2023-2024学年甘肃省定西市九年级上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省定西市九年级上册12月月考数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．的绝对值是（ ）
A．7B．C．D．
2．在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．中国空间站每天绕地球19圈，大约96分钟绕一圈，即速度为78000米/秒，将78000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．定义一种运算“※”：（其中x，y为任意实数）．当时，则的值为（ ）
A．7B．C．D．
7．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（ ）
A．0B．0或﹣1C．1D．﹣1
8．将直线向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，点在上，，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形中，，E为的中点，动点P从点C出发，沿向点E运动，连接．设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解： ．
12．函数中，自变量的取值范围是 ．
13．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为 ．
14．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为 ．
15．函数和的图象相交于点，则方程的解为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴和轴上，并且，.若把矩形绕着点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的坐标为 .
三、解答题本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．化简求值：，其中
20．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．

(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R．
21．书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道．某中学为响应“全民阅读活动”，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆360人次．若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率．
22．如果圆锥的底面圆的周长是，侧面展开后所得的扇形的圆心角为，求该圆锥的侧面积和全面积．
四、解答题本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
23．如图，为等边三角形，绕点A逆时针旋转得，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
24．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每30元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价40元时，每天可售出200套；若每套售价提高1元，则每天少卖2套．
(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
(2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
25．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，垂足为M，的半径为10，求的长．
26．问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．
27．已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．经过A，B两点的抛物线的对称轴为直线，与x轴的另一个交点为D（D在A左侧），点P为y轴右侧抛物线上的一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若Q为的中点，当轴时，求点P的坐标；
（3）当点P位于直线上方的抛物线上时，求四边形面积的最大值．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据绝对值的概念解答即可，数轴上的数离开原点之间的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
【详解】解：的绝对值是7，
故答案为：A
2．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行分析即可.
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形．故此选项错误．
故选C．
【点睛】考点：1、中心对称图形；2、轴对称图形
3．C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：78000=7.8×104．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．C
【分析】本题主要考查二次根式的四则运算和二次根式化简，掌握二次根式相关的运算法则和化简法则是解题的关键．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C
5．C
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式，在数轴上表示解集是解题的关键．
先解一元一次不等式，然在数轴上表示解集，最后判断作答即可．
【详解】解：，
解得，，
∴解集在数轴上表示如下图；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了新定义下的实数运算．理解新定义的运算，整体代入是解题的关键．
由题意知 ，，即，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知 ，，
∴，
∴，
故选：C．
7．A
【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a+1≠0，进而得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，
∴a2+a＝0，且a+1≠0，
则a的值为：a＝0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
8．A
【分析】只向下平移，让比例系数不变，常数项减去平移的单位即可．
【详解】解：直线向下平移2个单位后所得直线的解析式为
故选:A
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数上下平移的规则“上加下减”在常数项． 函数左右平移的规则“左加右减”在自变量，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键．
9．D
【分析】先证明再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．
【详解】解： 点在上，，


故选：
【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了函数图象．根据运动过程写出不同的函数关系式是解题的关键．
由题意知，当时，；当时，；当时，；然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
∴函数图象如下：
故选：C．
11．2（m+2n）（m-2n）
【分析】根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最大公约数2，进一步发现提公因式后，可以用平方差公式继续分解．
【详解】解：2m2-8n2，
=2（m2-4n2），
=2（m+2n）（m-2n）
故答案为：2（m+2n）（m-2n）．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，因式分解一定要进行到每个因式不能再分解为止．
12．x＞1
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：x−1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．
【分析】根据题意画出草图，可得OG=2，，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.
【详解】
解：如图，连接、，作于；
则，
∵六边形正六边形，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.
14．
【分析】如图，连接 证明为圆的直径，再利用勾股定理求解 再利用扇形面积公式计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接

