2023-2024学年四川省雅安市雨城区雅安中学九年级上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省雅安市雨城区雅安中学九年级上册12月月考数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解下列各题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A卷 (共100分)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是( )
A．2B．4C．8D．12
2．如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（ ）

A． B． C． D．
3．若a为方程的解，则 的值为（ ）
A．2B．4C．D．
4．某商品原每件售价400元，经过连续两次降价后每件仍能获利56元，若每件商品进价为200元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．10%B．20%C．25%D．60%
5．如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A．B．C．D．平分
6．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
7．如图所示，在正方形中，P是对角线上一点，过P作，，垂足分别为E、F，连接，若，则的长为（ ）

A．5B．4C．D．
8．已知是方程的一个根，则
A．2B．3C．4D．5
9．如图，正方形中，边长为4，为中点，为正方形内部一点，连接、，若平分且，则的长为（ ）

A．B．2C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为，D是OB的中点，E是OC上的一点，当的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．已知点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是 ．（用“”连接）
12．如图，点在反比例函数（）的图象上，过点作轴的平行线，交反比例函数（）的图象于点，连接，．若，则的值为 ．
13．如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．

14．如图，在中，点O是对角线上的一点，且，连结并延长交于点E，若的面积是2，则四边形的面积是 ．

三、解下列各题（共54分）
15．用合适的方法解下列方程．
(1) ；
(2)．
16．疫情期间，某校九年级积极响应国家“停课不停学”的举措，精心打造空中课堂内容，随机调查了部分学生在家线上学习的时间，帮助学生解决学习问题，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图中所给信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共调查了__________名学生；
(2)补全条形统计图（在图上画）；
(3)某医院计划选派护士支援尧都的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．若需从这名护士中随机抽取2人，那么被抽到的两名护士都是共产党员的概率是多少？（要求用树状图或列表分析过程）
17．某商店从工厂购进A、B两款玩具，进货价和销售价如表：
(1)该商店用元从工厂进货A、B两款玩具共件，求两款玩具分别购进个数；
(2)商店销售第一天，B款玩具便已售完，A款玩具只售出4件，因此商家决定对A款玩具降价销售，经调查发现，A款玩具每下降1元，平均每天可多销售2件，要想第二天A款玩具的利润为元，则商家需降价多少元？
18．如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
19．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)结合图像直接写出不等式kx+b的解集．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个实数根为，请判断的值能否等于，若能，请求出此时的值；若不能说明理由．
B卷
四、填空题（每小题4分，共20分）
21．已知一元二次方程的两个根为，，则 ．
22．如图，已知双曲线经过斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为4，则k的值是 ．
23．如图，以边长为1的正方形的边为对角线作第二个正方形，再以为对角线作第三个正方形，如此作下去，…，则所作的第2021个正方形的面积 ．

24．如图，在边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（请填上所有正确结论的序号）

25．如图，在平行四边形中，，是锐角，于点E，F是的中点，连接．若，则长为 ．

五、解答题（30分）
26．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止．问：是否存在这样的时刻，使S△DPQ=28cm2？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
27．如图，反比例函数y=（x＞0）过点A（3，4），直线AC与x轴交于点C（6，0），过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B ．
（1）求k的值与B点的坐标；
（2）在平面内有点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D点的坐标．
28．如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接．
(1)求出__________；
(2)若平分，求点的坐标；
(3)已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标.
参考答案与解析
1．C
【分析】随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会逐渐稳定于随机事件发生的概率．
【详解】解：由频率的稳定性可知：
袋子中红球个数最可能是：（个）
故选：C
【点睛】本题考查频率的稳定性．熟知相关概念是解题的关键．
2．C
【分析】根据主视图和左视图的定义解答即可．
【详解】解：从主视图来看：从左向右，第一列可看到三个面，第二列看到两个面，第三列可看到一个面；
从左视图来看：第一列有三个面，第二列有一个面．
故符合题意的图形为：

故选：C．
【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握主视图和左视图的定义是解答本题的关键．
3．C
【分析】根据方程解的定义得到，则．
【详解】解：∵a为方程的解，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
4．B
【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价×（平均每次降价的百分率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意，即可得出结论．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴平均每次降价的百分率为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．D
【分析】当平分时，四边形是菱形，可知先证明四边形是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．
【详解】解：当平分时，四边形是菱形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形．
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．C
【分析】根据矩形的性质得到，由折叠的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
在中，，即，
解得，，
则的面积，
故选C．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
7．A
【分析】连接，根据矩形的性质和判定可得，正方形的性质求出，，，证，推出，即可得解．
【详解】解：连接，

