2023-2024学年福建省厦门市集美区英才学校九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省厦门市集美区英才学校九年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了关于的一元二次方程的根是，抛物线 与y轴的交点纵坐标为，下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．菱形D．对角互补的四边形
2．关于的一元二次方程的根是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知是的直径，C，D，E是上的三个点，相等的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
4．已知△ABC和△DEF关于点O对称，相应的对称点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．AO=BOB．BO=EO
C．点A关于点O的对称点是点DD．点D 在BO的延长线上
5．抛物线 与y轴的交点纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知坐标原点为O，点，将绕原点O顺时针旋转后的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
8．如图，已知等腰三角形，，长为半径画弧，交腰于点E，则（ ）
A． B．
C．D．
9．如图，圆弧形拱桥的跨径米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）米
A．B．C．D．
10．已知二次函数y＝x2+bx+1当的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是（ ）
A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣D．b≥﹣3
二、填空题
11．方程的解是 ．
12．抛物线的对称轴是直线，则的值为 ．
13．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠OBC的度数为 ．
14．某药品经过两次降价，每瓶零售价由58元降为43元．已知两次降价的百分率均为x则应列出方程 （列出方程即可，不要解方程）
15．为的直径，C为半圆弧的中点，点D在上，且，若，则的长为 ．
16．如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，，．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B，C，顶点为D．将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜360°），得到矩形OA'B'C'，记A'C'的中点E，连结DE，线段DE的长度最大值为 ．
三.解答题
17．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
18．如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给平面直角坐标系中解答下列问题：
(1)将绕点逆时针旋转90°，画出旋转后的；
(2)请直接写出经过、、三点的的圆心的坐标______．
19．已知二次函数
(1)用列表描点画出它的图象；
(2)该二次函数的顶点坐标是 ，与x轴的交点坐标 ．
(3)当时，y的取值范围．
20．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知是关于x的凤凰方程，m是此方程的一个根，求m的值．
21．如图，在四边形中，，过A，B，D三点的圆交边于点E．若，，求证：．
22．某网店准备经销一款儿童玩具，每个进价为元，经市场预测，每周可售出个，包邮单价每增加元销售将减少个，店主要承付元的快递费用，设该店主包邮单价定为（元）（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)该店主想每周获得利润元，能否实现，并说明理由．
23．如图1，中，，过点B作，交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，点F在线段上，且，G是的中点，若，，求的半径．
24．在正方形中，将边绕点A逆时针旋转得到线段，过B作交于点G，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)当时，依题意补全图2，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明．
25．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点的坐标为和原点，将线段绕原点顺时针旋转，
(1)求抛物线解析式，判断点是否在抛物线上；
(2)连接，作点关于的对称点，求四边形的面积；
(3)点是轴上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，将的面积记为，若，直接写出的取值范围．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据中心对称图形的意义：平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合叫做中心对称图形对每项进行判断即可.
【详解】A、锐角三角形，一定不是中心对称图形，故此选项错误；
B、直角三角形，一定不是中心对称图形，故此选项错误；
C、菱形是中心对称图形，故此选项正确；
D、对角互补的四边形，不一定不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形，解决本题的关键是正确理解中心对称图形的概念，对每个图形的特点要熟练掌握.
2．D
【详解】当时，
一元二次方程的求根公式为x=.
故选D.
3．A
【分析】本题考查了圆周角定理的知识，根据直径所对的圆周角为直角求解即可．解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角．
【详解】解：∵是的直径，
∴，故A正确；
∵和不一定相等
∴和不一定相等，故B错误；
∵
∴，故C错误；
∵和不一定相等
∴和不一定相等，故D错误．
故选：A．
4．D
【分析】根据中心对称的性质：中心对称点平分对应点连线的线段解答即可．
【详解】解：A、AO=OE，原选项错误；
B、BO=DO，原选项错误；
C、点A关于点O的对称点是点E，原选项错误；
D、点D 在BO的延长线上，原选项正确；
故选：D.
5．C
【分析】令，直接求出抛物线与y轴的交点纵坐标．
【详解】解：当时，，所以，抛物线与y轴的交点纵坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与y轴的交点，掌握y轴上点的坐标特点是解题的关键．
6．C
【分析】过A作轴于C，过作轴于D，根据旋转求出，证，推出即可．本题考查了点的坐标与旋转变换、全等三角形的判定和性质等，根据条件画出相应的图形、适当添加辅助线是解题的关键．
【详解】解：过A作轴于C，过作轴于D．
∵，
∴，
∴，
在和中
∵，
∴，
，
∴的坐标是．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了三角形的内心、等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理等知识；熟练掌握等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理、三角形的内心性质是解题的关键．
由等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理、三角形的内心性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故此选项不符合题意；
B、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故此选项不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故此选项不符合题意；
D、三角形的内心到三边的距离相等，故此选项符合题意；
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵以点B为圆心，长为半径画弧，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．A
【详解】试题分析：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r， 根据勾股定理， 得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5
考点：垂径定理的应用．
10．C
【分析】由题意，分别解得x=0，x=时，y的值，符合有y≥0，即可解得b的取值范围．
【详解】解：由题意得，二次函数图象的开口向上，当的范围内，都有y≥0，
则当x=0时，y=1，
当x=时，y=
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
11．或
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
12．4
【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解．
【详解】解：，对称轴是直线，
，即，解得．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线是解题的关键．
13．50°
【详解】∵∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°
∴∠BOC=2∠A=80°
∵OB=OC
∴
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据降价后的价格降价前的价格（降价的百分率）．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
15．3或
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理．连接，利用垂径定理得到，则，当D点与C点在同侧，如图1，利用可判断为等边三角形，所以，当D点与C点在异侧，如图2，先计算出，再过O点作，如图2，根据垂径定理得到，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出，从而得到的长．
【详解】解：连接，

