2023-2024学年湖北省武汉光谷未来学校八年级上册月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉光谷未来学校八年级上册月考数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了已知点A，下列条件能判定的一组是，到三角形三个顶点距离相等的点是等内容，欢迎下载使用。
1．第十九届亚运会于年月日至月日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a＋b的值为（ ）
A．5B．1C．﹣1D．﹣5
3．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列条件能判定的一组是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，的周长等于的周长
5．到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条内角平分线的交点
6．如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为（ ）

A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，点，在坐标轴上确定点，使为等腰三角形，符合条件的点有（ ）
A．4B．6C．8D．9
8．如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是等边三角形，F、G分别为AC和BC的中点，D在线段BG上，连接DF，以DF为边作等边，ED的延长线交AB于H．连接EC，则以下结论：①；②；③；④当D在线段BG上（不与G点重合）运动时，．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，中，，，，，，平分，与相交于点，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二．填空题
11． ； ； ．
12．已知，，为三边的长，当时，则的形状是 ．
13．如图，是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图a）和梅花图案（图b）（图中的折扇无重叠）．则梅花图案中的五角星的五个锐角的度数均为 ．
14．如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为 ．
15．在等腰三角形中，边上的高恰好等于边长的一半，则等于 ．
16．如图，在中，，，，点为的中点，点为内一动点且，点为的中点，当最小时，则的度数为________．
三．解答题
17．计算：
(1)；
(2)．（要求简便计算）
18．分解因式：
(1)；
(2)．
19．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：BE=AD
（2）求证：PQ=BP
20．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、点．请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留画图痕迹
(1)在图1中：①画出格点，使；②在轴上取一点，使得；
(2)在图2中：①作出关于轴的对称线段（点A的对称点为点）；②点、为线段上的任意两点，在轴上找一点E，使的值最小．
21．如图，点为等边的边上一点，为延长线上一点，，交于，过作于．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则
原式．
再将“A”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：_________；
（2）因式分解：；
（3）求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方．
23．点P为等边三角形所在平面内一点，且．
(1)如图1，点P在外部，若，，则的长为______；
(2)P点在内部，连接．
①如图2，若，求证；
②如图3，D为边中点，连接，求证：．
24．在平面直角坐标系中，已知点，与坐标原点O在同一直线上，且AO=BO，其中m，n满足．

