2023-2024学年安徽省淮南市第七中学九年级上册第三次月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省淮南市第七中学九年级上册第三次月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了下列说法正确的是，下列语句中，若点，如图，为矩形的对角线，已知，等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来图形重合的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知点P在半径为的圆内，则点P到圆心的距离可以是（ ）
A．B．C．D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．概率很小的事件不可能发生
B．随机事件发生的概率为
C．不可能事件发生的概率为0
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
4．如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．已知圆锥的侧面展开图的面积是30πcm2，母线长是10cm，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．3cmB．6cmC．2cmD．4cm
7．若点（0，a），（4，b）都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
8．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在弧上，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．12D．14
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11．经过人民路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能左转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是 ．
12．如图，直线分别与相切于点，的周长 ．
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画弧，则由图中阴影部分的扇形围成的圆锥的高为 ．
14．如图，四边形是边长为1的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的，其中弧的圆心为A，半径为，弧的圆心为B，半径为，弧的圆心为C，半径为，弧的圆心为D，半径为，．．．．，弧，弧，弧，弧，…的圆心依次按点A，B，C，D循环，则弧的长是 ．（保留根号）
三．（本题共9小题，共90分）
15．解一元二次方程：．
16．在如图所示的方格纸中，的顶点都在边长为1个单位长度的小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．
(1)画出关于轴对称的，其中点分别和点对应；
(2)绕点顺时针旋转，使得点的对应点落在轴正半轴上，旋转后的三角形为，画出，其中点分别和点对应；
(3)在（2）的条件下，求扫过的面积．
17．已知是圆O的直径，半径于点E，的度数为．
(1)求证：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
18．新冠肺炎疫情期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销售量（盒）与售价x（元）之间的关系为；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒．
(1)甲种口罩每盒的进价是______元；乙种口罩每盒的进价是______元．
(2)如何定价，才能使乙口罩的销售利润达到最大？并求出此时甲乙两种口罩的销售利润总和．
19．如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连接，使．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
20．如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上．

(1)求证：平分；
(2)若，求旋转角的度数．
21．为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)参与此次抽样调查的学生人数是____人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；
(2)图②中扇形的圆心角度数为_____度；
(3)若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；
(4)计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率．
22．如图，抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标．
23．如图，在中，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．
(1)求证：点B在上．
(2)当点D移动到使时，求的值．
(3)当点D到移动到使时，求证：．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据旋转对称图形的概念进行解答即可得.
【详解】A、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不符合题意；
B、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不符合题意；
C、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不符合题意；
D、绕它的中心旋转120°才能与原图形重合，故本选项符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了旋转对称图形的知识，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．熟知一些常见图形的旋转特性是解题的关键.
2．A
【分析】由圆点的半径是，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可．
【详解】解： ∵点P在半径为的圆内，
∴点P到圆心的距离小于，
∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题 考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径．
3．C
【分析】根据不可能事件是指任何条件下不会发生、随机事件是可能发生，也有可能不发生的事件，发生的概率大于0小于1，据此进行判断即可．
【详解】解：A、概率很小，说明发生的机会很小，是随机事件，此选项错误；
B、随机事件的概率为大于0小于1，此选项错误；
C、不可能事件发生的概率为0，此选项正确；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定多少次，此选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查不可能事件、随机事件的概念，理解概念，知道随机事件的概率是解答的关键．
4．C
【分析】根据弧中点的定义可得进而得到，然后根据三角形内角和定理可得，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答．
【详解】解：∵点A是中优弧的中点，
∴
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质、圆的内接四边形性质等知识点，掌握圆的内角四边形对角互补成为解答本题的关键．
5．D
【分析】根据垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，逐项判断即可求解．
【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误；
所以不正确的有①②③④⑤，共5个．
故选：D
【点睛】本题考查垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．
6．A
【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，即可求解．
【详解】解：圆锥的底面圆的半径为rcm，则底面周长为，根据题意得：
，
解得：r=3，
即圆锥的底面圆的半径为3cm．
故选：A
【点睛】本题主要利用了圆锥侧面积，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
7．C
【分析】利用待定系数法将两点坐标代入二次函数解析式中求解即可比较大小．
【详解】点（0，a），（4，b）在二次函数上，
，．
．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征的理解与运用能力．明确二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系是解本题的关键．
8．B
【分析】先确定的圆心的位置，连接，，根据圆周角定理，可得：，再根据弧长公式即可求解．此题考查了圆周角定理和弧长计算公式，解题的关键是确定圆心的位置．
【详解】如图，设圆心为点O，连接，
根据题意，得，

∵，
∴，
∴的长为：，
故选：B．
9．D
【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得，再分和两种情况，解直角三角形分别求出的长，利用直角三角形的面积公式可得与间的函数关系式，由此即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点在上，即时，
在中，，
在中，，，
，
；
（2）如图，当点在上，即时，
四边形是矩形，，
四边形是矩形，
，
，
综上，与间的函数关系式为，
观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、二次函数与一次函数的图象，正确分两种情况讨论是解题关键．
10．D
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，圆外一点到圆上一点距离的最大值，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，当点P为线段的延长线与的交点时，取最大值，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接，
点A、点B关于原点O对称，