∵C为半圆弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
当D点与C点在同侧，如图1，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
当D点与C点在异侧，如图2，
∵，
∴，
过O点作，如图2，则，
在中，，
∴，
∴，
综上所述，的长为3或．
故答案为3或．
16．##
【分析】由，，，得，，用待定系数法可得抛物线解析式为，即得顶点，，可得，根据为的中点，得，当、、不构成三角形，即在的延长线上时，的长度最大，此时．
【详解】解：如图：
四边形是矩形，，，，
，，，
将，，代入得：
，解得，
抛物线解析式为，
顶点，，
，
为的中点，
，
在中，，
当、、构成三角形时，，
当、、不构成三角形，即在的延长线上时，的长度最大，如图：
此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握在的延长线上时，的长度最大．
17．x1=，x2=．
【分析】用配方法解一元二次方程即可.
【详解】解：∵2x2﹣4x﹣1=0，
∴2x2﹣4x=1，
则x2﹣2x=，
∴x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，
则x﹣1=±，
∴x1=，x2=．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数.
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质将点绕点逆时针旋转得到，画出即可；
（2）根据，进而证明是直角三角形，且，得出经过、、三点的的圆心的坐标．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：∵，
∴，，，
∴
∴是直角三角形，且，
∴经过、、三点的的圆心在的中点，
∵
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了画旋转图形，求特殊三角形的外心坐标，勾股定理与网格问题，掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)见解析
(2) ，
(3)
【分析】（1）本小问考查画函数图象步骤“列表、描点、连线”，按步骤画图即可．
（2）本小问考查二次函数的顶点坐标和与轴的交点坐标，可根据（1）问图表信息得出，除此之外还可根据二次函数一般式化为顶点式得出顶点坐标，理解二次函数与轴的交点横坐标为的解，也可以解此题．
（3）本小问考查二次函数与不等式之间的联系，结合二次函数图象分析，当时，函数值的取值范围，即可解题．
【详解】（1）解：
（2）解：由图表信息得：二次函数的顶点坐标是，与轴的交点坐标，．
故答案为：，，．
（3）由（1）中图象得：当时，的取值范围为．
20．2或
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．根据“凤凰方程”的定义知是一元二次方程的根，所以由一元二次方程的解的定义、根与系数的关系可求得m的值．
【详解】解：根据“凤凰方程”的定义知是一元二次方程的根；
①当时，是关于x的凤凰方程；
②当时，
∵m是方程的一个根，
∴，
解得．
综上所述，m的值是2或．
21．证明见解析
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，
连接，，先证明，即可根据等腰三角形的三线合一可得是边上的中线，即，进而可得，结合三角形内角和定理问题随之得解．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵，
∴为直径，
∴，即，
又∵，
∴为等腰三角形，为底边，
∴是边上的中线，
∴E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)；
(2)能实现，理由见解答过程．
【分析】（）根据利润单个利润数量，求解与的关系式即可；
（）令解关于的方程，即可作出结论；
本题考查了二次函数的应用、有理数的混合运算、一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出函数关系式是解答的关键．
【详解】（1）由题意得：；
即与之间的函数关系式为：；
（2）能实现，理由如下：
由，
则当时，，
解得：，
即包邮单价定为元时，每周获得利润元，
∴能实现．
23．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）作于H，三线合一，得到，同角的余角相等，得到，同弧所对得圆周角相等，推出，即可；
（2）连接并延长交延长线于点H，连接，，，根据圆周角定理可求得垂直平分，再求证四边形为平行四边形，设半径为r，则，，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，作于H，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接并延长交延长线于点H，连接，，，

∵G是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴垂直平分，
则点，，三点共线，
∴为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
则在中，，即，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
设半径为r，则，，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴的半径为4．
【点睛】本题是圆的综合，考查了圆周角定理，垂径定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握关于圆的相关性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
24．(1)证明见解答过程；
(2)补全图形见解析；，理由见解答过程．
【分析】（1），得到，由绕点A逆时针旋转α得到线段，得到，，由正方形性质得到，得到；
（2）按照题意补全图形即可，在上取，连接交于M，交于P，连接，，利用、、证明A、H、M、B共圆，从而可得，，再证明，即可得到．
【详解】（1）证明：∵边绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：补全图2如下：

线段，，理由如下：
在上取，连接交于M，交于P，连接，，如图：

∵正方形，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴∠DAN+∠AHB＝90°，
∴，
∴，
由（1）知，
且，
∴，
∴，
而，，
∴，
∴，
∴A、H、M、B共圆，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质，圆周角定理，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将转化为．
25．(1)，点在抛物线上，理由见解答过程；
(2)；
(3)或或．
【分析】（）过点作轴于点，将线段绕原点顺时针旋转，则，则，，即可求解；
（）四边形为菱形，四边形的面积；
（）先求出直线的表达式为，的面积，根据即可求解．
【详解】（1）点在抛物线上，理由如下：过点作轴于点，将线段绕原点顺时针旋转，则，
∵，
∴
则，，故点；
∵抛物线过原点，
∴，
将点的坐标代入抛物线表达式并解得：，
故抛物线的表达式为：，
当时，，
∴点在抛物线上；
（2）如图，作点关于的对称点，
则四边形为菱形，
四边形的面积；
（3）设直线的表达式为，
将点、的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则，，
∴的面积，
∵，
∴，
解得：或或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合运用，涉及一次函数的性质、菱形的性质、解不等式、面积的计算等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质，注意分类求解，避免遗漏．