在正方形中，，，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质；全等三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．
8．A
【分析】把3代入方程可得关于m、n的等式，等式两边同时除以9，再代入所求式子即可得答案.
【详解】把3代入方程有：
9-3m+n=0，
∴-3m+n=-9，
∴=-1，
∴-1+3=2，
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的概念是解题的关键.
9．D
【分析】连接，交于点O，根据勾股定理求出，证明，推出垂直平分，根据，求出，则，再证明，得出，即可求解．
【详解】解：连接，交于点O，

∵正方形中，边长为4，为中点，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴垂直平分，
∵，
∴，解得：，
则，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质求解．
10．B
【分析】画出A点关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点E，根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时的周长最小，再由待定系数法求得直线DA′函数式，进而求出点E的坐标即可．
【详解】解：如图，作A点关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点E，
此时的周长最小，
∵，
∴，
设直线表达式是 ，
则，
解得：，
∴，
所以点E的坐标是．
故选B．
【点睛】本题考查了根据轴对称求最短距离问题，待定系数法求一次函数解析式，以及关于坐标轴对称的点的坐标特点，解题的关键是根据对称把AE转化为 ，利用两点之间线段最短的性质解决问题．
11．
【分析】由反比例函数，可得其图象在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，结合，可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵反比例函数，
∴其图象在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，对于，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数上任意一点，作坐标轴的垂线，与原点构成的三角形的面积等于的一半，令与轴的交点为，由轴得，从而可，即可求得的值，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
【详解】令与轴的交点为，如图，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故答案为：．
13．6
【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键．
14．5
【分析】由题意可得的面积为4，通过证明，可求，即可求解．
【详解】解：∵，的面积是2，
∴的面积为4，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．
15．(1)
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用公式法即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴或，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴， ．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是会根据方程的形式确定适当方法解方程．
16．(1)；
(2)见解析；
(3)见解析，．
【分析】（）用线上学习小时的人数除以其所占的百分比，即可求解；
（）线上学习小时的人数，即可补全条形统计图；
（）根据题意，画出树状图，即可求解．
本题主要考查了求概率，条形统计图和扇形统计图，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
【详解】（1）解：（人），
∴一共调查了名学生，
故答案为：；
（2）解：名，
故补全条形统计图如下：
（3）解：从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，设甲是共青团员用表示，其余人均是共产党员用表示．从这名护士中随机抽取人，所有可能出现的结果共有种，如图所示：

它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件)的结果有种，则，
则被抽到的两名护士都是共产党员的概率为．
17．(1)购进A款玩具件，B款玩具件
(2)商家需降价1元或者9元
【分析】（1）设购进A款玩具x件，B款玩具y件，利用总价=单价×数量，结合该商店第一次用元购进A、B两款玩具共件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2） 设商家需降价a元．根据销售利润=单件利润×销售数量列出方程并解答．
【详解】（1）设购进A款玩具x件，B款玩具y件，
依题意得：，
解得：．
答：购进A款玩具件，B款玩具件．
（2）设商家需降价a元，
依题意得：．
整理得：
解得，，
答：商家需降价1元或者9元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是∶(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2) 找准等量关系，正确列出一元二次方程．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由是菱形的性质得，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质求出，，由勾股定理得出的长，再根据矩形面积公式即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
19．(1)一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y
(2)8
(3)x＜﹣3或0＜x＜1
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB求解即可；
（3）观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数y的图象经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣3×2＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，则，
解得k＝﹣2，b＝﹣4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y；
（2）解：如图，设直线AB交y轴于C，
则C（0，﹣4），
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB4×34×1＝8；
（3）解：观察函数图象知，
不等式kx+b的解集为x＜﹣3或0＜x＜1．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答即可．
20．(1)见解析
(2)不能，见解析
【分析】此题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
（1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得，，所以，由于时，有最小值6，从而可判断的值不能为5．
【详解】（1）证明：

