2020-2021学年安徽省芜湖九年级（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年安徽省芜湖九年级（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个解为x＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b+c＝0B．a﹣b+c＝0C．a+b+c＝1D．a﹣b+c＝1
2．（4分）若方程是关于x的一元二次方程，则k的取值范围为（ ）
A．k≠1B．k≥1
C．k≥0且k≠1D．k为任意实数
3．（4分）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（4分）关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的两个根互为相反数，则k值是（ ）
A．﹣1B．±2C．2D．﹣2
5．（4分）α、β是方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则a2+4a+β＝（ ）
A．4B．10C．﹣4D．﹣10
6．（4分）若二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝3，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（4分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣B．或C．2或D．2或或
9．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，把△AEB绕点A沿顺时针方向旋转一定角度后得到的△AFD，则下列说法：①旋转角度是90°；②△AEB≌△AFD；④∠EAB+∠AFD＝90°，其中正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．①②③D．①②③④
10．（4分）已知M（1﹣2m，m﹣1）关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．不存在
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
11．（5分）A（﹣3，4），A′（3，0），且A，同M的坐标为 ．
12．（5分）边长为3的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45° ．
13．（5分）已知ax2+bx+c＝0的两根为2，3，则cx2+bx+a＝0的两个根分别为 ．
14．（5分）若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是 ．
15．（5分）已知方程（x2+y2）2﹣2（x2+y2）﹣3＝0，则x2+y2的值为 ．
16．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2 ．
17．（5分）如图，已知函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则a的取值范围是 ．
18．（5分）将△ABC绕着C（0，﹣1）旋转180°，得到△A′B′C′，已知A（3，2），则A′的坐标为 ．
三、解答题
19．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
20．解下列方程：
（1）（x+2）2＝25；
（2）x2﹣5x+2＝0．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．
22．已知二次函数的图象顶点为（2，﹣1），且过（1，1）点，求这个二次函数的解析式．
23．如图，一次函数y＝x﹣与x轴交点A恰好是二次函数与x的其中一个交点，并与y轴的交点为（0，1）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接BC，求三角形ABC的面积．
24．（16分）如图，∠AOB＝60°，在∠AOB的角平分线上有一点C，它的两边分别与直线OA、OB交于D、E．
（1）当CD⊥OA时，猜想OE+OD与OC的数量关系，并加以证明（图1）；
（2）当CD与OA不垂直时，（1）中的关系仍成立吗？并说明理由（图2）；
（3）当∠DCE绕C点旋转CD与OA的反向延长线相交时，上述（1）的猜想仍能成立吗？若不成立
2020-2021学年安徽省芜湖二十九中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个解为x＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b+c＝0B．a﹣b+c＝0C．a+b+c＝1D．a﹣b+c＝1
【答案】A
解：依题意，得
x＝1满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3，
则a+b+c＝0．
故选：A．
2．（4分）若方程是关于x的一元二次方程，则k的取值范围为（ ）
A．k≠1B．k≥1
C．k≥0且k≠1D．k为任意实数
【答案】C
解：∵方程（k﹣1）x2+x＝3是关于x的一元二次方程，
∴k﹣1≠0，k≥7，
解得：k≥0且k≠1．
故选：C．
3．（4分）若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
解：∵a＝1，b＝﹣2，方程无实数根，
∴b4﹣4ac＜0
∴（﹣4）2﹣4×8×（﹣m）＜0
∴m＜﹣1
∴一次函数y＝（m+4）x+m﹣1中，一次项的系数小于0，其图象不经过第一象限．
故选：A．
4．（4分）关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的两个根互为相反数，则k值是（ ）
A．﹣1B．±2C．2D．﹣2
【答案】D
解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x6+（k2﹣4）x+k+7＝0的两个实数根，且两个实数根互为相反数，则
x1+x6＝＝﹣（k2﹣4）＝3，即k＝±2，
当k＝2时，方程无解．
故选：D．
5．（4分）α、β是方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则a2+4a+β＝（ ）
