2023-2024学年江苏省盐城景山中学九年级上册第二次课堂检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城景山中学九年级上册第二次课堂检测数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝1B．x2+3xy＝6C．x+＝4D．x2＝3x﹣2
2．若2x＝5y，则下列式子中错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．在中，点，分别在边，上，那么在下列条件中，一定能够判定的选项是（ ）
A．B．C．D．
4．对于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线B．最低点的坐标为
C．与x轴有两个公共点D．与y轴交点坐标为
5．如图，四边形内接于，为延长线上一点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（）
A．B．C．D．
7．将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．若、是方程的两个根，则 ．
10．点为线段的黄金分割点，，且，则的长为 ．
11．今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是 分．
12．数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米．
13．数学课上，老师让学生用尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a．小明的作法如图所示，你认为小明这种作法中判断∠ACB是直角的依据是 ．
14．用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
15．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．
16．如图，在矩形中， ，，某一时刻，动点E从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动；同时，动点F从点B出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点D作的垂线，垂足为G．在这一运动过程中，点G所经过的路径长是 ．
三．解答题
17．解下列方程：
(1)
(2)
18．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：
名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；
名学生的身高的平均数、中位数、众数：
(1)写出表中 ， ；
(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，请根据下列表格，求出两组学生身高的方差，并推断出：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）（请写出必要的求解过程）．
19．如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中是格点三角形，点A、B、C的坐标分别是．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)以O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍，得到，画出；
(3)内有一点，直接写出经过（2）位似变换后P的对应点的坐标 ．
20．初中英语口语听力考试即将举行，某校认真复习，积极迎考，准备了、、、四份听力材料，它们的难易程度分别是易、简、中、难；，是两份口语材料，它们的难易程度分别是易、难．
(1)从四份听力材料中，任选一份，其难度是易的概率是 ．
(2)分别从听力、口语材料中随机各选一份组成一套完整的模拟试卷，求两份材料难度都是易的概率（请用树状图或列表法写出解答过程）．
21．已知二次函数．
(1)写出抛物线的开口方向及顶点坐标；
(2)当为何值时，随的增大而减小？
(3)当时，y的取值范围是 ．
22．如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O．
(1)求证：；
(2)若，，的面积为9，求的面积．
23．已知，为的弦，且．

(1)如图1，若，求阴影部分的面积；
(2)如图2，若点为的中点，点为的中点．请仅用无刻度的直尺过点作的的切线．
24．如图，点在轴正半轴上，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于两点．
(1)与满足什么条件时，，写出满足的条件，并证明；
(2)在（1）的条件下，若，，求长．
25．如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米，
①通过计算说明：水流能不能刚好喷射到小树的顶部；
②绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？
26．几何综合：已知：点是边上一动点，作，点、点分别是边、上的点，且满足，，连接；设（常数）．
(1)证明推断：若．如图1，
①求证：；
②推断：当，时， ；
(2)类比探究：若．如图2，当时，试写出线段、、与常数之间一个相等关系，并证明；
(3)拓展应用：若．如图3，设，，当，时，求常数的值和线段的长度．
27．点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为2，则点P叫做“好垂点”．例如：如图中的是“好垂点”．
(1)在点，，中，是“好垂点”的点为 ；
(2)求函数的图象上的“好垂点”的坐标．
(3)若二次函数的图象上存在4个“好垂点”，求b的取值范围．
(4)已知的圆心T的坐标为，半径为r． 若上存在“好垂点”，则r的取值范围是 ．
参考答案与解析
1．D
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、原方程为二元一次方程，不符合题意；
B、原式方程为二元二次方程，不符合题意；
C、原式为分式方程，不符合题意；
D、原式为一元二次方程，符合题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.
2．A
【分析】根据两内项之积等于两外项之积计算，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、由可得，2y=5x, 故本选项符合题意;
B、由可得，2x=5y, 故本选项不符合题意;
C、由可得，5(x+y)=7x,即2x=5y, 故本选项不符合题意;
D、由可得，2(x-y)=3y, 即2x=5y, 故本选项不符合题意;
故选A.
