2023-2024学年陕西省西安市第三中学九年级上册月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市第三中学九年级上册月考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 分值：120分）
第一部分（选择题共24分）
一、单选题（每题3分，共24分）
1．下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A． B． C． D．
2．如图,在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,点D在线段AC上,∠BDC=60°,AD=1,则BD等于( )
A．B．+1C．-1D．
3．一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
4．如图，直线，，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．在同一坐标系中，函数和的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在菱形ABCD中，，，过点D作，交BA的延长线于点E，则线DE的长为（ ）
A．B．C．D．
7．杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》(1275年)提出了这样一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则列方程可得（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，，都与轴垂直，垂足分别为，，点在双曲线上．若，，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
9．已知，则的值为 ．
10．在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的7个黑球、5个白球，若干个红球，每次摇匀后摸出一球，记下颜色后再放回袋中．通过大量重复摸球实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此可估计袋中红球的个数为 ．
11．与是以原点O为位似中心的位似图形，且与的相似比是，则点的对应点F的坐标为 ．
12．如图，，，， ．
13．如图，在中，，AD是的平分线，若点P是AD上一动点，且作于点N，则的最小值是 ．
三、解答题（共计81分）
14．解方程：
(1)
(2)
15．计算：．
16．尺规作图：已知，在中P为边中点，在边上找一点Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
17．如图，在菱形中，对角线与相交于点，为的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形．
18．象棋是棋类益智游戏．李凯和张萌利用象棋棋盘和棋子做游戏，李凯将四枚棋子反面朝上放在棋盘上，其中有两个“兵”、一个“马”、一个“士”．张萌随机从这四枚机子中摸一枚棋子，记下正面汉字，然后再从剩下的三枚棋子中随机摸一枚．
(1)张萌第一次投到的棋子正面上的汉字是“兵”的概率为 ．
(2)游戏规定：若张萌两次提到的棋子中只要有“士”，则定为张萌胜，否则，李凯胜；请你用树状网或列表法求李凯胜的概率．
19．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是．
(1)和的相似比是 ；
(2)请画出；
(3)边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ；
(4)的面积是 ．
20．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某APP上对一款成本价为每件8元的小商品进行直播销售．如果按每件10元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件．将每件小商品的售价定为多少元时，才能使每天的利润为640元？
21．如图，教学楼每层高，有一旗杆，某人在楼底A处测得旗杆顶端的仰角为，到五层D处测得旗杆顶端的仰角为，求旗杆的高及教学楼与旗杆之间的距离（结果保留根号）．
22．为进行技术转型，某企业从今年月开始对车间的生产线进行为期个月的技术升级改造．改造期间的月利润与时间成反比例函数，到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元．设今年月为第个月，第个月的利润为万元，利润与时间的图像如图所示．
(1)分别求出生产线升级改造前后，与的函数表达式．
(2)已知月利润少于万元时，为企业的资金紧张期，求资金紧张期共有几个月．
23．2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭．在我国文昌航天发射场点火发射，并进入预定轨道．当日12时10分，天舟五号货运飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，中国航天员首次在空间站迎接货运飞船来访……．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某中学举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩（十分制）进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填出此次被抽取的参赛作品成绩的众数为______；
(2)补全条形统计图，
(3)求出此次被抽取的参赛作品成绩的平均数；
(4)若该校共有700份参赛作品，请估计此次绘画大赛成绩不低于9分的作品份数．
24．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且，延长EF交BC的延长线于点G．
(1)求证：．
(2)若，求CG的长．
25．在中，，，点M是直线上一动点．连接，将线段绕点M逆时针旋转得到．
(1)如图1，当点M与点A重合时，连接，四边形的形状是________________；
(2)探究猜想：当点M不与点A，点C重合时．
①试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
②直接写出，和之间的数量关系．
参考答案与解析
1．C
【分析】认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可．
【详解】解：结合三视图发现：该几何体为圆柱和长方体的结合体，
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有足够的空间想象能力，掌握三视图的定义
2．B
【分析】设BC=x，根据锐角三角函数分别用x表示出AC和CD，然后利用AC－CD=AD列方程即可求出BC，再根据锐角三角函数即可求出BD.
【详解】解：设BC=x
∵在△ABC中,∠A=45°,∠C=90°,
∴AC=BC=x
在Rt△BCD中，CD=
∵AC－CD=AD，AD=1
∴
解得：
即BC=
在Rt△BCD中，BD=
故选：B.
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.
