2023-2024学年江苏省苏州市苏州高新区第一初级中学校九年级上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市苏州高新区第一初级中学校九年级上册12月月考数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
1．下列关于x的函数一定为二次函数的是( )
A． B． C． D．
2．在中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角A的余弦值（ ）
A．扩大4倍B．保持不变C．缩小4倍D．扩大2倍
3．九（1）班45名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班45名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是（ ）
A．7，7B．19，8C．10，7D．7，8
4．若⊙P的半径为4，圆心P的坐标为（-3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定
5．已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，则A，C两港之间的距离是（ ）

A．B．30C．40D．50
7．如图所示的网格是正方形网格，则sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9．抛物线的顶点坐标是 ．
10．某校举行校园十佳歌手大赛，小张同学的初赛成绩为80分，复赛成绩为90分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小张同学的总成绩为 分．
11．已知是锐角，，则的值为 ．
12．如图，的半径为，，则弦的长为 ．
13．如图，湖的旁边有一建筑物，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点处测得建筑物最高点的仰角为，然后沿方向前进12米到达处，又测得点的仰角为．请你帮助该小组同学，计算建筑物的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据）

14．已知二次函数（为常数）的图象上的两点、，若，且，则与的大小关系为 ．（填“>”或“<”或“=”）
15．如图，在矩形中，，，点E是的中点，点F是上的动点，将矩形沿折叠，使点A落在点处，连接，，则面积的最小值为 ．
16．在直角坐标系中，点的坐标为，若抛物线与线段有且只有一个公共点，则的取值范围为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，共82分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解方程
(1)
(2)
19．已知为抛物线与轴相交的两个交点的横坐标，求的值．
20．为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中名男生，名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团．
(1)若只能从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为______；
(2)若从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的名学生中恰好是男女的概率．
21．已知二次函数．
（1）求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标．
22．如图，在四边形中，．

(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
23．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为．求斜坡的长．（结果保留根号）
24．如图，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为点E，若， ．
(1)求的长；
(2)求的正切值．
25．已知二次函数的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点．
（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点的坐标；
（2）设该函数图像与y轴正半轴交于点，与x轴正半轴交于点B，图像的对称轴与x轴交于点A，如果 ，，求该二次函数的解析式；
（3） 在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图像上，且点M的横坐标为，如果的面积是，求点M的坐标．
26．消防车中的高喷消防车，采用曲臂加伸缩结构，顶端装有消防炮，其液控炮既可喷射水也可喷射泡沫，具有射程远，流量大的特点．该车主要作业于油田、高层建筑、石化企业等地方的灭火救援和处置工作．在一次模拟高层建筑起火救援中，消防炮喷水口A距离地面35米，距离大楼起火侧面20米，喷出水柱呈抛物线形，水柱最高处B距离地面50米，距离大楼起火侧面5米，如图所示建立平面直角坐标系．

(1)求出水柱所在抛物线的解析式；
(2)目前火焰不断从第17层窗口窜出，若每层楼约2.9米高，窗台高度约为0.9米，窗顶距离该层地面高度约2.4米，此时水柱能否射入该层窗口？
(3)火势已经向上蔓延到距离地面55米处，高喷消防车最后一节伸缩臂CA按原来方向（与水平方向夹角约为）伸长了一截（不超过12米），为阻止火势进一步蔓延，伸缩臂应该伸长几米？（伸缩臂伸长时间忽略，）
27．如图，二次函数与轴交于两点，顶点为，连接，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与点不重合．
(1)求二次函数的表达式；
(2)①求证：；
②求的最小值；
(3)当时，求．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数．
【详解】A. ，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，是二次函数，故该选项正确，符合题意；
C. ，当时，是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，次数不为2，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变．
【详解】解：∵在中，各边的长度都扩大4倍，
∴各角的大小不变，即大小不变．
∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，
∴锐角A的余弦值保持不变．
故选B．
【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键．
3．A
【分析】根据众数、中位数的概念分别求得这组数据的众数、中位数．
【详解】解：数据7出现的次数最多，所以众数是7；
45个数据从小到大排列后，排在第23位的是7，故中位数是7．
故选：A．
【点睛】此题考查了众数的概念和中位数的概念，熟记概念是解题的关键．
4．C
【分析】首先求得点O与圆心P之间的距离，然后和圆的半径比较即可得到点O与圆的位置关系．
【详解】由勾股定理得：OP2=32+42=25，
∴OP=5
∵圆O的半径为4，
∴点O在圆P外．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，求出点到圆心的距离是解决本题的关键．
5．B
【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．
【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，
点A到对称轴的距离为，
点B到对称轴的距离为，
点C到对称轴的距离为，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大．
6．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键．
【详解】解：如图，

