切圆切于点N，半径为，切于点M，则（ ）

A．B．C．D．
10．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行．已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图2，当倾斜角时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（ ）
A．7cmB．12cmC．8cmD．14cm
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则等于 ．
12．如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若长为4，则图中的长为 ．
14．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，若，则的长为 ．

15．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，的半径为，点P是优弧 的中点，则的面积为 ．
三、解答题（共55分）
16．计算：
(1)；
(2)．
17．如图，与斜坡垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，若米，米，斜坡的坡角．请解决下列问题，如果结果有根号请保留根号．
(1)求点D到地面的距离；
(2)求立柱的高为多少米．
18．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根．
【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得
所以m，n为方程的两个实数根．
【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N．
（3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．

19．如图，是的直径，E，C是上两点，且，连接，．过点C作交的延长线于点D．
(1)判定直线与的位置关系，并说明理由；
(2)连接和交于点F，若，，
①求证：四边形是矩形；
②求图中阴影部分的面积．
20．一名身高为1.8m的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离4m处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方0.25m处（点A）出手，篮球在距离篮筐水平距离为1.5m处达到最大高度3.5m，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；
(2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？
(3)已知运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3运动员乙在运动员甲与篮筐之间的什么范围内能在空中截住球？
21．如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．

(1)当悬臂与桌面平行时，=___________°
(2)问悬臂端点到桌面的距离约为多少？
(3)已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
22．如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为．
(1)填空：_______，_______，_______；
(2)在图1中，若点在轴上方的拋物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求的值；
(3)如图2，若点在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了弧所对的度数求解，只需求出弧所对的圆心角度数即可．连接，根据结合即可求出．
【详解】解：连接，如图所示：

则
∵，
∴
∴
故劣弧的度数是
故选：D
2．B
【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，首先根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理求解即可．解题的关键是熟练掌握圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）和勾股定理（若直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，则）．
【详解】∵
∴
∵的半径为6，
∴
∴．
故选：B．
3．C
【分析】先利用勾股定理求出，设与分别相切于，连接，利用切线的性质和等面积法求出，再证明四边形是正方形，得到，最后根据进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
如图所示，设与分别相切于，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形内切圆半径与直角三角形三边的关系，勾股定理，正方形的性质与判定，求不规则图形面积，正确求出圆O的半径长是解题的关键．
4．D
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定、、的正负即可解答；③将点的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则，故①正确；
②∵抛物线的顶点为，，
，，
，
，
抛物线与轴的交点在正半轴，
，
，故②错误；
③抛物线经过点，
，即，故③错误；
④抛物线的顶点为，且开口方向向下，
时，随的增大而减小，即④正确；
⑤，
，
，则⑤正确；
综上，正确是①④⑤．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
5．D
【分析】根据函数图象，逐项判断 符号，即可求解．
【详解】解：A、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；
B、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；
C、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；
D、由二次函数图象，可得 ，，一次函数图象，可得 ，，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到 符号是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
当时，，
当水位上升时，则此时，
则：，
解得：或，
水面宽为：，
故选C．
7．C
【分析】用弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、直径是圆内最长的弦，正确；
B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，正确；
C、顶点在圆周角上且两边都与圆相交的角是圆周角，故错误；
D、半径相等的两个半圆是等弧，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解弦的定义、三角形的外心的性质、圆周角的定义及等圆的概念等知识．
8．A
【分析】首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围．
【详解】解：如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

所以当时，，即，解得．
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线与轴交点纵坐标为，
，解得：．
当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线经过点，
．
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线经过点，
，解得：．
时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．
综上所述，的取值范围是或，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值是解题的关键．
9．D
【分析】利用切线长的关系求出，构造矩形，则，把放在中运用勾股定理，特殊角的三角函数等求，再求比值．
【详解】解：设与、的切点分别是Q、G、与、的切点分别是是T、S、连接、、、，,,
过点O作，交得延长线于点H，
则四边形是矩形，
∴，，，，，
∵，，
∴是的角平分线，
∵，，
∴P在上，
∵等边三角形，
∴，
中，，，
∴①，
中，，，
∴②，
得，
∴，
中，
，
，
∴,
∴,
∴，