3．D
【分析】直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】∵
∴方程有两个不相等的实数根
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程（，，，为常数）的根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程没有实数根．
4．C
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，即，
解得：，
则，
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，掌握一次函数和反比例函数的性质是解答此题的关键．
本题中两个函数的系数相同，两个函数必有交点，然后根据比较系数的符号来确定正确选项即可．
【详解】Ａ、由反比例函数图象在一、三象限可知；一次函数图象中y随x的增大而增大，可知，且一次函数过交y轴与正半轴，且两图象中有交点，故选项符合题意；
B、由过得，函数交y轴与负半轴，而选项中图象与y轴交于负半轴，故选项不符合题意；
C、由过得，函数交y轴与负半轴，而选项中图象与y轴交于负半轴，故选项不符合题意；
D、由反比例函数图象在一、三象限可知，一次函数图象y随x的增大而减小，可知，且图象中无交点，故选项不符合题意；
故选：A
6．B
【分析】由在菱形中，，，利用菱形的性质以及勾股定理，求得的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长．
【详解】解：如图．设AC与BD交于点O
四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理．解题的关键是注意菱形的对角线互相垂直平分．
7．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形长与宽之间的关系，可得出长为步，再结合矩形的面积为八百六十四平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：宽比长少一十二步，且设宽为x步，
长为步，
又直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），
根据题意可列出方程．
即：
故选：A．
8．D
【分析】根据已知条件可证，根据相似三角形的性质可得，根据反比例函数系数的几何意义即可确定的值．
【详解】解：，都与轴垂直，垂足分别为，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在双曲线上，
，
，
反比例函数的图像位于第二象限，
，
故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的系数的几何意义是解题的关键．
9．
【分析】设，用k表示a、b、c代入到化简即可
【详解】解：设
∴a=5k、b=4k、c=6k，把之代入到中得
原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，涉及到连比时一般假设比值为k，这是常用的方法. ．
10．8
【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数．
【详解】解：由题意可得：摸到黑球和白球的频率之和为：1-0.4=0.6，
∴总的球数为：（7+5）÷0.6=20，
∴红球有：20-（7+5）=8（个）．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
11．或
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，相似比是，点，
∴点C的对应点F的坐标为或，即或，
故答案为：或．
12．或
【分析】本题考查正方形的判定、图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．
分别以、为对称轴作点的对称点，根据对称的性质得到，，从而得到四边形是正方形，设，在中，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出的长．
【详解】解：分别以、为对称轴，作D点的对称点分别为E、F、延长、相交于点，
，，
根据轴对称性质得，
，，，，,,
,
四边形是正方形，
，
设，则，
,
在中，，
即,
解得，
,
故答案为：．
13．
【分析】作CE⊥AB于点E，则CE的长就是PN+PC的最小值，在直角△ACE中利用直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：作点N关于AD的对称点E，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PN=PE，
∴PN+PC=PE+PC≥EC，且当CE⊥AB时，PN+PC最短，
在直角△ACE中，
∴
又
∴
∴由勾股定理得：，
即PN+PC的最小值是．
故答案是：．
【点睛】本题考查了轴对称和角的平分线的性质，根据角的平分线的性质理解CE的长是PN+PC的最小值是关键．
14．(1)，
(2) ，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法，公式法解一元二次方程是解本题的关键；
（1）先把方程化为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
（2）先计算，再利用求根公式解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
∴，
即，
则，；
（2），
则，
∴，
即 ，；
15．
【分析】本题主要考查锐角三角函数混合运算，记住特殊锐角三角函数值.先求锐角三角函数值和开方，再进行乘法和加减法．
【详解】解：

．
16．见解析
【分析】作的垂直平分线，与的交点为Q，根据三角形中位线定理，判定Q即为所求，熟练掌握基本作图和中位线定理是解题的关键．
【详解】如图，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，连接，即作的垂直平分线，
根据三角形中位线定理，，
故点Q即为所求．
17．见解析
【分析】此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，菱形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答．根据题意得出，，根据AAS即可证明，得到，再根据菱形的性质得出，即可证明平行四边形OCFD是矩形．
【详解】证明：∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