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，熟记性质是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据相似三角形的性质与判定逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．∵，，
∴，
∴，
∴，故A选项符合题意；
B．由不能判断，故B选项不符合题意；
C．由不能判断，故C选项不符合题意；
D．由不能判断，故D选项不符合题意；
故选：A．
4．B
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及与轴交点个数，则可得出答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴A错误，不符合题意；B正确，符合题意；
∵抛物线开口向上，最低点的坐标为
∴抛物线与x轴没有交点，故C错误，不符合题意；
当时，，故与y轴交点坐标为，选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质及与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，根据补角的概念求出，根据圆内接四边形对角互补，即可求解．
【详解】解：，
，
四边形内接于，
，
故选：B．
6．D
【分析】先由，得出函数有最大值，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答．
【详解】解∶二次函数的对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3，
．
故选∶D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及对称轴的求法，函数的增减性，掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．C
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的长与宽是解题的关键．根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【详解】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：
则根据题意，列出关于x的方程为：．
故选：C．
8．C
【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．
【详解】解：对于二次函数，
令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵，
∴，
∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴，
∵ ，
∴，
∴抛物线开口向下，可以排除B选项，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．
9．4
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据求解即可得到答案；
【详解】解：∵、是方程的两个根，
∴，
故答案为：4．
10．##
【分析】根据黄金分割点的定义，得出，计算的长即可．
【详解】解：∵点为线段的黄金分割点，，如图，

∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了黄金分割点的定义，牢记比例关系和黄金比是解题的关键．
11．87.4
【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得．
【详解】解：根据题意得
她的最后得分是为： （分）；
故答案为：87.4．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
12．12
【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．
【详解】解：设旗杆为AB，如图所示：
根据题意得：，
∴
∵米，米，米，
∴
解得：AB=12米．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
13．直径所对的圆周角是直角
【分析】根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：根据“直径所对的圆周角是直角”得出．
故答案为直径所对的圆周角是直角．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
14．5
【分析】先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解即可.
【详解】扇形的弧长=，
设圆锥的底面半径为R，则，解得．
故答案为：.
【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解、扇形的半径和圆锥母线等长.
15．##
【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．
根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：∵抛物线与直线交于两点，
∵，
∴，
∴由图可知．
故答案为：．
16．##
【分析】延长交于，连接，当点E与点A重合时，由已知得点G也与点A重合，当点F运动到点C处时，点E 运动到中点处，此时与弧交点为，则点G的运动轨迹为，先求出，再求出圆心角，进而利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，延长交于，连接，
在矩形中，，动点E从点Ａ出发，速度为每秒1个单位长度，同时，动点F从点B出发，速度为每秒2个单位长度，
，
，
，
，
，
，
四个点在同一圆上，
点在以为直径的圆弧上运动，设圆心为O，连接，
当点E与点A重合时，由已知得点G也与点A重合，
当点F运动到点C处时，则点E 运动到中点处，此时与弧交点为，
则点G的运动轨迹为，
在矩形中， ，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
则点G所经过的路径长是，

故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、弧长公式等知识，熟练掌握矩形性质，得到点G的运动轨迹是解答的关键．
17．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
故方程解为：，．
（2）解：移项得：，
∴，
∴或，
故方程解为：，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握公式法和因式分解法．
18．(1)166，165
(2)甲组
【分析】本题考查了中位数、众数、方差，熟记方差的计算公式和方差的意义是解此题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）分别计算出两组同学的身高的方差，进行比较即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：中位数，
出现的次数最多，有次，
，
故答案为：166，165；
（2）解：甲组学生身高的平均数是：，
甲组学生身高的方差是：，
乙组学生身高的平均数是：，
乙组学生身高的方差是：，
，
舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A、B、C的对应点即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出A、B、C的对应点即可；
（3）利用位似变换的性质解决问题即可．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）内有一点，经过（2）位似变换后P的对应点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了作图—位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