为圆的直径，



故答案为：
【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
15．
【分析】由题意知，方程的解为其交点的横坐标，进而可得结果．
【详解】解：由题意知的解为两直线交点的横坐标
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象的交点与一次方程解的关系．解题的关键在于理解一次函数图象的交点与一次方程解的关系．
16．
【分析】由旋转的性质得，由勾股定理求出，即可得出的坐标为．
【详解】解：由旋转的性质得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了绝对值，负整数指数幂，零指数幂．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．
先分别计算绝对值，负整数指数幂，零指数幂，然后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
18．(1)，
(2)
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
利用因式分解法即一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
∴或，
解得，，；
（2）解：，
，
∴或，
解得，．
19．，3
【分析】题主要考查分式的化简求值，先利用公式法，然后除法转乘法，得到最简分式，最后代入字母的值，求的分式的值．
【详解】解：
，
∵
∴原式．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角，利用勾股定理列方程可得结论．
【详解】（1）解：作法：分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；

（2）连接、，交于E，
∵，
∴，
∴，
在中，，
设的半径为R，在中，
∴，
即，
∴，
答：圆片的半径R为．
【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图等知识点，要注意作图和解题中垂径定理的应用．
21．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先设进馆人次的月平均增长率为，利用第三个月进馆人数=第一个月进馆人数（进馆人次的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为，
依题意得：，
化简得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：进馆人次的月平均增长率为．
22．该圆锥的侧面积为，全面积为
【分析】根据底面周长可求得底面半径，进而可求得底面积，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长可得到母线长，进而求得侧面积．
【详解】解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长，
所以，
∴底面面积，
∵，
∴，
∴侧面面积，
所以全面积．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积等于．
23．(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）根据旋转的性质得，，再根据已知即可证得．
（2）根据可得是等边三角形，即可求得．
【详解】（1）证明：∵绕点A逆时针旋转得，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质、三角形全等的判定与性质．掌握全等三角形的判定和性质是关键．
24．(1)；
(2)每套售价定为85元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是6050元．
【分析】本题考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用，根据题意正确列式是关键．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元，根据题意列式即可；
（2）根据总利润（售价进价）销售量列式，得到，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元，
由题意得：，
即该商品销售量y与x之间的函数关系式为
（2）解：由题意得：，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：每套售价定为85元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是6050元．
25．(1)见详解．
(2)
【分析】（1）先用圆周角定理求出，，再用，求出，继而求出，且是半径，即可可证明．
（2）先用垂径定理得出，，进而求得，，再用勾股定理求出，即可求得．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线．
（2）∵是的直径，且于点M，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，切线的判定和勾股定理，连接是解题的关键．
26．问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8
【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合和可知，再利用矩形的边角性质即可证明，即，即可求解；
（2）由（1）中结论可知，再结合已知，即可证明，从而求得是等腰三角形；
类比迁移：由前面问题的结论想到延长到点，使得，结合菱形的性质，可以得到，再结合已知可得等边，最后利用线段BF长度即可求解．
【详解】解：问题解决：
（1）证明：如图1，∵四边形是矩形，
．
．
．
．
又．
∴矩形是正方形．
（2）是等腰三角形．理由如下：
，
．
又，即是等腰三角形．
类比迁移：
如图2，延长到点，使得，连接．
∵四边形是菱形，
．
．
．
又．
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
27．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）求出A、B坐标代入，结合对称轴为直线，即可得答案；
（2）求出Q坐标，把Q点的横坐标代入二次函数的解析式中求出纵坐标即可；
（3）过P点作PM⊥x轴，交AB于M，设点P的坐标为，得出四边形面积=△ABD的面积+△ABP的面积=，从而确定最大值；
【详解】解：（1）在中令x=0，得y=3，令y=0得x=3，
∴A（3，0），B（0，3），
∵的对称轴为直线，
∴
再将A（3，0），B（0，3）代入得：
，解得
∴；
（2）∵Q为的中点，∴
∵轴, ∴P点横坐标为，
当x=时，，
∴点P的坐标为
（3）设点P的坐标为，过P点作PM⊥x轴，交AB于M，
则点M的坐标为，
∴PM=，
∵A（3，0），对称轴为直线，
∴D（-1，0），
∴AD=4
∴四边形面积=△ABD的面积+△ABP的面积=
∴当m=时，四边形面积的最大，最大值为
【点睛】本题属于二次函数综合题型，主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．解题过程中，运用方程思想和数形结合的数学思想解答．