2023-2024学年山东省枣庄市滕州市九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市滕州市九年级（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列正多边形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．（x﹣1）（x﹣2）＝x2D．x2﹣y﹣2＝0
3．方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（ ）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆
B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径
D．在一个圆中，直径是最长的弦
5．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55°B．65°C．75°D．130°
6．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PA＝24cm，则⊙O的周长为（ ）
A．18πcmB．16πcmC．20πcmD．24πcm
7．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸
二、填空题（每题3分）
9．将方程x2﹣6x＝0化成（x+m）2＝n的形式是 ．
10．已知x＝a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，则代数式a2﹣2a+1的值为 ．
11．半径为1的圆中，长为的弦所对的圆周角是 ．
12．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B（0，4），C点的坐标为（6，2），则圆心M点的坐标为 ．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140° °．
14．半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合 cm．
15．如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝ ．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是 ．
三、计算题（每题5分）
17．选择适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣3）2＝4；
（2）x2﹣5x+1＝0；
（3）x（3x﹣2）＝2（3x﹣2）；
（4）（x+1）2＝4（1﹣x）2．
四、解答题
18．（6分）已知等腰△ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°
19．（6分）如图，A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径吗？为什么？
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若x1+x2+x1x2＝7，求m的值．
21．（8分）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动（cm）与时间t（s）满足关系：，半圆的长度为21cm．
（1）甲运动4s后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
22．如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD＝OB＝4，求弦AE的长．
23．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个），二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，五月份可获利1920元？
24．（12分）求代数式x2﹣4x+3的最小值时，我们通常运用“a2≥0”这个公式对代数式进行配方来解决．比如x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣1≥﹣1，∴x2﹣4x+3的最小值是﹣1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2+6x+11＝（x+ ）2+ ；
（2）求x2+y2+2x﹣4y+8的最小值；
（3）如图，将边长为2的正方形一边保持不变，另一组对边增加2a+2（a＞0），此长方形的面积为S1；将正方形的边长增加a+1（a＞0），得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2．
①用含a的代数式表示出S1，S2；
②比较S1，S2的大小．
25．（12分）定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．
例如：如图1，△ABC中，AD＝AD，∠B＝∠C，则△ABD与△ACD是邻等三角形．
（1）如图2，⊙O中，点D是，那么请判断△ABD与△ACD是否为邻等三角形，并说明理由．
（2）如图3，以点A（2，2）为圆心（4，0），△OBC是⊙A的内接三角形，∠COB＝30°．求∠C的度数和OC的长．
2023-2024学年山东省枣庄市滕州市善国中学等校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分）
1．下列正多边形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解：A、图形是轴对称图形，符合题意；
B、图形既是轴对称图形，不符合题意；
C、图形既是轴对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．（x﹣1）（x﹣2）＝x2D．x2﹣y﹣2＝0
【答案】B
解：A、分母中有未知数，故此选项不符合题意；
B、是一元二次方程；
C、（x﹣3）（x﹣2）＝x2化简为：﹣5x+2＝0，不是一元二次方程；
D、x2﹣y﹣2＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，
故选：B．
3．方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（ ）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
【答案】C
解：由于Δ＞0，
∴x1+x5＝﹣3，
故选：C．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆
B．长度相等的弧是等弧
C．弦是直径
D．在一个圆中，直径是最长的弦
【答案】D
解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆；
B、同圆或等圆中，故不符合题意；
C、直径是弦，不符合题意；