由题意得：，，
∴，
∴，
在中，，
，
∴A，C两港之间的距离为，
故选：D．
7．C
【分析】设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：设正方形网格中的小正方形的边长为1，
连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，
∵，BC＝2，AD＝，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，
∴CE＝，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．C
【分析】根据抛物线图像的性质得到a的范围，根据对称轴和x轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，故①符合题意；
∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∵与轴的交点在，之间包含端点，
∴，
∴，
∴，故②符合题意；
∵顶点坐标 ，抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，最大值为n，
∴对于任意实数m，，
∴，
∴，故③符合题意；
∵顶点坐标，且开口向下
∴直线与抛物线没有交点，
∴关于的方程没有实数根，故④不符合题意；
故选：C．
【点睛】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．
9．（0，1）
【详解】试题解析：∵a=1，b=0，c=1.

将x=0代入得到y=1.
∴抛物线的顶点坐标为：(0,1).
故答案为(0,1).
10．86
【分析】根据加权平均数计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：小张同学的总成绩为分．
故答案为：86
【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．
11．##
【分析】由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
12．4
【分析】利用半径相等可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质易得．
【详解】解：∵，，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，根据题意得到为等边三角形是解题的关键．
13．16
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
（米，
，
解得：，
（米，
建筑物的高度约为16米，
故答案为：16．
14．
【分析】根据二次函数解析式可知该函数图象开口朝上，且对称轴为，据此根据抛物线的性质结合题意进一步判断即可.
【详解】由题意得：该函数开口朝上，且对称轴为，
∴在对称轴左侧，随增大而减小；在对称轴右侧，随增大而增大，
∵，
∴点A、B分别位于对称轴左右两侧，
又∵，
∴点B与对称轴的距离大于点A与对称轴的距离，
∴，
故答案为：<.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
15．
【分析】由折叠的性质可得：，进而可确定点的运动轨迹是以点E为圆心，为半径的圆上的一段弧，如图，作，由于，故当最小时，的面积最小，因为，故只需要求出即可．
【详解】解：由折叠的性质可得：，
∴点的运动轨迹是以点E为圆心，为半径的圆上的一段弧，如图，作，垂足分别为G、H，
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴当最小时，的面积最小，
∵，
∴，
∴当点在上时，最小，最小为，
∴面积的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、圆的基本性质、折叠的性质以及垂线段最短等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、得出的最小值是解题的关键．
16．或
【分析】分两种情况：抛物线的顶点在x轴上和抛物线的顶点在x轴下方两种情况求解可得．
【详解】∵点的坐标为，抛物线与线段有且只有一个公共点，
∴抛物线顶点在x轴上，或者当x=0时，y<0；且当x=3时,y>0；
∴或，
解得，或.
故答案为或
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．(1)2
(2)
【分析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算：
（1）将特殊角三角函数值代入计算即可；
（2）将特殊角三角函数值代入计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
18．(1)，．
(2)，．
【分析】（1）先把方程左边分解因式化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
（2）先移项，把方程左边分解因式化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴或，
解得：，．
（2），
移项得：，
∴，
∴，，
解得：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键．
19．0
【分析】本题考查二次函数与方程的关系，由题意可得为的两根，则，，即可求解．
【详解】解：由题意得为的两根，
∴，，，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式用男生人数除以总人数即可；
（2）画树状图，共有种等可能的结果，其中被选中的人恰好是男女的结果有种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：
由图可知，共有种可能的结果，其中恰为男女的结果出现次，
则选取的名学生恰为男女的概率为．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21．（1）有（2）；
【详解】（1）
∴对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）把（1，0）代入二次函数关系式得：
；.
22．(1)
(2)
【分析】（1）延长和交于点E，，先由三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半，及勾股定理求出的长度；
（2）再根据四边形的面积进行求解即可．
【详解】（1）解：延长和交于点E，