18．(1)
(2)．
【分析】（1）用“兵”的个数除以棋子的总个数即可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】（1）解：（1）张萌第一次摸到的棋子正面上的汉字是“兵”的概率为=；
（2）画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中不含“士”的结果有6种，
∴李凯胜的概率为=．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m；解题的关键是根据概率公式求出事件A或B的概率．
19．(1)
(2)见解析
(3)
(4)3
【分析】（1）直接利用点对应点坐标，即可得出相似比；
（2）利用相似比即可得出对应点位置，进而确定答案；
（3）直接利用位似图形的性质得出点坐标即可；
（4）利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：和的相似比是；
故答案为：；
（2）如图所示，即为所求；
（3）边上有一点，在边上与点对应点的坐标是；
故答案为：；
（4）的面积是：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
20．将每件小商品的售价定为12元或16元时，才能使每天的利润为640元
【分析】设每件小商品的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出每件商品的售价．
【详解】解：设每件小商品的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件．
依题意，得，
整理，得，
解得：，．
答：将每件小商品的售价定为12元或16元时，才能使每天的利润为640元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21．旗杆的高为及教学楼与旗杆之间的距离为
【分析】过点D作于点E，则，设，则，根据锐角三角函数在中，可得，在中，，从而得到关于x的方程，即可求解．
【详解】解：过点D作于点E，则，
设，则，
在中，，
∴，
在中，，
，
∴，
解得：，
∴，
答：旗杆的高为及教学楼与旗杆之间的距离为．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
22．(1)升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）
(2)个月
【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式和反比例函数的解析式，反比例函数和一次函数的应用，
（1）根据题意利用待定系数法即可得到函数解析式；
（2）对于，当时，得到，对于，当时，得到，即可得出结论；
正确的理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：∵改造期间的月利润与时间成反比例函数，
设升级改造前y与x的函数表达式为，
当时，，
∴，即，
∴升级改造前y与x的函数表达式为（，且为整数）；
当时，，
∵到今年月底开始恢复全面生产后，企业的月利润都会比前一个月增加万元，
∴，
∴升级改造后y与x的函数表达式为（且为整数），
∴升级改造前（，且为整数）；升级改造后（且为整数）；
（2）在中，
当时，，
∵，
∴在该象限中，随的增大而减小，
∴时，，
在中，
当时，，
∴，
∴且为整数．
∴可取，，，，；共5个月．
∴资金紧张期共有个月．
23．(1)
(2)见解析
(3)
(4)估计此次绘画大赛成绩不低于分的作品份数为份
【分析】分析：（1）根据分的占比与人数求得总人数，进而得出分的人数，根据众数的定义解答即可；
（2）根据（1）中的数据，补全统计图；
（3）根据平均数的定义进行计算即可求解；
（4）根据样本估计总体，用乘以不低于分人数的占比即可求解.
【详解】（1）解：由题意可得，样本容量为：，
故分的人数为：；
故此次被抽取的参赛作品成绩的众数为；
故答案为：．
（2）补全条形统计图如下：
（3）
（4），
答：估计此次绘画大赛成绩不低于分的作品份数为份
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，求平均数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论；
（2）由AB＝AD＝6，E为AD的中点，得出AE＝DE＝3，由勾股定理得出BE＝ ＝3 ，由△ABE∽△EGB，得出，求得BG＝15，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，
∴∠A＝∠BEG，
∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠G，
∴△ABE∽△EGB；
（2）解：∵AB＝AD＝6，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝3．
在Rt△ABE中，BE＝＝3，
由（1）知，△ABE∽△EGB，
∴，
即：，
∴BG＝15，
∴CG＝BG﹣BC＝15﹣6＝9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键．
25．(1)四边形是正方形
(2)①，理由见解析；②
【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当的辅助线后早全等三角形是解题的关键．
（1）由旋转的性质得出, ,证出，由平行四边形的判定可得出结论．
（2）①过点M作交于点E，连接，则，证明，由全等三角形的性质得出，，，证明四边形是矩形，由矩形的性质得出，则可得结论．
②分两种情况，当点M在射线上时，由全等三角形的性质及等腰直角三形的性质得出，当点M在射线上时，同理．
【详解】（1）证明：将线段绕点M逆时针旋转，当点M与点A重合，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形．
（2）解：①．证明如下：
如图，过点M作交于点E，连接，则．
，，
．
，
．
．
将线段绕点M逆时针旋转得到，
，．
．
．
．
在和中，
．
，．
．
．
．
，
．
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
．
．
②设的中点为O，
当点M在射线上时，
由①得： ，
．，
为等腰直角三角形，，
，
；
点M在射线上时，过点M作交于点E，
连接，则．
，，
．
，
．
．
将线段绕点M逆时针旋转得到，
，．
．
．
．
在和中，
．
，，
，，
，
．
，
．
四边形是平行四边形．
，
四边形是矩形．
，
，
．