20．(1)
(2)
【分析】（1）本题主要考查了概率的计算公式，解答本题的关键在于知道事情发生的总的可能性的种类及目标事件的数量计算即可．
（2）本题主要考查了列表或画树状图求事件的概率，解答本题的关键在于能够不重不漏的列出所有可能的结果．
【详解】（1）解：有四份听力材料，总共有四种情况，而难度是 “易”的事件只有一种，
由概率计算公式，可得：
．
（2）∵一套完整的模拟试卷，由听力、口语两份材料组成，
∴可列出下表：
由表可知：
总共有八种情况，而听力和口语都为“易”的情况只有一种，
∴两种情况都为 “易”的概率为：
．
21．(1)该抛物线的开口向上，顶点坐标为
(2)当时，y随x的增大而减小
(3)
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键．
（1）根据抛物线中二次项系数即可判断出抛物线的开口方向，根据顶点坐标式即可得出其顶点坐标；
（2）由（1）知抛物线的对称轴方程及开口方向即可判断出y随x的y随x的增大而减小时x的值；
（3）再分别求出，时的函数值，即可求解．
【详解】（1）解：
，，
∴该抛物线的开口向上，顶点坐标为
（2）解：由（1）知：抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；
（3）解：∵当时，y随x的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，．
故答案为：．
22．(1)见解析
(2)16
【分析】（1）先证明，再根据两个角相等的两个三角形相似即可得出答案；
（2）先证明，得出，根据，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握两个角对应相等的两个三角形相似．
23．(1)
(2)作图见详解
【分析】（1）阴影部分的面积是圆的面积减去三角形的面积，由此即可求解；
（2），点在圆上，连接并延长交于点，连接，并延长交于点，由此即可求解．
【详解】（1）解：半径，，
∴，，
∴阴影部分的面积为：．
（2）解：如图所示，
连接并延长交于点，连接，并延长交于点，作直线，则为所求作的切线．
【点睛】本题主要考查圆的几何变换，切线的尺规作图，掌握圆的基本知识，切线的性质是解题的关键．
24．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）当时，，作轴，连结，由是的直径，得到由从而得到可得由所对的圆周角为和可得由可得即可得出结论．
（2）在（1）的条件下，可得（AAS），得到由可得由可得即可
【详解】（1）当时，，
如图所示：作轴，连结，
是的直径，
∵轴，
所对的圆周角为和
（2）
∵在（1）的条件下，
在和中，
（AAS）
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解此题的关键．
25．(1)
(2)①不能；②3米
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法求解打式、二次函数图象平移及二次函数图象上点的坐标牲是解题的关键．
（1）题目中告知了抛物线的顶点，可以设抛物线的顶点式，又抛物线经过点即可求解顶点式中的，从而求解；
（2）①把代入，求出此时y值与3.75比较，若则能，否则不能．
②设抛物线向后平移了米，用（1）中的顶点式，表示出新的抛物线解析式，将点坐标代入解析式中，求解即可．
【详解】（1）解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度5米，
则可设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
抛物线，
（2）解：①不能；理由：
把代入，得
，
∵，
∴水流不能刚好喷射到小树的顶部；
②设喷射架向左水平平移了m米，
则平移后的抛物线可表示为，
∵斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米，
∴点，
将点代入得：，
解得或（舍去），
喷射架应向左水平移动3米．
26．(1)①证明见解析；②
(2)；证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意得，由相似三角形的性质可得，，从而得出，由，得出，再由“”即可证明全等；②由全等三角形的性质可得，由①可得，，从而得出，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得，由垂线的定义可得，由含角的直角三角形的性质可得，即可得出答案；
（2）由相似三角形的性质可得，，从而得到，证明，即可得出，从而得出，分别表示出、，由勾股定理可得，代入计算即可得出答案；
（3）由相似三角形的性质可得，，从而得到，证明，即可得出，从而得出，由得出，证明，得出，由，得出，从而得到，计算即可得出的值，作于，则，从而得到，得到，计算出、的长，最后由勾股定理即可得出答案
【详解】（1）证明：，，
，
，
，，
，
，即，
，，
，
在和中，
，
；
②，
，
由①可得，，
，即，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
，
，，
，即，
，，
，
，
，
，
，即，
，，，
，即，
，
，
；
（3）解：，
，，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：或，
，
，
，
如图，作于，则，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键
27．(1)B
(2)和
(3)
(4)
【分析】（1）根据“好垂点”的定义逐一判断即可；
（2）设是函数的图像上的“好垂点”，则，据此解绝对值方程即可得到答案；
（3）设是坐标系中的“好垂点”，则，故当时，；当时，；当时，当时，，进而得到坐标系中“好垂点”是线段组成的图形，其中，当二次函数恰好经过点D时，当二次函数恰好经过点B时，b的值；由函数图象可知，当二次函数与x轴的交点在B、D之间时，二次函数的图象与线段组成的图形有四个交点，即二次函数的图象上存在4个“好垂点”，据此可得答案；
（4）上存在“好垂点”，即与线段组成的图形有交点，分别求出当经过点B时，当与相切时，r的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，点到x轴和到y轴的垂线段之和为；
点到x轴和到y轴的垂线段之和为；
点到x轴和到y轴的垂线段之和为；
∴A、B、C三个点中，只有B是“好垂点”，
故答案为：B；
（2）解：设是函数的图像上的“好垂点”，
∴，
当时，则，解得，
∴，
∴此时点的坐标为；
当时，则，解得（舍去）；
当时，则，解得，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上所述，函数的图像上的“好垂点”的坐标为和；
（3）解：设是坐标系中的“好垂点”，
∴，
∴当时，；
当时，；
当时，
当时，
∴坐标系中“好垂点”是线段组成的图形，其中，
当二次函数恰好经过点D时，则，解得，当二次函数恰好经过点B时，则，解得，
∴由函数图象可知，当二次函数与x轴的交点在B、D之间时，二次函数的图象与线段组成的图形有四个交点，即二次函数的图象上存在4个“好垂点”，
∴；
（4）解：∵上存在“好垂点”，
∴与线段组成的图形有交点，
当经过点B时，
∵，
∴；
当与相切时，设在上的切点为Q，连接，
∵，
∴，
由切线的性质可得，
∴，
∴，
∴此时；
综上所述，当时，与线段组成的图形有交点，即此时上存在“好垂点”．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，二次函数综合，切线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合等等，正确根据“好垂点”的定义找到平面直角坐标系中“好垂点”组成的图形是解题的关键．
平均数
中位数
众数
166.75
甲组学生的身高
162
165
165
166
166
乙组学生的身高
161
162
164
165
175
A易
B简
C难
D难
a易
易，易
简，易
难，易
难，易
b难
易，难
简，难
难，难
难，难