D、在一个圆中，符合题意．
故选：D．
5．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55°B．65°C．75°D．130°
【答案】B
解：∵∠BOC＝130°，点A在上，
∴∠BAC＝∠BOC＝，
故选：B．
6．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PA＝24cm，则⊙O的周长为（ ）
A．18πcmB．16πcmC．20πcmD．24πcm
【答案】C
解：如图，连接OA．
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，即∠OAP＝90°．
又∵PO＝26cm，PA＝24cm，
∴根据勾股定理，得
OA＝＝＝10cm，
∴⊙O的周长为：4π•OA＝2π×10＝20π（cm）．
故选：C．
7．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【答案】B
解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）2，
∴50+50（3+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
8．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸B．24寸C．13寸D．26寸
【答案】D
解：连接OA，
∵AB⊥CD，且AB＝10寸，
∴AE＝BE＝5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣7，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）4＝52，化简得：x4﹣x2+2x﹣3＝25，
即2x＝26，
∴CD＝26（寸）．
故选：D．
二、填空题（每题3分）
9．将方程x2﹣6x＝0化成（x+m）2＝n的形式是 （x﹣3）2＝9 ．
【答案】（x﹣3）2＝9．
解：x2﹣6x＝6，
x2﹣6x+7＝9，
（x﹣3）6＝9，
故答案为：（x﹣3）2＝9．
10．已知x＝a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，则代数式a2﹣2a+1的值为 4 ．
【答案】4．
解：∵x＝a是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的一个实数根，
∴a2﹣6a﹣3＝0，
∴a2﹣2a＝3，
∴a6﹣2a+1＝3+1＝4
故答案为：7．
11．半径为1的圆中，长为的弦所对的圆周角是 45°或135° ．
【答案】45°或135°．
解：过O作OR⊥AB于R，连接OA，
∵OR⊥AB，OR过圆心O，
∴AR＝BR＝AB＝，
∵OA＝5，
∴sin∠AOR＝＝＝，
∴∠AOR＝45°，
同理∠BOR＝45°，
∴∠AOB＝45°+45°＝90°，
∴圆周角∠ACB＝∠AOB＝45°，
当点C在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝135°，
即弦AB所对的圆周角的度数是45°或135°，
故答案为：45°或135°．
12．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B（0，4），C点的坐标为（6，2），则圆心M点的坐标为 （2，0） ．
【答案】（2，0）．
解：如图，作AB和BC的垂直平分线，M点的坐标为（2．
故答案为：（2，5）．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140° 80 °．
【答案】见试题解答内容
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，
∴∠B＝40°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠B＝80°，
故答案为：80．
14．半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合 cm．
【答案】见试题解答内容
解：作MO交CD于E，则MO⊥CD，
对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，
则ME＝OE＝OC，
在直角三角形COE中，CE＝＝，
折痕CD的长为2×＝（cm）．
15．如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝ 6 ．
【答案】见试题解答内容
解：∵O是原点，且是AB的中点，
∴OA＝OB，
∵B点表示的数是x，
∴A点表示的数是﹣x．
∵B是AC的中点，
∴AB＝BC，
∴（x2﹣3x）﹣x＝x﹣（﹣x），
解得：x8＝0，x2＝2．
∵B异于原点，
∴x≠0，
∴x＝6．
故答案为：2．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是 3+ ．
【答案】见试题解答内容
解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PB，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC＝3，PC＝a，
把x＝7代入y＝x得y＝3，
∴D点坐标为（3，6），
∴CD＝3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝＝2，
在Rt△PBE中，PB＝6，
∴PE＝＝8，
∴PD＝PE＝，
∴a＝5+．
故答案为：3+．
三、计算题（每题5分）
17．选择适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣3）2＝4；
（2）x2﹣5x+1＝0；
（3）x（3x﹣2）＝2（3x﹣2）；
（4）（x+1）2＝4（1﹣x）2．
【答案】（1）x1＝5，x2＝1；
（2）x1＝，x2＝；
（3）x1＝，x2＝2；
（4）x1＝，x2＝3．
解：（1）（x﹣3）2＝3，
x﹣3＝±2，
所以x6＝5，x2＝2；
（2）x2﹣5x+3＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，
∴Δ＝（﹣5）2﹣8×1×1＝21＞7，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（3）x（3x﹣2）＝6（3x﹣2），
x（5x﹣2）﹣2（4x﹣2）＝0，
（6x﹣2）（x﹣2）＝2，
3x﹣2＝7或x﹣2＝0，
所以x6＝，x3＝2；
（4）（x+1）6＝4（1﹣x）3，
x+1＝±2（6﹣x），
即x+1＝2（3﹣x）或x+1＝﹣2（4﹣x），
所以x1＝，x2＝3．
四、解答题
18．（6分）已知等腰△ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°
【答案】见试题解答内容
解：画图如下：