（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，若点M，P分别是x轴正半轴和y轴正半轴上的点，点P的纵坐标不等于2，点N在第一象限内，且，PA⊥PN，，求证：BM⊥MN；
（3）如图2，作AC⊥y轴于点C，AD⊥x轴于点D，在CA延长线上取一点E，使，连结BE交AD于点F，恰好有，点G是CB上一点，且，连结FG，求证：．
参考答案与解析
1．A
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2．A
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值．
【详解】解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3．D
【分析】根据因式分解的定义即可解答；
【详解】A、，是整式乘法，不符合题意；
B、，不是因式分解，不符合题意；
C、，是整式乘法，不符合题意；
D、，是因式分解，符合题意；
故选：D．
【点睛】该题主要考查了因式分解的定义，熟悉整式乘法和因式分解的区别是解答该题的关键．
4．A
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项分析判断即可．
【详解】A. ，， ， 根据ASA，能判定，符合题意，
B. ，，，不能判定，不符合题意，
C. ，， ，不能判定，不符合题意，
D. ，的周长等于，不能判定，不符合题意，
故选A
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质到线段两端的距离相等，即可求解．
【详解】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，
故选：B
6．C
【分析】利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件三角形的周长计算．
【详解】解：∵垂直平分，
∴．
∵的周长，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．
7．C
【分析】本题考查了坐标与图形的性质和等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底，哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
【详解】解：若作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，B是以A为圆心，以为半径的圆与坐标轴的交点，共有2个（除O点）；
当O是顶角顶点时，B是以O为圆心，以为半径的圆与坐标轴的交点，有4个；
若是底边时，B是的中垂线与坐标轴的交点，有2个．
以上8个交点没有重合的，故符合条件的点有8个．
故选：C．
8．C
【分析】连接CE，依据线段，的垂直平分线交于点，可得，，判定，可得，设，则，，，即可得到中，．
【详解】如图，连接，如图所示：
∵线段，的垂直平分线交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴在中，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论．
9．D
【分析】由等边三角形的性质可得BF⊥AC，可判断①，由等边三角形的性质可求∠A+∠FDH=180°，由四边形内角和定理可得∠AHD+∠AFD=180°，可判断②，由“SAS”可证△CFE≌△GFD，可得CE=GD，∠FGD=∠FCE=120°，可判断③和④，即可求解．
【详解】∵△ABC是等边三角形，点F是AC中点，
∴BF⊥AC，故①正确，
∵△ABC和△EFD是等边三角形，
∴∠A=∠EDF=60°=∠EFD，EF=FD，
∴∠FDH=120°，
∴∠A+∠FDH=180°，
∴∠AHD+∠AFD=180°，故②正确；
如图，连接FG，
∵F、G分别为AC和BC的中点，
∴CG=BC=AC=CF，
又∵∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴CF=FG=CG，∠FCG=60°=∠FGC，
∴∠FGD=120°，
∵∠CFG=∠EFD=60°，
∴∠CFE=∠GFD，
在△CFE和△GFD中，
，
∴△CFE≌△GFD（SAS），
∴CE=GD，∠FGD=∠FCE=120°，
∴CD=CG+GD=CF+CE，∠BCE=60°，故③④正确，
综上，①②③④都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
10．B
【分析】延长交于，延长交于，如图所示，根据题意得到是等边三角形，利用等边三角形的性质有，再根据等腰三角形三线合一得到，设，则，从而由得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：延长交于，延长交于，如图所示：
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，平分，
∴，即，
设，
在中，，则，
由得，，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形背景下求线段长，涉及等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线定义、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握特殊三角形的判定与性质是解决问题的关键．
11． 1
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，零指数幂，积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
【详解】解：；
；
．
故答案为：；1；．
12．等边三角形
【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断．解题的关键是将已知等式利用完全平方公式变形，利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系．
【详解】解：为等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴为等边三角形．
13．##48度
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据图形得出梅花扇的内角的度数是：，．
【详解】解∶如图，梅花扇的内角的度数是：，
∴，
∴，
∵正五边形的每一个内角，
∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：．
故答案为：．
14．4
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质，熟知所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴和是直角三角形，
∴，，
∴，
故答案为：4．
15．75°或90°或15°
【分析】本题要分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当BC为腰，AD在三角形的内部，②BC为腰，AD在三角形的外部，③BC边为等腰三角形的底边．
【详解】解：如下图，分三种情况：
①如图1，AB＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，
由题意知，AD=BC＝AB，
Sin∠B=
∴∠B＝30°，
∴∠C＝∠BAC=（180°−∠B）÷2＝75°，
∴∠BAC＝∠C＝75°；
②如图2，AC＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，
由题意知，AD＝BC＝AC，
∴∠ACD＝30°＝∠B＋∠CAB，
∵∠B＝∠CAB，
∴∠BAC＝∠ACD＝15°；
③如图3，AC＝BC，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点D为BC的中点，
由题意知，AD＝BC＝CD＝BD，
∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，
故答案为：90°或75°或15°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理、三角形的外角的性质；本题要分三种情况讨论：前两种情况为∠BAC为等腰三角形的底角，且AD在三角形内部或是外部；第三种为∠BAC为等腰三角形的顶角，这是正确解答本题的关键．
16．##45度
【分析】取的中点F，连接、、，则可证明，则有，从而，即当点M在线段上时，值最小，且最小值为线段的长，则此时，由等腰直角三角形知可求得的度数．
【详解】解：取的中点F，连接、、，如图所示：
则，
，点为的中点，点为的中点，，
，，
，，
，
，
，
，
即当点M在线段上时，值最小，且最小值为线段的长；
，，
是等腰直角三角形
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，两点间线段最短等知识，通过构造全等三角形把求的最小值转化为求的最小值，是解题的关键与难点．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂相乘，合并同类项即可得；
（2）将2023化为，将2021化为，运用平方差公式进行计算即可得．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，合并同类项，平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点，掌握运算法则和运算顺序．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．
（1）先提公因式，然后再用平方差公式进行因式分解；
（2）用平方差公式和十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．(1)证明见解析；(2)证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，根据SAS可证△BAE≌ACD，根据全等三角形的性质可证BE=AD；
（2）根据全等三角形对应角相等可证∠ABE=∠CAD，根据三角形外角的性质可证∠BPQ=∠ABE+∠BAD，所以可以求出∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质可证PQ=BP．
【详解】（1）∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°
在△BAE和△ACD中
∴△BAE≌ACD（SAS），
∴BE=AD；
（2）∵△BAE≌△ACD，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=BP．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点P，连接，，则；取格点C，连接、，，设，交于点D，、交于点E，连接并延长交x轴于一点，该点即为点Q；
（2）先作点A、B关于y轴的对称点C、D，然后再连接即可；连接交y轴于点F，连接并延长交于点，连接，交y轴于点E，则点即为所求作的点．
【详解】（1）解：取格点P，连接，，则；取格点C，连接、，，设，交于点D，、交于点E，连接并延长交x轴于一点，该点即为点Q；
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴；
∵在和中，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴垂直平分，
∴．
（2）解：作点A、B关于y轴的对称点C、D，连接，则即为所求作的线段，连接交y轴于点F，连接并延长交于点，连接，交y轴于点E，则点即为所求作的点；
∵与关于y轴对称，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点与点M关于y轴对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此最小，即最小．
【点睛】本题主要考查了复杂作图，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，作轴对称图形，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法和三角形全等的判定方法．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过P作，可得为等边三角形 ，得出，再证，即可得；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，代入数据进行计算即可得解．
【详解】（1）证明：如图，过点P作，则，
∵为等边三角形，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵为等边三角形，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
22．（1）(x-y+1)2；（2）(a+b-2)2；（3）见解析
【分析】（1）把(x-y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A=a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解；
（3）将原式转化为(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1，进一步整理为(n2+3n+1)2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
【详解】解：（1）
=(x-y+1)2；
（2）令A=a+b，则原式变为A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2，
故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2；
（3）(n+1)(n+2)(n2+3n)+1
=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
23．(1)10
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）绕点A将逆时针旋转得到，证明，是等边三角形即可．
（2）①绕点A将逆时针旋转得到，证明是等边三角形，是含有角的直角三角形即可．②绕点A将逆时针旋转得到，证明是等边三角形，延长到点F，使，证明，再利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）如图， 绕点A将逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
∵等边三角形，且，
∴，，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：10．
（2）①如图， 绕点A将逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∵等边三角形，且，，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
②绕点A将逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∵等边三角形，且，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，．
延长到点F，使，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的判定，三角形全等的判定性质是解题的关键．
24．（1）A点坐标为（-1,1）,B点坐标为（1，-1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
【分析】（1）将关于m、n的关系式进行变形，成为连个完全平方式的和，解出m和n的值，即可得到A、B的坐标.
（2）求证两线段垂直，可以通过将两直线所成的角进行拆分，然后计算各个角相加的和，本题通过在x轴负半轴取点Q，OQ=OM,连接QA,QP,PM,然后根据题干中条件和辅助线条件求证 △PQA≌△PMN，得出PQ=PM，再继续求证△PQA≌△PMN，得到△QPM为等腰直角三角形，得出角PQM=45°，再根据等量代换，求∠NMP、∠OMB、∠QMP之和即可.
（3）要求证，只需证两边所在三角形全等即可，即求证△EFH≌△FBG.根据点的坐标特征和等量代换关系得出,然后求证，根据三角形全等的性质得到和等量代换得到∠FBG=∠EHF，最后根据三角形全等的判定方法证明△EFH≌△FBG即可解决.
【详解】（1）解：∵
∴
即
∴
解得：
∵，
∴A点坐标为（-1,1）,B点坐标为（1，-1）
（2）证明：

