2023-2024学年四川省 成都市天府实验学校 九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省 成都市天府实验学校 九年级上册期中数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有4个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．一个物体的主视图是三角形，这个物体可能是（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法解一元二次方程x2-8x+5=0，将其化成(x+a)2=b的形式，则变形正确的是( )
A．(x+4) 2=11B．(x-4) 2=21C．(x-8) 2=11D．(x-4) 2=11
3．已知反比例函数的图像经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图像上的是（ ）
A．B．C．D．
4．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．40个B．35个C．20个D．15个
5．下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行B．对角线互相垂直C．四个角都为直角D．对角线互相平分
6．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达36亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．4+4x+4x2＝36B．4 （1+x）2＝36
C．（1+x）2＝36D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝36
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，得到，若点B的对应点的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（ ）
A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
8．如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边 上，已知的边长15厘米，高为10厘米，则正方形的边长是（ ）
A．4厘米B．5厘米C．6厘米D．8厘米
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．若，则的值为 ．
10．点为线段的黄金分割点，，且，则的长为 ．
11．反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是 ．
12．如图，．若，，则 ．
13．如图，正方形中，M为上一点，，交的延长线于点E，若，则的长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上）
14．完成下列各题：
(1)求解下列方程
①
②
(2)已知关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围．
15．成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度，测量方法如下：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点处恰好看到瞭望塔的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中，，三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度约为，测得，，请你帮助他求出该瞭望塔的高度．．

16．为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
(1)分别求m，n的值；
(2)从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．
17．如图，在四边形中，，对角线交干点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求的长．
18．【阅读】如图1，若，且点B、D、C在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形．
(1)【理解】如图2，和是等边三角形，点D在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形．
(2)【应用】如图3，与是旋转相似三角形，，求证：①；②；
(3)【拓展】如图4，是四边形的对角线，，，，试在边上确定一点E，使得四边形是矩形，并说明理由．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知代数式，那么的值为 ．
20．已知a，b是方程的两个根，则 ．
21．已知是的中线，点E、F、G分别是的中点，连接．现随机在内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 ．
22．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，点，在边存在点，使得为“智慧三角形”，则点的坐标为： ．
23．如图，长方形ABCD中，，，E为BC上一点，且，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24．顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
(1)求顺德华侨城景区2022至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；
(2)华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额?
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
(1)求直线的函数解析式；
(2)在直线上是否存在一点P，使得与相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)现定义：平面内一点到三角形三边所在的直线距离之和等于该三角形周长的一半时，这个点称为此三角形的和谐点．在直线上是否存在的和谐点，若存在请求出和谐点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．在矩形中，点E为边上一动点（不与点A、B重合），连接，过点E作，连接与分别交于点G、H．
(1)如图1，当矩形为正方形时，且，求证：；
(2)在（1）的条件下，且点E为的中点，求的值；
(3)如图2，已知：，，连接交于G，与交于H．若，求的长度．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据主视图是从物体正面看得到的图形，即可判断．
【详解】A、圆锥从正面看得到的图形是三角形，故此选项正确，
B、圆柱从正面看得到的图形是长方形，故此选项错误，
C、三棱柱从正面看得到的图形是长方形，故此选项错误，
D、长方体从正面看得到的图形是长方形，故此选项错误，
故选A
【点睛】本题考查物体的三视图中的主视图，也考查了空间想象能力．
2．D
【分析】将一元二次方程x2-8x+5=0，移项，配方，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是本题的关键．
3．C
【分析】根据题意求解析式，通过，带入计算即可．
【详解】解：因为过，
，
解得，，
即，
；
；
、；
；
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征；熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
4．B
【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.3，根据概率公式计算即可．
【详解】解：∵摸到黄球的概率为0.3
∴黄球的个数为
∴白球可能有个
故选B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．B
