2023-2024学年四川省宜宾市兴文县九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省宜宾市兴文县九年级（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列式子是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）观察如图每组图形，是相似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）代数式有意义的x取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞2C．x≠2D．x＜2
4．（4分）已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（ ）
A．（x﹣3）（x+4）＝0B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
5．（4分）已知四边形ABCD∽四边形EFGH，AB＝2，EF＝3（ ）
A．4：9B．1：2C．4：3D．2：3
6．（4分）若m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则2m2+4m的值为（ ）
A．﹣2B．5C．2D．4
7．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）某品牌手机经过11，12月份连续两次降价，每部售价由5000元降到3600元，根据题意可列方程为（ ）
A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600
B．5000（1﹣2x）2＝3600
C．
D．3600（1+x）（1+2x）＝5000
9．（4分）如图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，如图2是它的侧面示意图，AD与BC相交于点O，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.8B．0.96C．1D．1.08
10．（4分）若x，y均为实数，且y＞，则化简：x﹣＝（ ）
A．x+y﹣1B．2+yC．2﹣yD．4﹣y
11．（4分）如图，已知，则下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC∽△DBEB．∠ACB＝∠BDEC．∠ABD＝∠CBED．
12．（4分）空地上有一段长为a m的旧墙MN，工人师傅欲利用旧墙和木栏围成一个封闭的矩形菜园（如图），已知木栏总长为40m2．若a＝18，S＝192，则（ ）
A．只有一种围法B．有两种围法
C．不能围成菜园D．无法确定有几种围法
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）将方程x2+1＝2x化为一元二次方程的一般形式是 ．
14．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，若，则的值为 ．
15．（4分）若最简二次根式2和是同类二次根式，则＝ ．
16．（4分）若关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，则整数m的最大值是 ．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点，要依据“两边成比例且夹角相等”判定△ABP∽△ECP，还需添加的一个条件是 ．
18．（4分）已知a2﹣5a＝﹣2，b2+2＝5b，且a≠b≠0，化简：b＝ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．小明解方程x2﹣2x﹣1＝0的过程如下：
解：原方程可化为x2﹣2x＝1． ……第一步
配方，得x2﹣2•x•，……第二步
即 ．……第三步
直接开平方，得x﹣＝±3
所以x1＝3+，x2＝﹣3+．……第五步
（1）小明是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来解这个方程的；他的解题过程从第 步开始出现错误．
（2）请你用不同于小明的方法解该方程．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，连接EF，且∠DAE＝∠F．求证：△ABE∽△ECF．
21．已知x＝+2，y＝．
（1）化简y；
（2）求的值．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时
23．（12分）有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板．
（1）截出的两块正方形木板的边长分别为 dm， dm；
（2）求剩余木板的面积；
（3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出 个这样的木条．
24．（12分）2023年4月24日是第八个“中国航天日”，主题是“格物致知，叩问苍穹”．某网店为了弘扬航天精神，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元
（1）若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出 个模型．
（2）在每个模型的利润不少于25元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为1200元，每个模型的售价应降低多少元？
（3）该模型平均每天的销售利润能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能
25．如图，在△ABC中，点D，AC上，AD与BE相交于点O，AE2＝OE•BE．
（1）求证：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；
（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求线段AE的长．
2023-2024学年四川省宜宾市兴文县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）下列式子是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：A、无意义；
B、不是二次根式；
C、是二次根式；
D、无意义；
故选：C．
2．（4分）观察如图每组图形，是相似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