如图，在x轴负半轴取点Q，OQ=OM,连接QA,QP,PM,
∵AO=BO,∠AOQ=∠BOM
∴△AOQ≌△BOM（SAS）
∠AQO=∠BMO
∴AQ=BM=MN,
又∵OQ=OM,PO⊥QM
∴PQ=PM,
又∵PA=PN
∴△PQA≌△PMN（SSS）
∴∠QPA=∠MPN，∠PQA=∠PMN
∴∠QPA+∠APM=∠MPN+∠APM=90°
∴△QPM为等腰直角三角形
∴∠PMQ=∠PQM=45°，
∵∠PQA=∠NMP，∠AQO=∠OMB
∴∠PQA+∠AQO=∠NMP+∠OMB=∠PQM=45°
∴∠NMP+∠OMB+∠QMP=90°.
∴BM⊥MN
（3）证明：过B作BH⊥AF交AF延长线于H，连接EH，如图：

∵点A的坐标为（-1,1），点B的坐标为（1，-1）
∴H点的坐标为（-1，-1）
∴
又∵CG=1，
∵AC⊥y轴，AD⊥x轴，BH⊥AH
∴∠FHB=∠EAH，
∠EHA=∠FBH
∵AE=BG,AC=CG，
∴CE=CB
∴∠CEB=∠CBE
又∵∠HBE=∠CEB
∴∠HBE=∠EBC
∴∠FBG=∠EHF
在△EFH和△FBG中

∴△EFH≌△FBG
【点睛】本题考查了完全平方式，非负数之和为0，三角形全等的判定和性质，等量代换，解决本题的关键是熟练掌握完全平方式及其变形，理解非负数之和为0，则每一项非负数都为0，熟练掌握三角形全等的判定方法，能够根据已知条件，通过做辅助线的方式增设条件证明未知,在等量代换中要深刻理解角与角，边与边的数量关系.