【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断．
【详解】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，
矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质等知识，记住正方形、矩形的性质是解题的关键．
6．D
【分析】根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约4（1+x）亿元、第三天票房约4（1+x）2亿元，根据三天后累计票房收入达36亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵第一天票房约4亿元，且以后每天票房的增长率为x，
∴第二天票房约4（1+x）亿元，第三天票房约4（1+x）2亿元．
依题意得：4+4（1+x）+4（1+x）2=36．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．C
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】∵以点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，得到，点B的对应点的坐标是（4，−2），
∴点B的横坐标为：，纵坐标为：，即点B的坐标为（−2，1），故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
8．C
【分析】由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比列方程求解即可．
【详解】解：设正方形的边长为x．
∵正方形得，
∴，即，
∵，
∴．
∵
∴
∴．
∵
∴，即，
∵ ，
∴，解得．
故正方形的边长是6cm．
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．由平行线得到相似三角形并利用相似三角形的性质是解答本题的关键．
9．
【分析】本题考查比例的性质，先根据题意得到，然后代入约分是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．##
【分析】根据黄金分割点的定义，得出，计算的长即可．
【详解】解：∵点为线段的黄金分割点，，如图，

∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了黄金分割点的定义，牢记比例关系和黄金比是解题的关键．
11．
【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限可知，即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数的图象，解题的关键是理解时反比例函数图象在一、三象限；时反比例函数图象在二、四象限．
12．10
【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．##
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先利用正方形的性质得到正方形，，则利用勾股定理可计算出，再证明，然后利用相似比计算出，最后计算即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
即，
解得，
∴．
故答案为：
14．(1)①②
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程和根的判别式．
（1）①把常数项移到等号右边，然后方程两边同时加1，利用完全平方公式把等号左边的式子分解因式，然后直接开平方，把二次方程化成一元一次方程，进行解答即可；②把方程右边的式子移到左边，提取公因式，进行分解因式，把二次方程化成一元一次方程，解一元一次方程即可；
（2）根据已知条件，判断根的判别式为非负数，列出关于k的不等式，进行解答即可．
【详解】（1）①，
，
，
，
，
；
②，
，
，
，
，
；
（2）∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
，
，
∴．
15．
【分析】根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：解：由题意得：，，，
，
，
，
，
，
该瞭望塔的高度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．(1)，，
(2)
【分析】此题考查了列表法或树状图法、频数分布表和扇形统计图．
（1）由抽取的人数乘以D所占的百分比求出，即可求出m的值；
（2）画树状图，共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）由题意得：，
则，
（2）A组有2名学生，D组有4名学生，
画树状图如图：

共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，
∴抽取的2名学生都在D组的概率为．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，
（1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可得出；然后证明求出的长即可得到．
【详解】（1）∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，对角线交于点O，
∴，
在中，，
，
∵，
∴，
在中，，O为中点，
∴；
∵
∴
∴
∵
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)①见解析②见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据和是等边三角形，可得，，即有，利用点B、D、C在同一直线，可判断和是旋转相似三角形；
（2 ）根据和是旋转相似三角形，得，即有，，，易证，得，可得，根据可得，．利用，可证，可得；
（3）过点A作，垂足为E，连接，易得，可得，，可证，可求得，，设，则可得方程，解得，则有，根据，利用勾股定理可得是直角三角形，，可证四边形是矩形．
【详解】（1）∵和是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵点D在边上，
∴点B、D、C在同一直线，
∴和是旋转相似三角形；
（2）与是旋转相似三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）过点A作，垂足为E，则四边形是矩形，
理由：连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理的应用，解方程等知识点，解题的关键是利用相似三角形解决问题．
19．
【分析】本题考查代数式求值，由已知条件可得，将原式变形后代入数值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
20．##
【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系求出与的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵a，b是方程的两个根，
∴，
∴
．
故答案为：．
21．
【分析】本题考查几何概率及三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，根据中线的性质将边之间的关系转化为三角形面积之间的关系：，，从而推出，即可得到针尖落在阴影区域的概率为．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴针尖落在阴影区域的概率是：，
故答案为：．
22．或或
【分析】由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，因为不确定哪个角是直角，所以分情况讨论，∠CPM=90°或∠CMP=90°，设设点P(3,a)，则AP=a，BP=4-a，根据勾股定理求出CP2，MP2，CM2，根据∠CPM=90°或∠CMP=90°，可以得到这三条边的关系，解之即可.