，
此方程总有两个不相等的实数根；
（2）的值不能为5．理由如下：
根据根与系数的关系得，，




，
时，有最小值6，
的值不能为5．
21．
【分析】根据一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入所求的式子，求值即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
22．
【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，相似三角形的性质和判定.过点作轴,可得，再根据可得，最后根据即可求得k的值．
【详解】解：过点作轴，垂足为，
∵中，，
∴
∵为斜边的中点，
∴为的中位线
∴且
∵双曲线的解析式是
∴，
解得，
故答案为：．
23．
【分析】由正方形的边长为1，根据正方形的性质，即可求得，的值，则可求得，，的值，即可求得规律所作的第n个正方形的面积，把代入表达式可得答案．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴，
∴
∴
∴，，
∴第n个正方形的面积是
∴第2021个正方形的面积是
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质．解题的关键是找到规律：所作的第n个正方形的面积．
24．①④
【分析】证明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到∠DGF=90°，可判断①，再利用三角形等积法AD×DF÷AF可算出DG，可判断②；再证明∠HDF=∠HFD=∠BAG，求出AG，DH，HF，可判定，可判断④；通过AB≠AG，得到∠ABG和∠AGB不相等，则∠AGB≠∠DHF，可判断③.
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，
∵E和F分别为BC和CD中点，
∴DF=EC=2，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠EDC+∠AFD =90°，
∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①正确；
∵AD=4，DF=CD=2，
∴AF=，
∴DG=AD×DF÷AF=，故②错误；
∵H为AF中点，
∴HD=HF=AF=，
∴∠HDF=∠HFD，
∵AB∥DC，
∴∠HDF=∠HFD=∠BAG，
∵AG=，AB=4，
∴，
∴，故④正确；
∴∠ABG=∠DHF，而AB≠AG，
则∠ABG和∠AGB不相等，
故∠AGB≠∠DHF，
故HD与BG不平行，故③错误；
故答案为：①④.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的高，直角三角形斜边中线定理，知识点较多，有一定难度，解题时注意利用线段关系计算相应线段的长.
25．
【分析】设，通过作辅助线构造平行四边形，可用x表示出，最后分别在和中利用勾股定理得到用x表示的式子，建立方程后，求出x，进而即可求出的长．
【详解】解：设，则在中有．
如图，延长至点G使，连接，
∵F是的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴．
又∵，
∴三点共线，
∴．
∵，
∴垂直平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍），
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题综合考查平行四边形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用等内容，要求学生能够通过作辅助线构造平行四边形或等腰三角形，能利用勾股定理建立方程求出线段的长，本题综合性较强，运用了数形结合思想，考查了学生的综合分析能力．
26．存在，2秒或4秒时面积为28cm2．
【分析】可先设出未知数，△PDQ的面积可由矩形与几个小三角形的面积之差表示，所以求出几个小三角形的面积，进而即可求解结论．
【详解】解：存在，t=2s或4s．理由如下：
可设x秒后△PDQ面积为28cm2，
即SABCD﹣S△ADP﹣S△PBQ﹣S△DCQ=12×6﹣×12x﹣（6﹣x）•2x﹣×6×（12﹣2x）=28，
解得x1=2，x2=4，
当其运动2秒或4秒时均符合题意，
所以2秒或4秒时面积为28cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题时，利用了“分割法”来求△PDQ的面积的．
27．（1）k=12，B（6，2）；（2）D1（3，2）或D2（3，6）或D3（9，-2）
【分析】（1）将A点的坐标代入反比例函数y=求得k的值，然后将x=6代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点B的坐标；
（2）使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意D的坐标即可．
【详解】（1）把点A（3，4）代入y=（x＞0），得
k=xy=3×4=12，
故该反比例函数解析式为：y=．
∵点C（6，0），BC⊥x轴，
∴把x=6代入反比例函数y=，得
y==2．
则B（6，2）．
综上所述，k的值是12，B点的坐标是（6，2）．
（2）①如图，当四边形ABCD为平行四边形时，AD∥BC且AD=BC．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，yA-yD=yB-yC即4-yD=2-0，故yD=2．
所以D（3，2）．
②如图，当四边形ACBD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′=CB．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴点D的横坐标为3，yD′-yA=yB-yC即yD-4=2-0，故yD′=6．
所以D′（3，6）．
③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC∥BD″且AC=BD″．
∵A（3，4）、B（6，2）、C（6，0），
∴xD″-xB=xC-xA即xD″-6=6-3，故xD″=9．
yD″-yB=yC-yA即yD″-2=0-4，故yD″=-2．
所以D″（9，-2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是：（3，2）或（3，6）或（9，-2）．
【点睛】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，解答（2）题时，采用了“数形结合”和“分类讨论”的数学思想．
28．(1)40
(2) 或
(3)或.
【分析】（1）先求出点的纵坐标，再根据三角形的面积公式计算即可.
（2）设根据平分可得，再根据两点之间的距离公式求出的值即可得点的坐标.
（3）设,分两种情况讨论：①当且时；②当,且时.画出图形，构造三垂直模型，根据全等三角形的对应边相等列出关于的方程组，求出的值即可求得点的坐标.
【详解】（1）
如图1，作轴与，
∵，
轴，点是在直线，
（2）设
平分，

解得，
∴点的坐标 或.
（3）设
当，且时，
①如图2，点在直线上方时，
过点作直线则轴于点，过点作于点,
则
又
，解得.
则
则.
②
如图3，由得
解得.
则
∴.
当,且时,如图4
作轴于，轴于,
则，
则，解得，
则，
.
综上，点的坐标为或.
【点睛】本题综合性较强，难度较大.主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及数形结合思想和分类讨论思想.注意第（3）小题考虑问题要全面.正确的画出图形是解题的关键.
类别
价格
A款玩具
B款玩具
进货价（元/件）
销售价（元/件）