解：A．两图形形状不同，不符合题意；
B．两图形形状相同，符合题意；
C．两图形形状不同，不符合题意；
D．两图形形状不同，不符合题意；
故选：B．
3．（4分）代数式有意义的x取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞2C．x≠2D．x＜2
【答案】B
解：由题意得，x﹣2＞0，
解得x＞4．
故选：B．
4．（4分）已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（ ）
A．（x﹣3）（x+4）＝0B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
【答案】A
解：∵方程两根分别为x1＝3，x7＝﹣4，
∴x1+x4＝3﹣4＝﹣7，x1x2＝﹣12，
∴方程为x2+x﹣12＝0．
把方程的右边分解因式得：（x+4）（x﹣6）＝0，
故选：A．
5．（4分）已知四边形ABCD∽四边形EFGH，AB＝2，EF＝3（ ）
A．4：9B．1：2C．4：3D．2：3
【答案】D
解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，AB＝2，
∴四边形ABCD与四边形EFGH的周长比＝AB：EF＝2：8，
故选：D．
6．（4分）若m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则2m2+4m的值为（ ）
A．﹣2B．5C．2D．4
【答案】C
解：由题意得：把x＝m代入方程x2+2x﹣7＝0中得：m2+4m﹣1＝0，
∴m3+2m＝1，
∴2m2+4m＝7，
故选：C．
7．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
解：A．与不是同类二次根式，故选项A运算错误；
B．（﹣）2＝6≠﹣6，故选项B运算错误；
C．＝＝6，故选项C计算错误；
D．÷＝＝＝，故选项D计算正确．
故选：D．
8．（4分）某品牌手机经过11，12月份连续两次降价，每部售价由5000元降到3600元，根据题意可列方程为（ ）
A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600
B．5000（1﹣2x）2＝3600
C．
D．3600（1+x）（1+2x）＝5000
【答案】A
解：设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，
根据题意，得：5000（1﹣x）（7﹣2x）＝3600，
故选：A．
9．（4分）如图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，如图2是它的侧面示意图，AD与BC相交于点O，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.8B．0.96C．1D．1.08
【答案】B
解：∵AB∥CD，
∴△COD∽△BOA，
∴，
∴，
∴x＝0.96，
故选：B．
10．（4分）若x，y均为实数，且y＞，则化简：x﹣＝（ ）
A．x+y﹣1B．2+yC．2﹣yD．4﹣y
【答案】D
解：∵式子++3有意义，
∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，
∴x＝3．
当x＝8时，y＞，
y＞7．
当x＝3，y＞2时，
x﹣＝x﹣|1﹣y|
＝x﹣（y﹣8）
＝x﹣y+1
＝3﹣y+3
＝4﹣y．
故选：D．
11．（4分）如图，已知，则下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC∽△DBEB．∠ACB＝∠BDEC．∠ABD＝∠CBED．
【答案】B
解：∵，
∴△ABC∽△DBE，
∴∠ACB＝∠DEB，∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵，
∴△ABD∽△CBE，
∴．
故选项A，C，D不符合题意，
故选：B．
12．（4分）空地上有一段长为a m的旧墙MN，工人师傅欲利用旧墙和木栏围成一个封闭的矩形菜园（如图），已知木栏总长为40m2．若a＝18，S＝192，则（ ）
A．只有一种围法B．有两种围法
C．不能围成菜园D．无法确定有几种围法
【答案】A
解：设垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的一边长为（40﹣2x）m，
根据题意得：x（40﹣2x）＝192，
整理得：x7﹣20x+96＝0，
解得：x1＝5，x2＝12，
当x＝8时，40﹣7x＝40﹣2×8＝24＞18，舍去；
当x＝12时，40﹣4x＝40﹣2×12＝16＜18，
∴只有一种围法．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）将方程x2+1＝2x化为一元二次方程的一般形式是 x2﹣2x+1＝0 ．
【答案】x2﹣2x+1＝0．
解：方程x2+1＝2x可化为x2﹣2x+2＝0，
故答案为：x2﹣7x+1＝0．
14．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，若，则的值为 ．
【答案】．
解：∵l1∥l2∥l3，，
∴，
∴的值为，
故答案为：．
15．（4分）若最简二次根式2和是同类二次根式，则＝ ．
【答案】．
解：由题意得：2a﹣1＝7，
解得：a＝3，
则＝，
故答案为：．
16．（4分）若关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，则整数m的最大值是 1 ．
【答案】1．
解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+7＝0有实数根，
∴，
解得m≤且m≠0．
∴整数m的最大值为1．
故答案为：3．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点，要依据“两边成比例且夹角相等”判定△ABP∽△ECP，还需添加的一个条件是 BP＝2CP ．
【答案】BP＝2CP．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴当AB：EC＝BP：CP时能得到△ABP∽△ECP，
又∵E是CD的中点，
∴BP＝2CP，即P为BC的三等份点．
故答案为：BP＝2CP．
18．（4分）已知a2﹣5a＝﹣2，b2+2＝5b，且a≠b≠0，化简：b＝ ．
【答案】．
解：∵a2﹣5a＝﹣6，b2+2＝7b，
∴a2﹣5a+2＝0，b2﹣8b+2＝0，
∵a≠b≠7，