【详解】解：由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM=90°或∠CMP=90°
设点P(3,a)，则AP=a，BP=4-a
①若∠CPM=90°，在Rt△BCP中，
在Rt△MPA中，
在Rt△MCP中，
又∵
∴2a2-8a+26=20
即(a-3)(a-1)=0
解得a=3或a=1
∴P(3,3)或(3,1)
②若∠CMP=90°，在Rt△BCP中
在Rt△MPA中，
∵
在Rt△MCP中，
即
∴
综上，或(3,1)或(3,3)
故答案为或(3,1)或(3,3).
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用. 解题的关键是知道“智慧三角形”指的是直角三角形.
23．##
【分析】根据题意将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J，进而结合全等三角形判定可得当CG⊥TG时，CG的值最小，依据矩形的性质和含30°的直角三角形进行分析计算即可得出答案.
【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作，垂足为J，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，
∵∠BET=∠FEG=30°，
∴∠BEF=∠TEG，
在△EBF和△TEG中，
，
∴△EBF≌△ETG（SAS），
∴∠B=∠ETG=90°，
∴点G的在射线TG上运动，
∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵∠EJG=∠ETG=∠JGT=90°，
∴四边形ETGJ是矩形，
∴∠JET=90°,GJ=TE=BE=2，
∵∠BET =30°，
∴∠JEC=180°-∠JET-∠BET=60°，
∵，
∴,
∴CG=CJ+GJ=.
∴CG的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．(1)年平均增长率为
(2)当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额
【分析】（1）设年平均增长率为，根据“顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案；
（2）设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，根据题意得出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
年平均增长率为；
（2）解：设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
让顾客获得最大优惠，
，
当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
25．(1)
(2)存在，点P坐标为或或或
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与相似综合运用求点坐标问题、新定义求点坐标问题．
（1）要求直线解析式，只需要求出点C坐标；
（2）分类讨论相似，由相似对应边成比例求出边长，进一步求出点P坐标；
（3）先借助“和谐点”概念求出点到直线距离，再进一步求点坐标．
【详解】（1）当时，，当时，，
∴，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为；
（2）存在，点P坐标为或或或；
∵点P在直线上，
∴设，
∴，
由折叠得
∴①若，则，
即，
解得，
∴，
解得 或 ，
∴点P的坐标为或；
②若，
同理可得或；，
综上所述，点P坐标为或或或；
（3）∵，
∴，
∴，
∴“和谐点”到三边所在直线距离之和为12，
∵，
设直线的解析式为，则有，
，
解得，，
∴直线解析式为，
∵“和谐点”在直线上
∴设“和谐点”坐标为，
则
过点Q作交于点M，
由折叠得，
∴，
∴，
即，解得
∴“和谐点”到三边所在直线距离之和为，
①若，则，解得，
此时，
②若，
则，无解，舍去，
③若，
则，解得，
此时，
综上所述，“和谐点”坐标为或．
26．(1)见解析
(2)
(3)2
【分析】（1）根据和是等腰直角三角形，可得，，则；
（2）作于点M，由（1）可得，得出，证明得，证明，利用（1）的结论，求比值即可．
（3）中，设由乐股定理得，证明，得，证得，根据证明得出，从而可得结论．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）作于点M．
由（1）可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴．
∴，
∴．
∵．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴；
（3）如图2，
中，设
∵．
∴，
∵．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵．
∴，
∴，即．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是矩形、正方形，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．灵活掌握三角形相似是解题的关键.
组别
成绩范围
频数
A
2
B
m
C
9
D
n