，
为斜边上的中线，
，
点P是上的任意一点，
当点P为线段的延长线与的交点时，取最大值，如图：
的半径为2，圆心M的坐标为，
的最大值,
的最大值为，
故选D．
11．
【分析】可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有4种情况，至少有一辆向左转有3种情况，根据概率公式计算可得．
【详解】解：由题意画出“树状图”如下：
∵这两辆汽车行驶方向共有4种可能的结果，其中至少有一辆向左转有3种情况，
∴至少有一辆向左转的概率是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．
12．
【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．根据的周长为：，结合，代换计算即可．
【详解】∵直线分别与相切于点，
∴，
∴的周长为：
，
故答案为：．
13．
【分析】先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，求出圆锥底面圆的半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高．
【详解】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴，
∴，
设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的高为h
∴，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥的母线，高和底面圆半径之间的关系，利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径是解题的关键．
14．
【分析】由图形的特殊情况即可总结出一般规律，从而即可解决问题．
【详解】∵弧的半径是1，
弧的半径是2，
弧的半径是3，
弧的半径是4；
弧的半径是5，
弧的半径是6，
弧的半径是7，
弧的半径是，
……，
弧的半径是，
……，
∴弧的半径是，
∴弧的半径是，
∴弧的长．
故答案为：．
【点睛】此题考查了图形类规律探究，以及弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．
15．，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．
【详解】解：，
，，，
，
∴，
∴，．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的；
（2）根据旋转的性质即可画出旋转后的三角形为；
（3）根据以为半径的扇形面积与的面积和，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）解：扫过的面积为．
【点睛】本题考查了作图旋转变换、作图轴对称变换、扇形面积公式，解决本题的关键是掌握旋转的性质和轴对称的性质．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，推导是菱形，根据菱形的对角线互相平分解题即可；
（2）根据解题即可．
【详解】（1）解：连接
∵
∴
∴
又
是等边三角形，
∴
∴是菱形，
∴
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，垂径定理，扇形面积公式，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
18．(1)20；30
(2)45；2125
【分析】（1）设甲种口罩每盒的进价是a元；乙种口罩每盒的进价是b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可求解；
（2）设销售口罩的总销售利润为w元，销售乙种口罩的利润为w乙元，根据题意求出乙口罩的销售量y乙与售价x之间的关系为：，则乙种口罩的利润为：，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）设甲种口罩每盒的进价是a元；乙种口罩每盒的进价是b元，
根据题意有：，解得：，
即甲种口罩每盒的进价是20元；乙种口罩每盒的进价是30元；
（2）设销售口罩的总销售利润为w元，销售乙种口罩的利润为w乙元，
根据题意可知道乙口罩的销售量y乙与售价x之间的关系为：，
即，
则销售乙种口罩的利润为：，
即，
当时，
当，销售甲口罩的利润为：（元），
总利润为：w=（元），
答：当售价定为45元时，乙口罩的销售利润最大。此时甲乙两种口罩的销售利润总和为2125元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和二次函数的应用，根据题意列出方程组和函数关系式是解答本题的关键．
19．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接，证明即可．
（2）利用勾股定理，三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，

∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的证明，勾股定理，垂径定理，三角形面积公式，熟练掌握切线的证明，勾股定理，垂径定理是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图（见解析），根据旋转的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，由此即可得证；
（2）如图（见解析），先根据旋转的性质可得，，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】（1）证明：是由旋转得到，

，，
，
，
平分．
（2）解：如图，由旋转可知：，，

，
，
∵在中，，
，
点在同一条直线上，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握旋转和等腰三角形的性质是解题关键．
21．(1)120，见解析
(2)
(3)300人
(4)见解析，
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）用C的人数除以调查总数再乘以360°即可得到答案；
（3）用样本估计总体进行计算即可；
（4）列出表格或画出树状图，得到所有可能的结果数，找出符合条件的结果数，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）因为参与活动的人数为36人，占总人数，
所以总人数人，
则参与活动的人数为：人；
补全统计图如下：
故答案为：120；
（2）扇形的圆心角为：，
故答案为：90；
（3）最喜爱“测量”项目的学生人数是：人；
答：估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是300人；
（4）列表如下：
或者树状图如下：
所以，选中、这两项活动的概率为：.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22．(1)
(2),
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的平行线，交于，设设，则，则，表示出，根据二次函数的性质即可得到答案．本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线过点
设抛物线解析式为，
故，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入直线的解析式得：，
解得，
直线的解析式为：，
如图，过点作轴的平行线，交于，
设，则，
则，
∴
，由此可得，
当，最大为，
当时，，
∴．
23．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意得，结合，得到，继而得到即可证明．
（2）连接，根据得，，结合，得到，得到，，，结合已知证明即可．
（3）过点B作于点B，过点A作于点A，交于点N，连接，证明,,在中，根据勾股定理，得，等量代换证明即可．
【详解】（1）证明：根据题意得，
∵，
∴，
∴，
∴点B在上．
（2）解：连接，如图，
∵，为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：过点B作，过点A作，交于点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
第一项
第二项
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——
——
——
——