∴a，b可看作方程x2﹣5x+5＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝5，ab＝3，
∴a＞0，b＞0，
∴b+a＝+
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．小明解方程x2﹣2x﹣1＝0的过程如下：
解：原方程可化为x2﹣2x＝1． ……第一步
配方，得x2﹣2•x•，……第二步
即 ．……第三步
直接开平方，得x﹣＝±3
所以x1＝3+，x2＝﹣3+．……第五步
（1）小明是用 配方法 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来解这个方程的；他的解题过程从第 二 步开始出现错误．
（2）请你用不同于小明的方法解该方程．
【答案】（1）配方法，二；
（2）见解答．
解：（1）由小明的解答过程可知，他采用的是配方法解方程，
故答案为：配方法，二；
（2）x2﹣2x﹣1＝0，
这里a＝8，b＝﹣2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝12＞7，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，连接EF，且∠DAE＝∠F．求证：△ABE∽△ECF．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，
∵∠DAE＝∠F，
∴∠AEB＝∠F，
∵∠B＝∠ECF，
∴△ABE∽△ECF．
21．已知x＝+2，y＝．
（1）化简y；
（2）求的值．
【答案】（1）﹣2；
（2）18．
解：（1）y＝＝＝﹣2；
（2）∵x＝+2﹣5，
∴xy＝（+2）（，x+y＝﹣7＝2，
∴＝＝＝﹣2＝．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）8﹣4（k2+k）
＝5k2+4k+6﹣4k2﹣3k
＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）x＝，
解得x1＝k+7，x2＝k，
即AB、AC的长为k+1，k，
当k+4＝5时，即k＝4、5、4；
当k＝5时，三角形三边长分别为8、5、6；
综上所述，k的值为6或5．
23．（12分）有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板．
（1）截出的两块正方形木板的边长分别为 3 dm， 4 dm；
（2）求剩余木板的面积；
（3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出 2 个这样的木条．
【答案】（1）3，4；
（2）6dm2；
（3）2．
解：（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为＝3，＝5，
故答案为：3，4；
（2）根据题意得：矩形的长为8（dm）dm，
∴剩余木料的面积＝（7）﹣18﹣32＝6（dm8）；
（3）根据题意得：从剩余的木料的长为3dm＝（dm），
∵3，，
∴能截出2×7＝2块这样的木条．
故答案为：2．
24．（12分）2023年4月24日是第八个“中国航天日”，主题是“格物致知，叩问苍穹”．某网店为了弘扬航天精神，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元
（1）若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出 28 个模型．
（2）在每个模型的利润不少于25元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为1200元，每个模型的售价应降低多少元？
（3）该模型平均每天的销售利润能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能
【答案】（1）28；
（2）每个模型的售价应降低10元；
（3）该模型平均每天的销售利润不能达到1300元，理由见解答．
解：（1）根据题意得：20+2×4
＝20+7
＝28（个），
∴若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出28个模型．
故答案为：28；
（2）设每个模型的售价应降低x元，则每个模型的销售利润为（40﹣x）元，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x6﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x8＝20，
当x＝10时，40﹣x＝40﹣10＝30＞25；
当x＝20时，40﹣x＝40﹣20＝20＜25，舍去．
答：每个模型的售价应降低10元；
（3）该模型平均每天的销售利润不能达到1300元，理由如下：
假设该模型平均每天的销售利润能达到1300元，设每个模型的售价应降低y元，平均每天可售出（20+2y）个模型，
根据题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1300，
整理得：y3﹣30y+250＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即该模型平均每天的销售利润不能达到1300元．
25．如图，在△ABC中，点D，AC上，AD与BE相交于点O，AE2＝OE•BE．
（1）求证：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；
（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求线段AE的长．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）．
【解答】（1）①证明：∵AE2＝OE•BE，
∴，
∵∠AEO＝∠BEA，
∴△AEO∽△BEA，
∴∠EAD＝∠ABE；
②证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB．
∵∠ABD＝∠ABE+∠CBE，∠ADB＝∠EAD+∠C，
由①知：∠EAD＝∠ABE，
∴∠CBE＝∠C，
∴BE＝EC；
（2）解：过点A作AF⊥BD于点F，交BE于点G，如图，
∵AB＝AD，AF⊥BD，
∴BF＝FD，
即AF为BD的垂直平分线，
∴GB＝GD，
∴∠GBC＝∠GDB，
由（1）②知：∠CBE＝∠C，
∴∠GDB＝∠C，
∴GD∥EC，
∴BGD∽△BEC，
∴．
∵BD：CD＝4：3，
∴，
∴，
∴GD＝．
∵BD：CD＝4：3，BF＝FD，
∴FD：DC＝2：3，
∴．
∵GD∥EC，
△FGD∽△FAC，
∴，
∴，
∴AC＝．
∴AE＝AC﹣EC＝﹣3＝．