故选：D．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，勾股定理，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握特殊切线长定理，勾股定理，特殊角的三角函数，等边三角形的性质是解题的关键．
10．D
【分析】以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得出和杯子中间点的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，求出与轴的交点坐标，把点代入求出直线的解析式，再将二次函数和一次函数联立求解，求出点坐标，用两点间的距离公式求出点到点的距离．
【详解】解：设与的中点分别为O、F，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
∵在图3中，，
∴．
过点C作，交y轴于点G，则即为图3中倾倒后的．
∵点O是的中点，
∴．
∴，
同理可知：图1液面的右端点是
根据对称性可知：左右轮廓线，所在的抛物线的对称轴为y轴，
设这个抛物线的解析式为：，
则由图1可知，抛物线经过点和点，
∴
解得：，
∴抛物线的解析式是：．
令，
解得
∴，，
又∵，
∴，
∴在中，，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式是：，
∵直线经过点，，
∴
解得：，
∴直线的解析式是：，
将抛物线与直线的解析式联立得：
，
解得：或，
∴，
又∵，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键．
11．##
【分析】本题考查了解直角三角形．设小正方形的边长为1，过C作于D，求出的面积，根据勾股定理求出和，根据三角形的面积求出高长，再求出答案即可．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
过C作于D，
，
由勾股定理得： ，，
∴，
解得：CD，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵正六边形的边长为2，
∴，，
∵，
∴，
过B作于H，
∴，，
在中，，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
13．6
【分析】根据题意得，点坐标为，将点坐标代入抛物线的解析式为即可求得抛物线的解析式，令，即可求得点的坐标，从而可求出的长．
【详解】解：长为4，是半圆的直径，
点坐标为，点坐标为，
将点坐标代入抛物线的解析式为，
得，，
解得，
抛物线解析式为，
当时，，
点坐标为，
，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是求出抛物线的解析式，从而求出点的坐标．
14．8
【分析】本题考查垂径定理及勾股定理．连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理列式求解即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵直径，是的弦，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：8．
15．
【分析】过点B作于点C，根据点P是优弧的中点，得到，征得是等腰直角三角形，设，得到，，再根据得到，最后根据得到最终的答案．
【详解】试题解析：过点B作于点C，
∵点P是优弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查圆的性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理，通过圆周角定理证得是等腰直角三角形是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）原式
（2）原式
17．(1)点D到地面的距离是4米
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
（1）过点D作于点H，根据直角三角形的性质求出，得到答案；
（2）延长交于点G，根据余弦的定义求出，进而求出，再根据正切的定义计算即可．
【详解】（1）解：过点D作于点H，则的长是点D到地面的距离，
，
∵在中，，
∴（米），
答：点D到地面的距离是4米．
（2）解：如图，延长交于点G，
在中，，
∴（米），
∴（米），
∵在中，，
，
∵，
，
在中，，
∴（米）．
18．（1）；（2）见解析；（3）与x轴相交；见解析；（4）
【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用，
（1）根据勾股定理得出等式化简即可；
（2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可；
（3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论；
（4）由点的坐标即可得出结果．
解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用．
【详解】解：（1），，，
在中，，
，
化简得：，
故答案为：；
（2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：

（3）由题意得：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
与x轴有两个交点，
即与x轴相交；
（4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，
则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是．
故答案为：．
19．(1)相切，见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）连接，根据，求得，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线；
（2）①连接，连接交于，根据垂径定理得到，，由圆周角定理得到，于是得到结论；
②根据勾股定理和矩形的性质得到， ，求得，根据梯形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：直线与相切，
理由：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）①证明：如图，连接，与相交于点F，
∵，
∴，，
∴AB是的直径，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
②解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，垂径定理，不规则图形的面积，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．(1)
(2)0.2米
(3)乙在运动员距离甲1.5米之内以及篮板0.5米之内能在空中截住球．
【分析】（1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值即可；
（2）当x=-2.5时，y=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25，即可得到结论．
（3）当y=3.3代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的解析式为．
由题意可知，抛物线上的点的坐标为（1.5，3.05）．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为．
4-1.5=2.5，0.25+1.8=2.05．
由题意可得点A的坐标为，
∴，
∴．
∴篮球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2米；
（3）由题意可得出：y=3.3，
则3.3=-0.2x2+3.5
解得：x1=1，x2=-1，
∴1.5-1=0.5，-2.5-（-1）=1.5，
∴乙在运动员距离甲1.5米之内以及篮板0.5米之内能在空中截住球．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用；建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点；求得球出手时距离地面的高度是解决本题的关键．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解；
（2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解；
（3）过作，，在中解出即可求解．
【详解】（1）解：如图：当悬臂与桌面平行时，作

，悬臂也与桌面平行
∴
故答案为：
（2）解：过作与交于，过作与交于

∴四边形为矩形
∴，
∵
∴
在中
∵
∴
∴
（3）解：过作，，

∴
在中
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键．
22．(1)
(2)
(3)点的坐标是或或或或或
【分析】（1）将点代入，可得，可得抛物线的解析式，令解方程可得点的坐标，即可得的值；
（2）连接，由点的横坐标为得，根据面积和可得四边形的面积，利用二次函数的性质可得其最大值；
（3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点的坐标列方程求得的值，即可得点的坐标．
【详解】（1）将点代入
得，，
解得，
∴抛物线的解析式：，
令，
则，
解得或1，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）连接，
∵轴交抛物线于点，
∴点的纵坐标为，
，
解得或4，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴的值为；
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点的横坐标为2，
分三种情况：
①当为直角顶点时，，
如图2，过作轴，过作于，过作于，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点的横坐标为2，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或(；
②当为直角顶点时，，
如图3，过作轴，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
∴，解得或，
∴点的坐标为或，；
③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
∴，解得或5，
∴点的坐标为或；
综上所述，点的坐标是或或或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用二次函数的性质，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．