A．4B．10C．﹣4D．﹣10
【答案】A
解：∵α、β是方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴α+β＝﹣3，α6+3α＝7，
∴a8+4a+β＝（α2+7α）+（α+β）＝7﹣3＝6．
故选：A．
6．（4分）若二次函数y＝x2+mx的对称轴是直线x＝3，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
【答案】D
解：
∵y＝x2+mx，
∴对称轴为x＝﹣，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝3，
故选：D．
7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
解：①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，
∴ab＜0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞4，
故①正确；
②∵a＞0，x＝﹣，
∴﹣b＜6a，
∴2a+b＞0，
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b7﹣4ac＞0，
故③正确；
④当x＝﹣7时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确．
故选：D．
8．（4分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣B．或C．2或D．2或或
【答案】C
解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣3﹣m）2+m2+5＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾；
②当﹣2≤m≤7时，x＝m时，
此时，m2+1＝2，
解得m＝﹣，m＝；
③当m＞7时，x＝1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）6+m2+1＝2，
解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．
故选：C．
9．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，把△AEB绕点A沿顺时针方向旋转一定角度后得到的△AFD，则下列说法：①旋转角度是90°；②△AEB≌△AFD；④∠EAB+∠AFD＝90°，其中正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】B
解：①将△AEB绕点A沿顺时针方向旋转270°后得到的△AFD，故本说法错误；
②旋转前后的图形全等可得△AEB≌△AFD，故本说法正确；
③∵△AEB≌△AFD，∴AE＝AF，
∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝90°，故本说法正确；
④∵∠EAB＝∠FAD，∠FAD+∠AFD＝90°，故本说法正确．
故选：B．
10．（4分）已知M（1﹣2m，m﹣1）关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】C
解：∵M（1﹣2m，m﹣7）关于原点的对称点在第一象限内，
∴M（1﹣2m，m﹣5）在第三象限内，
∴，
解得＜m＜1．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
11．（5分）A（﹣3，4），A′（3，0），且A，同M的坐标为 （0，2） ．
【答案】（0，2）．
解：设点M的坐标为（m，n），
∵A（﹣3，4），5）′关于M对称，
∴，
∴，
∴点M的坐标为（5，2）．
故答案为：（0，4）．
12．（5分）边长为3的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45° 9﹣9 ．
【答案】9﹣9．
【解答】因为是绕顶点A顺时针旋转45°角，由旋转的特征和正方形性质可知：
AD′落在AC上，AD′＝AD＝AB，
在Rt△AD'E和Rt△ABE中，
，
∴Rt△AD′E≌Rt△ABE（HL），
∴D′E＝BE，
∵AC是正方形对角线，
∴∠D′CE＝45°，
∴∠D′EC＝45°，
∴D′C＝D′E，
设BE＝x，则D′C＝D′E＝x，
在Rt△CED′中，
CE＝＝x，
∴x+x＝3，
解得x＝3（﹣1），
S四边形AD′EB＝S△ABC﹣S△CD′E＝×3×3﹣﹣4）＝9．
故答案为：8﹣9．
13．（5分）已知ax2+bx+c＝0的两根为2，3，则cx2+bx+a＝0的两个根分别为 x＝或x＝ ．
【答案】x＝或x＝．
解：∵ax2+bx+c＝0的两根为4，3，
∴a≠0．
∴对于方程cx8+bx+a＝0两边同时除以x2得，
a（）2+b（）+c＝7．
又ax2+bx+c＝0的两根为8，3，
∴对于方程a（）2+b（）+c＝0就有＝3或x＝．
∴方程cx2+bx+a＝0的根为x＝或x＝．
故答案为：x＝或x＝．
14．（5分）若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是 b＜1且b≠0 ．
【答案】见试题解答内容
解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
∴，
解得b＜1且b≠8．
故答案为b＜1且b≠0．
15．（5分）已知方程（x2+y2）2﹣2（x2+y2）﹣3＝0，则x2+y2的值为 3 ．
【答案】见试题解答内容
解：a＝x2+y2，
则原方程变为a2﹣2a﹣3＝8，
解得：a1＝﹣1，a8＝3，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y3＝3．
故答案为：3．
16．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2 ﹣1.5或 ．
【答案】见试题解答内容
解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，
当m＞3时，由题意得：当x＝2时，代入得：4﹣5m＝﹣2，不合题意；