，
，
，
，
∴，
，
∴或（舍去）；
（2）解：∵，
∴，
∴四边形的面积，
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
23．斜坡的长是米．
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得的长，进而得到的长，再根据锐角三角函数可以得到的长，最后用勾股定理即可求得的长．
【详解】∵，，坡度为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，斜坡的坡度为，
∴，
即，
解得，，
∴米，
答：斜坡的长是米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据， ，求出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质与判断得出，即可求出答案；
（2）过点A作于点F，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，求出，，求出，即可求出．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）过点A作于点F，如图所示：
∵是边上的中线，
∴，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的应用，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
25．（1）抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点；（2）；（3）点M的坐标为
【分析】（1）根据二次函数图象与系数之间的关系即可判断开口方向，对称轴以及顶点坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴，即可判断出△CDE∽△BCO，然后结合，可推出，从而通过相似三角形的性质列式求解a，即可得出解析式；
（3）首先根据M的坐标求出直线CM的解析式，从而得到直线CM与对称轴的交点P的坐标，进而利用割补法建立关于△ACM面积的等式，求解出t的值即可．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线开口向下，
根据对称轴公式可得：，
当时，，则顶点，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点；
（2）如图所示，作DE⊥y轴，
由（1）可知顶点，则OA=ED=1，
∵DC⊥BC，
∴∠DCE+∠BCO=90°，
又∵∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠BCO，
∴△CDE∽△BCO，
∴，
∵，
∴
当时，，即点C的坐标为
∴，则：，
解得：，
经检验a=-1是方程的解，
∴抛物线的解析式为：；
（3）在（2）的条件下，如图所示，连接MC，M的坐标为，
此时设直线CM的解析式为：，
将C，M的坐标代入得：，解得：，
即：直线CM的解析式为：，
设直线CM与对称轴交于P点，则P的坐标为，，
∴，
解得：，
将代入抛物线解析式得：，
∴点M的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，相似三角形的判定与性质，正切函数的定义等，熟悉二次函数的性质，灵活构造相似三角形并运用其性质是解题关键．
26．(1)抛物线解析式为：
(2)此时水柱能射入该层窗口，理由见解析
(3)应伸长米
【分析】（1）根据二次函数解析式，用代入法来求出解析式．
（2）根据解析式求出最大值，再进比较．
（3）求出新的二次函数解析式，并根据一元二次方程来解决问题．
【详解】（1）由题意得到：B点坐标：，A点坐标：，
设抛物线的解析式为：，
把A点坐标代入得：，
解得，，
∴抛物线解析式为：．
（2）当时，，
第16层楼顶高度为：，
，，
∵，
∴此时水柱能射入该层窗口
（3）过A作平行于x轴，

设伸长至处，的长即为其伸长的长度，设为，
过作于E，则，
∴，，
即相当于将点A向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度．
新抛物线的解析式：，
当时，，
∴，
解得：（舍去），，
∴应伸长米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，关键用代入法来求出解析式，再转化成一元二次方程解决问题．
27．(1)
(2)①证明见详解，②
(3)
【分析】（1）利用交点式即可求得二次函数的解析式；
（2）①根据两角相等可证明两三角形相似；由可得，由即可将求的最小值转化为求的最小值．
（3）过点作，设抛物线对称轴与x轴交点为F，由，且可得，再通过求得，最后利用勾股定理求出即可求解．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为：，
二次函数与轴交于两点，
二次函数的解析式为：，
（2）①如图：
由翻折可得：
A点与C点关于二次函数对称轴对称，
，
，
，
②，
，
，
即，
的最小值就是的最小值，
由可得：
点C的坐标为：，
，
当时最小，最小值为：，
此时最小，最小值为：，
的最小值为：．
（3）过点作，延长交于点H，设抛物线对称轴与x轴交点为F，如图：
，，
，
，
，
，则，
由翻折得：，
点B坐标为、点F坐标为，，
设，则，在中，由勾股定理得∶
，（舍去），
．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解本题的关键．
人数（人）
5
19
15
6
时间（小时）
6
7
9
10