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，
∴∠BAO＝60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴△ABC的外接圆的半径为4．
19．（6分）如图，A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径吗？为什么？
【答案】见试题解答内容
解：AE是⊙O的直径．
理由：连接BE，
∵∠E与∠C是对的圆周角，
∴∠E＝∠C，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD+∠C＝90°，
∵∠CAD＝∠EAB，
∴∠EAB+∠C＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE是⊙O的直径．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若x1+x2+x1x2＝7，求m的值．
【答案】（1）见解答过程；
（2）3．
解：（1）Δ＝（m+1）2﹣3（3m﹣6）＝（m﹣3）2，
∵（m﹣5）4≥0，
∴△≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）由根与系数关系得x6+x2＝m+1，x6x2＝3m﹣3，
∵x1+x2+x3x2＝7，
∴m+2+3m﹣6＝5，
解得m＝3，
答：m的值为3．
21．（8分）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动（cm）与时间t（s）满足关系：，半圆的长度为21cm．
（1）甲运动4s后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
【答案】（1）14厘米；
（2）10秒．
解：（1）当t＝4时，l＝2+×4＝14．
答：甲运动4s后的路程是14厘米；
（2）根据题意得：t2+t+4t＝21×4×2+21，
整理得：t2+11t+210＝7，
解得：t1＝10，t2＝﹣21（不符合题意，舍去）．
答：它们运动了10秒．
22．如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD＝OB＝4，求弦AE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OE，
∵CD与圆O相切，
∴OE⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∵BE∥OC，
∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠AOC＝∠COE，
在△AOC和△EOC中，
，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO＝∠CEO＝90°，
则AC与圆O相切；
（2）在Rt△DEO中，BD＝OB，
∴BE＝OD＝OB＝2，
∵OB＝OE，
∴△BOE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝BE•tan60°＝4．
23．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个），二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，五月份可获利1920元？
【答案】见试题解答内容
解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1+x）2＝400，
解得：x8＝0.25＝25%，x2＝﹣8.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，
依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，
化简，得：y2+7y﹣12＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价5元时，五月份可获利1920元．
24．（12分）求代数式x2﹣4x+3的最小值时，我们通常运用“a2≥0”这个公式对代数式进行配方来解决．比如x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣1≥﹣1，∴x2﹣4x+3的最小值是﹣1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2+6x+11＝（x+ 3 ）2+ 2 ；
（2）求x2+y2+2x﹣4y+8的最小值；
（3）如图，将边长为2的正方形一边保持不变，另一组对边增加2a+2（a＞0），此长方形的面积为S1；将正方形的边长增加a+1（a＞0），得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2．
①用含a的代数式表示出S1，S2；
②比较S1，S2的大小．
【答案】（1）3；2；（2）3；（3）S1＜S2．
解：（1）依据题意，x2+6x+11＝x2+6x+9+8＝（x+3）2+8．
故答案为：3；2．
（2）由题意，x7+y2+2x﹣7y+8＝x2+2x+1+y2﹣6y+4+3＝（x+8）2+（y﹣2）4+3．
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）5≥0，
∴（x+1）8+（y﹣2）2+3≥3．
∴x2+y5+2x﹣4y+8≥3．
∴x2+y6+2x﹣4y+8的最小值为3．
（3）①由题意，根据图形可得，S1＝6（2a+4），S6＝（a+3）2．
②由①可得，S3﹣S1＝（a+3）7﹣2（2a+3）＝a2+6a+5﹣4a﹣8＝a6+2a+1＝（a+5）2．
∵（a+1）6＞0（a＞0），
∴S4﹣S1＞0．
∴S4＞S1，即S1＜S5．
25．（12分）定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．
例如：如图1，△ABC中，AD＝AD，∠B＝∠C，则△ABD与△ACD是邻等三角形．
（1）如图2，⊙O中，点D是，那么请判断△ABD与△ACD是否为邻等三角形，并说明理由．
（2）如图3，以点A（2，2）为圆心（4，0），△OBC是⊙A的内接三角形，∠COB＝30°．求∠C的度数和OC的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠C＝45°，OC＝2+2．
解：（1）△ABD与△ACD是邻等三角形，理由如下：
∵点D是的中点，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△ABD与△ACD是邻等三角形．
（2）如图3，作AH⊥OB，AB，
∵OA＝AB，
∴OH＝BH，
∵点A的坐标是（2，6），
∴AH＝OH＝BH＝2，
∴∠OAB＝90°，
∴∠C＝∠OAB＝45°，
作BK⊥OC，在Rt△BOK中，∠BOK＝30°，
∴BK＝2，OK＝2，
在Rt△BKC中，∠C＝45°，
∴CK＝2，BC＝2，
∴OC＝2+2．