当﹣1≤m≤5时，由题意得：当x＝m时，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝（舍去）；
当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣7时，代入得：1+2m＝﹣8，
综上，m的值是﹣1.5或，
故答案为：﹣1.5或．
17．（5分）如图，已知函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则a的取值范围是 0＜a＜1 ．
【答案】见试题解答内容
解：抛物线开口向上，a＞0，
图象过点（0，﹣4），
图象过点（﹣1，0），
∴b＝a﹣4，
由题意知，当x＝1时，
∴a+b+c＜0，
∴a+（a﹣4）﹣1＜0，
∴a＜4，
∴实数a的取值范围是0＜a＜1．
故答案为：7＜a＜1．
18．（5分）将△ABC绕着C（0，﹣1）旋转180°，得到△A′B′C′，已知A（3，2），则A′的坐标为 （﹣3，﹣4） ．
【答案】（﹣3，﹣4）．
解：设A′的坐标为（m，n），
∵将△ABC绕着C旋转180°，得到△A′B′C′，已知A（3，
∴C（0，﹣5）是线段AA′的中点，
∴0＝，﹣1＝，
∴m＝﹣3，n＝﹣4，
∴A′的坐标为（﹣4，﹣4）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
三、解答题
19．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
【答案】见试题解答内容
解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，
解得：k≤7，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠6．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣6x+2＝0，
所以把x＝3代入方程，可得k＝，
所以原方程是：5x2﹣8x+5＝0，
解得：x1＝5，x2＝，
所以BC的值是．
20．解下列方程：
（1）（x+2）2＝25；
（2）x2﹣5x+2＝0．
【答案】（1）∴x1＝3，x2＝﹣7；
（2）x1＝，x2＝．
解：（1）∵（x+2）2＝25，
∴x+5＝±5，
∴x＝﹣2±4，
∴x1＝3，x2＝﹣7；
（2）x2﹣3x+2＝6，
∵Δ＝（5）3﹣4×1×3＝42，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
解：∵该一元二次方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣7×1×a＝4﹣2a≥0，
解得：a≤1，
由韦达定理可得x8x2＝a，x1+x2＝2，
∵x1x7+x1+x2＞3，
∴a+2＞0，
解得：a＞﹣5，
∴﹣2＜a≤1．
22．已知二次函数的图象顶点为（2，﹣1），且过（1，1）点，求这个二次函数的解析式．
【答案】y＝（x﹣2）2﹣1．
解：设二次函数的解析式是y＝a（x﹣2）2﹣3，
把（1，1）代入4﹣1，
即a＝1，
∴该二次函数的解析式是y＝（x﹣3）2﹣1．
23．如图，一次函数y＝x﹣与x轴交点A恰好是二次函数与x的其中一个交点，并与y轴的交点为（0，1）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接BC，求三角形ABC的面积．
【答案】见试题解答内容
解：（1）由已知可得y＝x﹣与x轴交点A的坐标为（
∵二次函数过（0，2）
∴设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+1
∵二次函数图象的对称轴为x＝2，且过A（
故
解得
∴二次函数的解析式为：；
（2）由（1）知函数过A（，
当y＝4时，解得，，
故B（，0）
由解得，
故C（，）
∴．
24．（16分）如图，∠AOB＝60°，在∠AOB的角平分线上有一点C，它的两边分别与直线OA、OB交于D、E．
（1）当CD⊥OA时，猜想OE+OD与OC的数量关系，并加以证明（图1）；
（2）当CD与OA不垂直时，（1）中的关系仍成立吗？并说明理由（图2）；
（3）当∠DCE绕C点旋转CD与OA的反向延长线相交时，上述（1）的猜想仍能成立吗？若不成立
【答案】（1）OD+OE＝OC；证明见解析；
（2）（1）中结论仍然成立，理由见解析；
（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD＝OC，理由见解析．
解：（1）OD+OE＝OC；
证明：∵OM是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°，
∵CD⊥OA，
∴∠ODC＝90°，
∴∠OCD＝60°，
∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝60°，
在Rt△OCD中，OD＝OC•cs30°＝，
同理：OE＝OC，
∴OD+OE＝OC；
（2）（1）中结论仍然成立，理由：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝，OG＝，
∴OF+OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF＝CG，
∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE（AAS），
∴DF＝EG，
∴OF＝OD+DF＝OD+EG，OG＝OE﹣EG，
∴OF+OG＝OD+EG+OE﹣EG＝OD+OE，
∴OD+OE＝OC；
（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD＝，
理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝，OG＝，
∴OF+OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF＝CG，
∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE（AAS），
∴DF＝EG，
∴OF＝DF﹣OD＝EG﹣OD，OG＝OE﹣EG，
∴OF+OG＝EG﹣OD+OE﹣EG＝OE﹣OD，
∴OE﹣OD＝OC．